解放军文职招聘考试年金的终值和现值

  年金的终值和现值(非一次性收付款项的终值和现值)

年金是指一定时期内,每隔相同的时间,收入或支出相同金额的系列款项。例如折旧、租金、等额分期付款、养老金、保险费、零存整取等都属于年金问题。年金具有连续性和等额性特点。连续性要求在一定时间内,间隔相等时间就要发生一次收支业务,中间不得中断,必须形成系列。等额性要求每期收、付款项的金额必须相等。

年金根据每次收付发生的时点不同,可分为普通年金、预付年金、递延年金和永续年金四种。

要注意的是在财务管理中讲到年金,一般是指普通年金。

(一)普通年金(后付年金)

1.普通年金终值

后付年金是指每期期末有等额的收付款项的年金。在现实经济生活中这种年金最为常见,因此,又称为普通年金。普通年金终值犹如零存整取的本利和,它是一定时期内每期期末

等额收付款项的复利终值之和。

设:A———年金数额,i———利息率,n———计息期数,FA———年金终值。

普通年金终值的计算公式为

FA=A

=A[n(1+i)+(1+i)+(1+i)+…+(1+i) +(1+i)n-1]

       n =At∑= (1+i)t-1 n

1

       上式中的 =   叫年金终值系数或年金复利系数。    可写成(F/A,i,

1

n),则年金终值的计算公式可写成:

FA=A·(F/A,i,n)

【例2 7】 某人5年中每年年底存入银行100元,存款利率为8%,求第5年末年金终值

为多少。

FA=A·(F/A,8%,5)=100×5.8666=586.66(元)

2.普通年金现值

一定期间内每期期末等额的系列收付款项的现值之和叫普通年金现值。年金现值的符号为PA,普通年金现值的计算公式为:

式中,t∑=n1 (1+1i)t叫年金现值系数,或年金贴现系数。年金现值系数可简写为(P/A,i,n),则后付年金现值的计算公式可写为:

PA=A·(P/A,i,n)

【例2 8】 某人现在存入一笔钱,准备在以后5年中每年末得到100元,如果利息率为

10%,现在应存入多少钱?

PA=A·(P/A,10%,5)=100×3.7908=379.08(元)

(二)先付年金(即付年金)

先付年金是指在一定时期内,各期期初等额的系列收付款项。先付年金与普通年金(后付年金)的区别仅在于付款时间的不同。利用后付年金系数表计算先付年金的终值和现值时,可在后付年金的基础上用终值和现值的计算公式进行调整。

先付年金终值的计算公式为:

FA=A·[(F/A,i,n+1)-1]

【例2 9】 某人每年年初存入银行1000元,银行存款年利率为8%,问第10年末的本利

和应为多少?

FA=1000×[(F/A,8%,10+1)-1]=1000×(16.645-1)=15645(元) PA=A·[(P/A,i,n-1)+1]

先付年金的现值的计算公式为:

【例2 10】 某企业租用一设备,在10年中每年年初要支付租金5000元,年利息率为

8%,问这些租金的现值是多少?

PA=5000·[(P/A,8%,10-1)+1]=5000×(6.2469+1)=36234.5(元)

(三)递延年金

前两种年金的第一次收付时间都发生在整个收付期的第一期,要么在第一期期末,要么在第一期期初。但有时会遇到第一次收付不发生在第一期,而是隔了几期后才在以后的每期期末发生一系列的收支款项,这种年金形式就是递延年金,它是普通年金的特殊形式。因此,凡是不在第一期开始收付的年金,称为递延年金。递延年金的第一次年金收付没有发生在第一期,而是隔了m期(这m期就是递延期),在第m+1期的期末才发生第一次收付,并且在以后的n期内,每期期末均发生等额的现金收支。与普通年金相比,尽管期限一样,都是(m+n) 期,但普通年金在(m+n)期内,每个期末都要发生收支,而递延年金在(m+n)期内,只在后n 期发生收支,前m期无收支发生。

1.递延年金的终值

先不看递延期,年金一共支付了n期。只要将这n期年金折算到期末,即可得到递延年金终值。所以,递延年金终值的大小,与递延期无关,只与年金共支付了多少期有关,它的计算方

法与普通年金相同,计算公式为:

FA=A·(F/A,i,n)

【例2 11】 某企业于年初投资一项目,估计从第五年开始至第十年,每年年末可得收益

10万元,假定年利率为5%。

要求:计算投资项目年收益的终值。

解:FA=A·(F/A,i,n)=10×(F/A,5%,6)=10×6.8019=68.019(万元)

2.递延年金的现值递延年金的现值可用三种方法来计算。

(1)把递延年金视为n期的普通年金,求出年金在递延期期末m点的现值,再将m点的

现值调整到第一期期初。

PA=A×(P/A,i,n)×(P/F,i,m)

(2)先假设递延期也发生收支,则变成一个(m+n)期的普通年金,算出(m+n)期的年金现值,再扣除并未发生年金收支的m期递延期的年金现值,即可求得递延年金现值。

PA=A×[(P/A,i,m+n)-(P/A,i,m)] PA=A×(F/A,i,n)×(P/F,i,m+n)

(3)先算出递延年金的终值,再将终值折算到第一期期初,即可求得递延年金的现值。

【例212】 某企业年初投资一项目,希望从第5年开始每年年末取得10万元收益,投资

期限为10年,假定年利率5%。要求:计算该企业年初最多投资多少元才有利。

解(1):PA=A×(P/A,i,n)×(P/F,i,m)

=10×(P/A,5%,6)×(P/F,5%,4)

=10×5.0757×0.8227

=41.76(万元) 解(2):PA=A×[(P/A,i,m+n)-(P/A,i,m)]

=10×[(P/A,5%,10)-(P/A,5%,4)]

=10×(7.7217-3.5460)

=41.76(万元) 解(3):PA=A×(F/A,i,n)×(P/F,i,m+n)

=10×(F/A,5%,6)×(P/F,5%,10)

=10×6.8019×0.6139

=41.76(万元)

从计算中可知,该企业年初的投资额不超过41.76万元才合算。

(四)永续年金

永续年金是指无限期的收入或支出相等金额的年金,也称永久年金。它也是普通年金的一种特殊形式,由于永续年金的期限趋于无限,没有终止时间,因而也没有终值,只有现值。永续年金的现值计算公式如下:

PA=A·1-(1+ii)-n

当n→+∞,(1+i)-n→0,因此PA=A/i。

【例2 13】 某企业要建立一项永久性帮困基金,计划每年拿出5万元帮助失学儿童,年

利率为5%。要求:计算现应筹集多少资金。解:PA 现应筹集到      就可每年拿出5万元帮助失学的儿童。