理学论文：波利亚的解题训练与“题海战术”的辨析

 徐利治先生早就指出，我们要培养一大批波利亚型的数学家，要按照波利亚思想改革数学教 材 和教学方法．目前，从理论研究方面来看，已出现"超越波利亚"的苗头，但从中学数学教 学的现状来看，离波利亚的想法还存在很大差距；对于很多学校，波利亚思想还没有"进入 校门"，其主要原因是，很多中学同志买不到波利亚的著作，对波利亚的数学教育思想缺乏 认识．为此，徐利治先生前年来宁讲学期间再次强调，为了搞好中学素质教育，我们还要加 大力度传播波利亚思想．  
　  
　　有些中学同志讲，我们没有办法，要提高学生应试能力，不得不搞题海战术，"题海"是 客 观存在，无法回避，波利亚也是强调解题训练的．的确，"题海"是客观存在，波利亚也强 调解题训练，他说："中学数学教学的首要任务就是加强解题的训练．"但波利亚的解题训 练与题海战术有很大区别．  
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　　一、训练的目的不同  
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　　"题海战术"的目的明显表现为应考．而波利亚强调解题训练的目的在于提高学生的数学 素质．波利亚认为，任何学问都包括知识和能力这两个方面．对于数学，能力比起仅仅具有 一些知识来重要得多．因此，"学校的目的应该是发展学生本身的内蕴能力，而不仅仅是传 授知识"．波利亚发现，在日常解题和攻克难题而获得数学上重大发现之间，并没有不可逾 越的鸿沟．他说："一个重大的发现可以解决一些重大的问题，但在求解任何问题的过程中 ，也都会有点滴的发现．"要想有重大的发现，就必须重视平时的解题．  
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　　数学有两个侧面，一方面，已严格地提出来的数学是一门系统的演绎科学；另一方面，在 创造过程中的数学看来却像是一门实验性的归纳科学．波利亚指出，通过研究解题方法，我 们可以看到数学的第二个侧面，也就是看到"处于发现过程中的数学"． 因此，波利亚 把 "解题"作为培养学生数学才能和教会他们思考的一种手段和途径．这种思想得到了国际数 学教育界的广泛赞同．1976年数学管理者委员会把解题能力列为10项基本技能的首位，美 国数学教师联合会理事会把解题提到了"80年代学校数学的核心"这一高度．  
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　　波利亚的解题思想集中反映在他的《怎样解题》一书中，该书的中心思想就是谈解题过程 中 怎样诱发灵感．书的一开始就是一张"怎样解题表"，在"表"中收集了一些典型的问题与 建 议．波利亚推崇探索法，他认为现代探索法力求了解解题过程，特别是解题过程中典型有用 的 智力活动．他说《怎样解题》这本书就是实现这种计划的初步尝试，"怎样解题表"实质上 就是 试图诱发灵感的"智力活动表"．正如波利亚在书中所写："我们的表实际上是一个在解题 中典型有用的智力活动表．""表中的问题和建议并不直接提到好念头，但实际上所有的问 题和建议都与它有关．"  
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　　"怎样解题表"包含四部分内容：弄清问题、拟订计划、实现计划、回顾．波利亚说：" 弄清问题是为好念头的出现做准备；制订计划是试图引发它；在引发之后，我们实现它；回 顾此过程和求解的结果，是试图更好地利用它．"波利亚所讲的好念头，就是指灵感．  
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　　《怎样解题》书中有一部分内容叫"探索法小词典"，从篇幅上看，它占全书的 4/5．"探索法小辞典"的主要内容就是配合"怎样解题表"，对解题 过程中典型有用的智力活动做进一步解释．  
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　　全书的字里行间，处处给人一个强烈的感觉：波利亚强调解题训练的目的是引导学生开展 智力活动，提高数学才能．  
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　　二、训练的方式不同  
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　　"题海战术"是让学生做大量的题，熟悉题型及其解法．波利亚反对让学生做大量的题， 他认为，一个数学教师，如果"把分配给他的时间塞满了例行运算来训练他的学生，他就扼 杀了学生的兴趣，妨碍了他们的智力发展……"因此，他主张与其穷于应付繁琐的教学内 容和过量的题目，还不如选择一个有意义但又不太复杂的题目去帮助学生深入发掘题目的各 个侧面，使学生通过这道题目，就如同通过一道大门而进入一个崭新的天地．比如，"证明 是无理数"和"证明素数有无限多个"就是这样的好题目，前者通 向实数的精确概念，而后者是通向数论的门户，打开数学发现大门的金钥匙往往就在这类好 题目之中．  
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　　过去，国内外有关学习数学的著作和习题集基本上偏重于解决个别类型的问题，例如算术 问题、几何问题、代数问题等，但很少涉及解题的一般方法．然而，"学生熟悉了解答个别 类型问题的特殊方法之后，有可能只限于掌握一种千篇一律的死板方法而并不具备独立解 决新问题的本领．"波利亚的《怎样解题》就弥补了这一空白，这本书给出了求解数学问题 的一般方法．今天人们公认，在数学解题研究方面，波利亚是一面旗帜，他做出了划时代的 贡献．  
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　　"怎样解题表"中的指导性意见，具有普适性．不仅适用于"不太能独立工作"的人，而 且适用于那些能独立解题的人；不仅适用于数学学科，而且可适用于其他学科．例如，未知 数是什么?已知数是什么?条件是什么?这些问题都是普遍适用的，对于所有各类问题(代数的 或几何的，数学的或非数学的，理论的或实际的)，我们提出这些问题都会取得良好效果． 波利亚解题训练的方式是引导学生按照"表"中的问题和建议思考问题，探索解题途径．试 图引导学生逐步掌握解题过程的一般规律．这与"题海战术"的"题型＋解法"的训练方式 是绝然不同的．  
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　　波利亚高度重视解题过程中的合情推理．数学中的合情推理是多种多样的，而归纳和类比 是两种用途最广的特殊合情推理，拉普拉斯曾说过："甚至在数学里，发现真理的工具也是 归纳与类比．"因而波利亚对这两种合情推理给予了特别重视，并注意到更广泛的合情推理 ；他不仅讨论了合情推理的特征、作用、范例、模式，还指出了其中的教学意义和教学方法 ．  
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　　波利亚反复呼吁：只要我们能承认数学创造过程中需要合情推量、需要猜想的话，数学教 学中就必须有教猜想的地位，必须为发明做准备，或至少给一点发明的尝试．对于一个想以 数学作为终身职业的学生来说，为了在数学上取得真正的成就，就得掌握合情推理；对于一 般学生来说，他也必须学习和体验合情推理，这是他未来生活的需要．  
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　　怎样教猜想?怎样教合情推理?没有十拿九稳的教学方法．波利亚说，教学中最重要的就是 选取一些典型教学结论的创造过程，分析其发现动机和合情推理，然后再让学生模仿范例去 独立实践，在实践中发展合情推理能力．波利亚欣赏苏格拉底的名言："思想应当诞生在学 生的心里，教师仅仅应当像助产士那样办事．"他指出，教师要选择典型的问题，创设情境 ，让学生饶有兴趣地、自觉地去试验、观察，得到猜想．  
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　　"学生自己提出了猜想，也就会有追求证明的渴望，因而此时的数学教学最富有吸引力， 切莫错过时机"．波利亚指出，要充分发挥班级教学的优势，鼓励学生之间互相讨论和启发 ，教师只有在学生受阻的时候才给些方向性的揭示，不能硬把他们赶上事先预备好的道路， 这样学生才能体验到猜想、发现的乐趣，才能真正掌握合情推理，提高思考问题、解决问题 的能力．  
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　　这种训练方式与"题型＋解法"的做法也是完全不同的．