理学论文：小题大做――基于高考数学压轴题的教学设计

 1 小题大做的内涵

　　第一，小题是指来自教材中的典型的例题及课后练习题或课后习题；

　　第二，大做是指以这些典型的"小题"作为母题，一题多变，适当加宽加深，用以解决高考数学压轴题。

　　2 小题大做的教学设计

　　第一，设计意图：解决高考数学压轴题；

　　第二，设计过程：

　　（1）选择"小题"即母题；紧密围绕高考数学七大主干知识，深挖教材，依据新课标要求精心选择；

　　（2）一题多变；注重知识横向、纵向的联接，多角度立体设计；

　　（3）加深加宽：以高考压轴题难度为准绳，在实践中学会研究，利用研究指导实践。

　　3 小题大做的案例分析

　　教学设计：

　　第一，题目：高考数学压轴题系列之导数与不等式综合。

　　第二，设计过程：

　　（1）精选"小题"即母题，试题来源：人教版教材选修4-5第72页贝努力不等式：设x>-1，且x≠0，n为大于是的自然数，则（1+x）n>1+nx.

　　（2）一题多变：依母题为原本，进一步探寻相关结论如下：

　　常用的近似计算公式（当|x|充分小时）

　　① [1+x]≈1+[1

　　2]x； ② [1+x] ≈1+[1

　　n]x； ③[ 1

　　1+x] ≈1-x；

　　④（1+x）≈1+αx（αR） ⑤ex≈1+x； ⑥ln（1+x）≈x；

　　（3）加深加宽：深入研究历年高考数学压轴题，提炼总结，概括提升针对⑤ex≈1+x； ⑥1n（1+x）≈x；进一步引入高观点结论：

　　泰勒展开式对⑤ex=1+x+[x2

　　2！]+[x3

　　3！]+[x4

　　4！]+……可推广为ex≥1+x+[x2

　　2] （x≥0）等；

　　对⑥有ln（1+x）=x-[1

　　2]x2+[1

　　2]x3-…+（-1）n-1[1

　　n]xn+Rn（x），由此可得

　　1n（1+x）≤x（x>-1），更进一步提炼，又可得出以下重要结论：

　　（?）1-[1

　　n]≤lnx≤x-1；

　　（?）ln（x+1）≤x≤ex-1；

　　（?）x≥0，x-[1

　　2]x2≤ln（x+1）≤x-[1

　　2]x2+[1

　　3]x2；

　　（?）x≥1，lnx≤[1

　　2]（x-[1

　　n]）≤x-1。

　　以上5个重要结论均可用图像法快速证明。

　　第三，学以致用：

　　例1.（2013高考新课标全国Ⅱ卷21题）

　　已知函数f（x） =ex-ln（x+m）；（Ⅱ）当m≤2时，证明f（x）>0 .

　　分析：由结论ex≥1+x，ln（1+x）≤x（x-1），

　　又由ln（x+2）≥ln（x+m），

　　故有ex≥1+x≥ln（x+2）≥ln（x+m），即可证明结论。

　　题后反思：当题中出现与诸如ex；lnx；ln（1+x）等有关的不等式综合问题时，应高度注意上面5个重要结论的应用，降低思维难度，提高解题效率。

　　例2.（2012天津卷20题）

　　已知函数f（x）=x-ln（x+a）的最小值为0，其中a>0.

　　（Ⅱ）若对任意的x[0，+∞），有f（x）≤kx2成立，求实数的最小值；

　　分析：由（Ⅰ）可得a=1，原题等价于当x-ln（x+1）≤kx2恒成立时，实数的最小值。

　　由于结论1n（1+x）≥x-[1

　　2]x2恒成立，故只需x-kx2≤x-[1

　　2]x2恒成立，所以有k≥[1

　　2]。

　　题后反思：本题解法很多，不同思路引发的解题过程颇有差异。本解法充分利用1n（x+1）的泰勒展开式，完成从对数函数向二次函数的转化，从而使原命题转化为二次函数恒成立问题，大大降低了思维难度，避免了复杂的求导运算过程，真正达到高效解决问题。

　　例3.（2011浙江卷22题）

　　已知函数f（x）=2aln（1+x）-x（a>0）.

　　题后反思：本题为典型的数列不等式证明问题，构造函数不等式是解决问题的关键。如何快速、准确地构造函数不等式？

　　法一分析法，两边凑。即先将原命题合理转化，再进一步观察分析，探寻出函数原型，最后递推叠加即可；

　　法二是依据已知函数联系已经探索出来的5个重要结论，直接构造新的函数不等式，即直接法。其特点是思路清晰、方向明确，比较易于学生掌握。

　　4 结语

　　荷兰数学家、教育家弗赖登塔尔认为：学习数学唯一正确的方向是实行再创造，就是由学生本人把自己要学的东西自己去发现或创造出来。小题大做，举一反三，充分体现出学生在实践中研究，不断自主发现和创新，并利用自己的研究指导实践的创新思维模式，激发学生创造的潜能，真正做到高效学习。