理学论文：数学模型化方法与数学教学

 　1 数学模型化方法的特点和意义

　　1.1 数学模型化方法的特点

　　从广义理解，数学模型包括数学中的各种概念，各种公式和各种理论。因为它们都是由现实世界的原型抽象出来的，从这意义上讲，整个数学也可以说是一门关于数学模型的科学。

　　从狭义理解，数学模型只指那些反映了特定问题或特定的具体事物系统的数学关系结构，这个意义上也可理解为联系一个系统中各变量间内的关系的数学表达。

　　1.2 数学模型化方法的意义

　　第一，数学模型化方法是现代数学思想的体现。数学模型思想是重要的现代数学思想之一，数学学习内容中最重要的部分，就是数学模型。它在教学内容的组织上起核心作用，是教师进行教学设计的指导思想。

　　第二，数学模型化方法是创造性思维的体现。数学模型化方法本身就是一项创造性的思维活动。它既要求思维的数量，还要求思维的深刻性和灵活性，能培养学生独立，自觉地运用所给问题的条件，寻求解决问题的最佳方法和途径，还可以培养学生的想象能力，直觉思维、猜测、转换、构造等能力。而这些数学能力正是创造性思维所具有的最基本的特征。

　　第三，数学模型化方法是数学的"用"的体现。数学模型化方法是运用数学的语言和工具，对现实世界的一些信息进行适当的简化，经过推理和运算，对相应的数据进行分析，预算，决策和控制，并且要经过实践的检验。如果检验的结果是正确的，便可以指导我们的实践。因此，数学模型在当今市场经济和信息化社会已经有比较广泛的应用。

　　1.3 数学模型化方法的基本步骤与思路

　　数学模型的构造是一项创造性思维活动，它没有什么通用的法则，也不能生搬硬套.建立数学模型的基本步骤是：准备、假设、建立（模型）、求解、分析、检验。

　　建立数学模型的基本思路是：

　　

　　2 数学模型化方法与数学教学

　　2.1 数学模型化方法是数学教学本质特征的反映

　　数学模型是对客观事物的一般关系的反映，也是人们以数学方式认识具体事物、描述客观现象的最基本的形式。学生对数学模型的理解、把握与构建的能力，在很大程度上反映了他的数学思维能力、数学观念及意识。可以说，数学模型不仅反映了数学思维的过程，而且是高级的、高效的数学思维的反映。

　　2.2 数学模型化方法是数学教学中问题解决的有效形式

　　现代数学观认为，数学具有科学方法论的属性，数学思想方法是人们研究数学、应用数学、解决问题的重要策略。而建立数学模型，研究数学模型，正是问题解决过程中的中心环节，是决定问题解决程度如何的关键。在数学教学中，让学生从现实问题情景中学数学、做数学、用数学应该成为我们的一种共识，只有这样，数学教学中的"问题解决"才有了相应的环境与氛围。

　　2.3 数学模型化方法是数学学习和课程改革的重要任务

　　数学模型的表现形式为一系列的概念系统、算法系统、关系、定律、公理系统等，这些都是学生学习的重要内容。学生在探索、获得数学模型的过程中，本身体现了研究数学问题的模式，可以表征为：抽象――符号――应用。学习数学的过程，应更多地表现数学的实践、探索与体验，而不是仅仅获得数学结论的过程。因此，在数学教学中，重视渗透模型化思想，正是顺应了这种改革的趋向和要求。

　　3 数学模型化方法在教学中的有效应用

　　例1 已知a>1，n≥2，求证：a2>[n2（a-1）2

　　4]

　　解析：由于不等式右边有（a-1）2，可以设a=b+1（b>0），于是得到二项式模型

　　

　　所以，原不等式成立。

　　例2 已知a，b，c（-1，1）.求证ab+bc+ca+1>0

　　解析：这个不等式中的多项式是二次的，单个字母却是一次的。把其中一个字母（例如b）当成自变量就得到一个函数模型f（x）=（a+c）x+ca+1问题转化为求|x|< 1?f（x）>0

　　因为一次函数一定具有单调性，故f（b）一定在f（-1）和f（1）之间。由f（-1）=（a-1）（c-1）>0 f（1）=（a+1）（c+1）>0

　　得f（x）>0 即ab+bc+ca+1>0.

　　例3 已知关于a的方程kcosα-sinα+2k-3=0有实数解，求的取值范围。

　　解析：变换原方程为 （2k-3）2=（sinα-kcosα）2

　　可以想到向量，于是构造向量模型

　　数学模型化方法广泛应用与一切数学领域，并有力地促进了数学的发展，为数学方法论提供了依据。解决数学问题时用数学模型的思想，有利于培养与发展学生整体处理和创造性处理问题的能力。