理学论文：浅谈构造法在数学分析中的应用

 　　0 引言

　　在数学分析课程中，定义、定理和习题中有大量的存在性问题， 证明存在性命题，构造法是经常用到的一种方法。构造法根据题设的条件，先构造一个辅助函数，使该辅助函数符合另一个已经证明成立的定理，从而使所求证的命题得以证明。然而，构造法一般无章可循，具有很大的灵活性，没有固定的模式，因此，如何才能设计和构造一个恰当的辅助函数，这是构造法的关键所在。笔者在讲授数学分析中微分中值定理等问题时，针对问题的具体特点，总结出一些构造辅助函数的规律。本文将结合实例具体介绍这一方法及其应用。

　　1 构造法在定理证明中的应用

　　1.1 还原法

　　还原法证明定理的关键是构造一个辅助函数，构造方法一般从定理的结论出发，通过对已知和结论的分析，构造出辅助函数。具体的构造方法如下：将欲证结论中的换成，然后对等式两端积分，再移项，使等式一端为常数，则等式的另一端即为辅助函数。

　　例1 设 （），（）在[]上是连续函数，证明存在（）使 （）（） = （） （）。

　　分析过程：将结论中的换成有

　　（）（） = （） （），移项得

　　（）（）（） （） = 0。

　　即有（ （）?（）） = 0，

　　两端积分得 （）?（） = 。

　　即构造辅助函数（） = （）?（）。

　　证明：作辅助函数（）= （）?（），显然（）在[]上连续，在（）内可导，且有（）= 0 = （），故满足罗尔定理的三个条件。由罗尔定理的结论有，在（）内至少存在一点，使得（） = 0，可得 （）（）（） （） = 0，即 （）（） = （） （）。

　　1.2 微分方程法

　　在此介绍构造辅助函数的另一种常见方法 ――微分方程法，下面结合实例介绍这一方法及其应用。

　　例2 设函数 （）在[0，1]上连续，在（0，1）内有二阶导数，证明存在（0，1）使 （1）2 （） + （0） = （）

　　分析过程：将结论中的换成并变形有，（）= 4[ （1）2 （） + （0）]，记 = 4[ （1）2 （） + （0）]得二阶微分方程（） = ，解微分方程可得其通解为： （）= + +，作辅助函数（） = （）。为了使得（）满足罗尔中值定理的条件，需令（0）=（）=（1）=0，可求得， = （1） （0）， = （0）。故构造辅助函数（） = （） （ （1） （0）） （0）。

　　证明：记 = 4[ （1）2 （） + （0）]。

　　作辅助函数（） = （） （ （1） （0）） （0）。显然（）在[]上连续，在（）内可导，且（0）=（）=（1） = 0，故满足罗尔定理的三个条件。由罗尔定理有，存在（0，），（，1）使得（）=（）= 0，再次使用罗尔定理存在（，）（0，1），使得（）= 0，即（）= ，即（）= 4[ （1）2 （） + （0）]，整理得 （1）2 （） + （0） = （）。

　　2 构造法在构造反例中的应用

　　数学分析的学习过程，是一个不断引出问题和解决问题的过程。而解决问题的过程通常是给出证明或举出反例的过程，因而构造反例在数学分析的学习中占有重要的地位。

　　例如，我们知道二元函数 （）在点（，）处沿任意方向的方向导数都存在且相等，但 （）不一定在点（，）处连续，可微，甚至在点（，）处连二重极限也可能不存在，那么如何构造出一个这样的二元函数呢？

　　由数学分析的知识知方向导数只和直线上点（，）的某线性邻域??= 有关，存在即可。因此，我们构造的函数要满足：①对于>0，在点（，）的任一邻域∪（，），从发出的任一方向上的都存在且相等。②在处 （）的极限不存在。这就要求在邻域∪（，）内既要有使相等的线性邻域，又要有使函数值不相等的点。依此，我们可构造该函数。因为 （0，0） = 0，所以。但在点（0，0）的任意邻域内，总能找到使 （） = 1的点，这就说明 （）在点（0，0）处的极限不存在，也就不连续，不可微了。

　　3 构造法在不等式证明中的应用

　　利用构造法证明不等式，通常是依据所证的不等式先构造出一个辅助函数，再利用导数这一工具证明不等式。

　　例3 设函数 （）在[]上可导，且 （）≤， （） = 0。

　　求证： （）≤。

　　证明：构造辅助函数（）= （），（