理学论文：有趣的离散数学

 　离散数学课程与传统的大学数学课程（如高等数学）有很大的区别，高等数学研究的一般是自变量在区间上连续变化的函数，而离散数学是研究离散变量及其相互关系的学科，如自然数、真假值等等。这门课程是随着计算机的发展而产生的（机器语言只有0、1两个离散值），因此开设这门课程的专业都是与计算机关系密切的专业，如信息与计算科学、计算机科学与技术、信息管理、电子商务、物联网等。

　　众所周知，高等数学有大家公认的经典和传统的教材，即使版本不同，内容也大同小异，而离散数学一般是学校根据自己专业的培养目标和方向自行定制教材，内容的侧重点也不尽相同，但无论哪一种教材，都会包括四部分内容：数理逻辑、集合论、代数系统和图论，这其实是数学专业需要分开学习的四门课程，相对比较枯燥，离散数学教材将这些放在一起，每一部分都介绍了与计算机技术相关的内容，不像数学专业学的深入，但涉及的面很广，对学生而言非常困难。和高等数学比较，由于学生从中学开始就接触函数，因此高等数学课程的入门相对容易，课程前后的内容联系紧密，开始学习时学生感觉不会太困难。但离散数学不同，学生以前基本没有接触过相关的知识，并且内容前后之间又没有必然的联系（充分体现了离散性），学习后面的经常忘记前面的，这就给学生的学习制造了很多的麻烦，他们普遍认为离散数学不好学，甚至有个别学生最后只能放弃。俗话说，兴趣是最好的老师，鉴于以上这些原因，本文根据这四部分内容，谈谈如何在课堂教学中提高学生的学习兴趣。

　　1 数理逻辑之趣

　　逻辑学简单地讲，就是研究推理的学科，数理逻辑也不例外，它是运用一套符号体系加上一些规则，研究我们生活中的一切与推理有关的问题，这不就让课堂生动起来了吗？比如生活中有这样的叙述："情况并非如此，如果他不来，那么我也不去。"这句话如果说给外国人听，他们一定会觉得云山雾罩的，即便是中国人自己，能够理解清楚也不是很容易吧，到底是他来或不来，我去还是不去呢？现在我们用数理逻辑的理论去研究，看看到底说的什么意思？设P表示"他来"，Q表示"我去"，这句话翻译成逻辑语言是：┐（┐P？邛┐Q），利用推理规则得到与之等价的命题┐P∧Q，再将其还原回生活语言就是"他没来，但我去了"，如此之简单，学生恍然大悟，马上会兴趣倍增的。再有，课堂上如果让学生分析下面这段程序，结果会怎样呢？"If A then if B then X else Y else if B then X else Y"，就是对计算机专业的学生而言，理解程序的条件和结论也不容易吧，但程序肯定是正确的，计算机也是可以执行的，现在让我们用数理逻辑理论化简一下吧。执行X的条件：（A∧B）∨（┐A∧B），化简后等价于B；执行Y的条件：（A∧┐B）∨（┐A∧┐B），化简后等价于┐B，结果出乎人们的意料，A在程序中根本没起作用，纯属捣乱而已，此程序实际可以简化为："If B then X else Y"。如此好玩的问题，与日常生活和学生的专业又有密切的联系，我们可以想象一下，学生学习起来会多么高兴，又怎么会在课堂上睡觉呢？

　　2 集合关系之趣

　　在生活中，存在着各式各样的关系，如父子关系、夫妻关系、朋友关系、上下级关系等等，这些关系看起来各不相同，但很多关系却可以用数学思想抽象出它们共同的性质。离散数学集合论部分涉及到的就是研究各种各样的关系，如等价关系、序关系等等，研究这些关系，也是非常有趣的事情。比如利用"同姓"关系，可以将人群分类：{张}、{王}、{李}、{欧阳}、{诸葛}……等等，如果要研究同一姓氏的人有什么共同特征时，可以分别从不同的姓氏集合中，任取一个人进行研究，这个人可以作为每一类姓氏人群的代表，他有的特征和他同类的人都有；再比如平常说的"家族"关系，可以理解为集合中的复合关系，如果R是"父子"关系，S是"兄弟"关系，那么R○R表示"祖孙"关系、 S○R表示"伯侄"关系等等，只要将条件设计好，红楼梦中的林黛玉和王熙凤之间的关系也可以用数学语言表示出来。事实上，生活中的所有关系都是可以用数学符号描绘出来的，这方面可以引导学生自己去探索，以便提高他们的学习兴趣。

　　3 代数系统之趣

　　代数系统是离散数学中最抽象的一部分，它在数学学科中属于抽象代数的内容，怎样用生活中有趣的例子解释、描述抽象的概念，是课堂教学需要认真研究的问题之一。事实上，在集合中定义运算，是构成代数系统的关键，而运算就是函数，比如一台自动售货机，它接受人民币，吐出各种商品，"两个一元对应一瓶橙汁，一个一元和一个二元对应一瓶可乐，两个二元对应一个冰淇淋"等等，这就是运算，如果再对运算要求具有封闭性，就构成了代数系统。再如定义代数系统的幺元和零元时，可以用"洗衣"的例子说明，用洗衣机洗衣服时，浅色和浅色混洗后，衣服还是浅色；浅色和深色混洗后，衣服变成了深色；深色和深色混洗后，衣服还是深色，可以令S={浅色，深色}，"*"代表"洗衣"这种运算，那么对于代数系统

　　4 图论之趣

　　位于波罗的海海岸的美丽小城――格尼斯堡，在图论的起源和发展中占有绝对重要的地位，由著名的"格尼斯堡七桥"问题，数学家欧拉创立了一个重要的数学分支――图论。"格尼斯堡七桥"问题实际是一个"一笔画"问题，应用欧拉的理论，对任何一个图形，都可以很快知道它是否可以一笔画出，这是一件多么了不起的工作啊！图论帮我们解决了很多现实问题，如环游世界问题、匹配问题、最优化问题等等，尤其是"树"的概念的引进，在日常生活和计算机理论中，应用相当的广泛。比如百姓的"家谱"就是一棵"根树"，树根是"祖宗"，平行边是"兄弟"，上下相邻的两个顶点分别表示"父亲"和"儿子"，看到一颗"家谱树"，马上就清楚了谁是谁的"祖先"，谁又是谁的"后裔"，一目了然。再如 "购买接线板的问题"，寝室有28盏电灯，要共用一个电源插座，需要购买多少个具有四孔的接线板？这是图论中"完全四叉树求分支点"的问题，让学生带着问题去思考，自己解决，既生动又实用，何乐而不为呢？

　　兴趣是最好的老师，不论一门课程多么抽象、复（下转第333页）（上接第154页）杂，首先要求教师深刻地理解课程内容，要用通俗易懂的语言讲授给学生，同时要调动学生学习的积极性，让学生有"我要学"的冲动，那么这门课就一定可以学好。