理学论文：高中数学概念的教学方法探讨

 　　一、数学概念的定义

　　能够识别一类刺激的共性，并对此作出相同的反应，这一过程称为概念学习。概念学习的特点是抽取一类对象的共同特征，而辨别学习的特点则是识别一类对象的不同特征，这是两者的区别。但是，在概念学习中，共性的抽象总需要有一定的区分能力，因此，辨别学习又是概念学习的前提。

　　数学研究的对象是现实世界的空间形式和数量关系。数学概念是反映这些数学对象的本质属性和特征的思维形式。例如，平行四边形的概念在人的思维中反映出：呈四边形状，而且两组对边分别平行。这就是四边形的本质属性。又如，人们从现实的圆形物体的形象得到了圆的感性认识。在实践活动中，为了创造圆形工具或器皿需要画圆，从而逐步认识到圆的本质属性："圆是平面内到一个定点距离等于定长的点集（或封闭曲线）。"这样就形成了圆的概念。

　　数学概念的语词表达一般形式是"（概念的本质属性）……叫做……（概念的名词）"。

　　二、数学概念的特征

　　（一）数学概念具有抽象和具体的双重性

　　数学概念是反映一类事物数量关系和空间形式的本质属性的思维形式，它排除了对象具体的物质内容，抽象出内在的、本质的属性。这种抽象可以脱离具体的物质内容，在已有的数学概念基础上进行多级的抽象，形成一种具有层次性的体系。譬如，函数→连续函数→可微函数。这就是一个函数概念体系的抽象体系。显然，随着概念的多级抽象，所得到的概念的抽象程度就会越来越高。

　　（二）数学概念具有逻辑连续性

　　在一个特定的数学体系中，数学概念之间往往存在着某种关系，如相容关系、不相容关系等，而这些关系实质是逻辑关系。在一个体系中，孤立的数学概念是不存在的，因为这种概念没有太大的意义和研究价值。反过来，数学概念的逻辑化又使得数学概念系统化，公理化系统就是数学概念系统化的最高表现形式。

　　三、数学概念教学初探

　　（一）引入新概念要使学生明白学习新概念的必要性，充分调动学习的积极性

　　引入一个新概念，要向学生讲清楚为什么要学习这个概念，能解决什么问题。例如，由相反意义的量引进了负数，研究两个有对应关系的量引入函数的概念等等。这些问题通常来自生产实际。有时则可以借助于某个故事，如讲等比数列可以用古印度国王奖赏象棋发明人的故事。这些实际的材料或故事，往往能引起学生浓厚的兴趣，激发学生强烈的求知欲，调动学生学习积极性。特别是生动有趣的故事，寓意深刻，不仅讲了数学概念，还讲了数学原理、数学方法。

　　（二）利用丰富的感性材料，帮助学生认识抽象的数学概念

　　数学概念是事物的空间形式和数量关系方面的本质属性和内部联系。它是人们在感觉、知觉、观念的基础上，运用分析、比较、综合、抽象、概括等而形成的。例如，讲多边形概念时，可以从方桌面，铺地的正六边形砖，公园里的八角亭、正五角星顶点顺次所连的图形引入。可能学生会说出各边都相等或各角都等的多边形叫正多边形，这时教师可引导学生注意菱形和矩形并不是正多边形，从而得出正多边形的正确意义。

　　另一方面，许多概念是在学生已有的知识（概念、法则、定理等）基础上规定的，它无须用实际的例子来引入，只需将新概念的本质属性与他的已有的知识联系起来，便能理解新概念。例如，a的n次方根x是利用xn=a（a≥0）来定义的，对数是利用指数定义的，搞清楚代数式、整数等概念才能正确的理解分式的概念。但即便是这种情形，也仍然需要用实际例子来说明新的概念。所以，感性材料是学习和掌握新概念必不可少的。

　　（三）引导学生理解概念的本质属性，是概念教学的主要任务之一

　　"感觉到了的东西，我们不能立刻理解它，只有理解了的东西才更深刻的感觉它。"怎样才能正确理解？怎样掌握概念的本质属性？这就要解决好以下几个方面：

　　1. 引导学生认识定义中的关键词语，掌握概念的本质属性，概念和定义是有区别的。概念的定义只能给出被定义对象的最基本的本质属性。例如，用不等号连结两个式子叫不等式。这是不等式的定义，而它的概念，不仅指它的定义，而且还包括不等式的性质。对于定义，必须注意其中的关键词语。例如周期函数定义注意到：①存在一个常数T≠0，②x取属于定义域的每一个值，使f（x+T）=f（x）成立。可举下面两个反例说明：例1.证明y=2x+1不是周期函数，否则T=0；例2.sin（π/6+2π/3）=sin?/6成立，不等于说等式sin（x+2π/3）=sinx对一切属于定义域的x成立，例如当x=0等式就不成立，故2?/3不是y=sinx的周期。

　　2. 帮助学生准确的理解概念的内涵（本质属性的总和）和概念的外延（即概念所包含的一切对象的范围）

　　例如，代数式这一概念的内涵是数和用字母表示的数，用代数运算（加、减、乘、除、乘方、开方）连结起来的式子，而单项式、整式、分式、根式是它的外延。

　　有的概念相当抽象，按教学要求，不必给出严密的定义则可以加以描述，但不能出现科学性错误。例如，无穷大这个概念，学生往往与很大的数混淆起来。太阳光以每秒30万公里的速度到达地球要走8分钟。因此太阳与地球的距离是很大的数，但这个数不是无穷大。因为还有比它大的数。实际上，太阳系外，还有银河系，银河系外还有河外星系，那是遥远的地方，你乘上光速火箭永远也走不到尽头，这种量就叫做无穷大。

　　3. 从概念的产生和对概念的分析来理解概念

　　对于发生式定义，例如，任意角的三角函数定义，圆锥曲线定义，旋转体的定义等，需考虑概念的产生过程，帮助学生理解概念。对于一般曲线的切线的概念，不能象"和圆只有一个公共点的直线叫做圆的切线"这样来定义，曲线的切线是利用过曲线上一点的割线的极限位置来定义的。 　　4. 引导学生认识定义的可靠性、合理性

　　许多概念都是以存在定理为依据的。如两平行线的距离，直线和平面所成的角，无穷递缩等比数列各项的和，已知角的三角函数，在引入定义的同时，要证明其存在性、唯一性。

　　有的概念学生往往不理解为什么要这样规定，例如，为使am÷an=am-n当m=n时成立，规定a≠0时，ao=1，0o没有意义；相似三角形是对应角相等，对应边成比例的三角形，在教学中要解释清楚。此外，概念的定义还不能与概念的属性等同。例如：数列的每一项乘以一个常数等于它的后一项，这是等比列的性质，但不能以此代替等比数列的定义，如常数列0、0、0、……就不是等比数列。

　　5. 搞清同类概念的逻辑关系

　　（1）同一关系。两个概念的外延表示相同的对象。如自然数和正整数，三角形和三边形等。

　　（2）从属关系。例如{平行四边形}{矩形}{正方形}。种概念加属差等于类概念，一系列具有从属关系的概念，外延缩小，内涵增大；外延扩大，内涵缩小。

　　（3）交叉关系。两个概念的外延有一部分是相同的。如矩形和菱形的公共部分是正方形。

　　（4）矛盾（对立）关系。如有理数与无理数、实数与虚数、有理式与无理式，他们的内涵互相矛盾，因此，它们之中的任何一个可以用集合的补集得出。（注意：正数与负数不是对立的概念。）

　　（5）并列关系。两个概念的外延没有公共部分。如平行四边形和梯形是两个并列的概念。

　　（6）互逆关系。加法和减法，乘法和除法、乘方和开方、幂和方根、指数和对数、函数和反函数等，要注意它们之间的转化关系。

　　（7）互通关系。如函数的导数和微分是互通的，即：dy/dx=f′（x）dy=f′（x）dx，要注意它们之间的区别和联系。

　　对于每一个概念要注意他们的规定条件、适用的范围。如补集是对于全集而言，不等式的有关性质只在实数中考虑，用一元二次方程的判别式研究实根是对于实数系方程而言，单调函数是对属于定义域某个区间而言。分解因式和解方程必须注意数集的要求等等。

　　（四）概念是逐步建立起来的，是发展的，教学需要注意不同阶段的要求，要有计划的渗透、丰富和深化

　　1. 概念的掌握不是一次完成的，这里有一个由肤浅认识到深刻理解的过程。例如，由温度的零上到零下的变化，即由相反意义的量引进负数的概念，学生可以清楚的理解-3o的意义。但是对于支出-3元（即收入3元）却不易理解。用字母表示数后，学生往往以为2a是正数，而-a是负数，在算术根的运算时常犯 =m-n的错误，解对数方程时（lgx）2=100，将lgx=-10舍去。随着知识的丰富，概念的形成、发展和更多概念的引进，使学生对负数这个概念的理解才逐渐深刻、准确，而每一次知识的飞跃，都使对概念的掌握前进一步。

　　2. 具有阶段性要求的概念，如数的概念贯穿于整个中小学教学之中，要注意随着概念的发展使理解逐步完善。

　　3. 有的概念，从小学就开始渗透、应用，为正式学习新概念做好充分准备，如函数、对应等概念到初三才讲，集合、极限到高中才正式介绍。

　　4. 关于丰富和深化的概念，如绝对值随着数集的扩充不断丰富和深化。再以"和"这个概念为例，在引入负数之前和仅限于正分数集与零；在实数集中"和"指"代数和"；学习了复数向量表示，又有"向量和"；学习了极限之后，对于无穷递缩等比数列的各项和，这个"和"是一个变量取极限的结果。此外，计算圆的周长（面积）、球面积（体积），实际也是变量取极限的结果（和）。

　　上面说的概念渗透、丰富和深化过程是通过对于概念的不同时期阶段性的要求，通过知识的发展、概念的完善逐步实现的。这种由对概念的个别、局部、片面的理解过渡到对概念的一般、整体及至全面的理解，从而完成了这些概念的教学。教材这样的安排是符合学生思维发展水平、符合具体到抽象，由简单到复杂，由浅到深的认识规律的。

　　四、结语

　　数学概念是抽象化了的空间形式和数量关系，是反映它们本质属性的思维形式。数学符号实是数学概念的表现形式（符号化了的数学概念）。正确理解概念及其符号是运用概念进行判断和推理的条件和依据。在教学中自觉地运用认识规律，能够使数学教学质量不断得以提高。