理学论文：数学史融入线性代数教学

 　　一、研究背景

　　大学数学是高等院校类各专业和部分文史类专业的一门重要基础课，而线性代数就是其中一门。它主要研究有限维空间的线性关系理论问题。许多实际问题可以通过离散化的数值计算得到定量的解决。在计算机广泛应用的今天，作为离散化和数值计算理论基础的代数课程，其地位举足轻重。由于这门课程具有高度的抽象性和严密的逻辑性，缺乏比较直观的思维模型，且学生大多来自大一大二年级，课时不多，势必使得教学过程变得枯燥无味。

　　由于大一和大二有诸多新课程要学，平时课程表的课时较为紧张，增加课时这一方法不够现实。很多研究者将重点放在了教学策略上，比如强调概念的理解和掌握，重视章节的习题课，运用先进、实用的教学手段。但是笔者认为从根本上解决这一问题，克服学习线性代数的盲目性和历史虚无主义倾向，应将数学史融入教学。针对这一观点，笔者举了三章内容作为具体例子说明。

　　二、例子

　　（一）行列式。行列式是线性代数的基础。所以教科书的第一章就是行列式。如何更好地导入这门课，是最为重要的问题。在具体生产生活中不可避免的会遇到解线性方程组的问题。而在所学内容中，只能解决两个或三个未知量的方程组，而且，借助于消元法来揭露各个未知量的值或彼此联系。但是每次消元的本质既然都是针对未知量前面的系数，何不干脆就将这些方程中的系数提取出来专门处理，同时又能确保系数与原先的未知量一一对应。

　　于是，数学家们开始以研究系数来解决方程组的问题，从二元一次方程入手，发现了以克拉默法则为代表的行列式比值与未知量的取值有密不可分的联系。这便有了行列式的研究起源。

　　也就是说，从人文发展历史来讲，行列式的起源是解决线性方程组的问题，其本质是由一些数值排列而成的数字表格按一定的法则计算得到的一个数。早在1683年和1693年，日本数学家关孝和与德国数学家葛特福莱?莱布尼茨（Gottfrid Wilhelm Leibniz）分别独立提出了行列式的概念。此后行列式主要应用于线性方程组的研究并逐步发展成为线性代数的一个理论分支。1812年，法国数学家奥格斯丁?路易斯?柯西（A.L.Cauchy）发现了行列式在解析几何中的应用，这个发现激起了人们对行列式应用进行探索的浓厚兴趣，并将其应用到解析几何以及数学的其他分支中。随着时间的推移，人们的数学观一直在进步，而且和其他学科相联系。

　　（二）矩阵。作为行列式的后续内容，毕竟克拉默法则的应用有一定的局限性，方程组的个数必须与未知量的个数相等时才能应用。在不满足克拉默法则条件下揭示未知量之间的联系显得更加重要了。因此对系数矩阵的初等行变换应运而生。

　　矩阵是数学中的一个重要的基本概念，是代数学的一个主要研究对象，也是数学研究应用的一个重要工具。

　　中国现存的最古老的数学著作《九章算术》成书于西汉末、东汉初，把方程组的系数排成正方形数表，称之"方阵"。实际上对数表的相应处理就相当于现在的初等行变换。这点比欧洲19世纪提出的现代观点要早了一千多年。这点大大激发学生身为中国人的自豪感，和学习代数的热情。

　　后来在1801年，德国数学家卡尔?弗里德里希?高斯（F.Gauss）把一个线性变换的全部系数作为一个整体，其实质就是矩阵。高斯出身于德国不伦瑞克的卑微家庭中，童年就表现惊人的早熟。其贡献覆盖数论、天文学、物理学曾经法线一种计算行星轨道的新方法，还研究地磁学，并将数学应用到光学上。一个伟大的数学家往往是多才多艺的，地域有界限，但是思想无疆界。

　　1844年，德国数学爱森斯坦讨论了"变换"（矩阵）及其乘积。他被高斯称为三位伟大的数学家之一，与阿基米德、牛顿并称。

　　矩阵最初作为工具，后来经过两个多世纪，才发展成一门独立的学科――矩阵论，其内容可分为矩阵方程论、矩阵分解论和广义逆矩阵论等。

　　了解这些数学家的历史，可以拓宽学生的视野，教科书的理论得来不易，数学是一个开放的理论体系，一直都在错误、不完善中逐渐进化，对这些传统观念的革新正是需要后人的不断努力。理解这点，更有利于学生人格的成长，教书育人才是最终目的。

　　（三）线性方程组。在上述理论基础上，数学家终于可以不受到方程个数、未知量的个数影响，逐渐拓宽研究范围。只需要对于系数矩阵或增广矩阵相应作初等变换即可。

　　由于齐次线性方程组的求解只和系数矩阵的具体数值有关，所以只需将系数矩阵化成行阶梯形矩阵（行最简形矩阵）。而非齐次线性方程组的解不仅与系数矩阵的数字有关，与等号右边的数字有千丝万缕的联系，故有了增广矩阵的处理。

　　在西方，继莱布尼茨研究了含有两个未知量的三个线性方程组成的线性方程组后，柯林?马克劳林在18世纪上半叶研究了具有二、三、四个未知量的线性方程组，得到了类似克拉默的结论。

　　19世纪，英国数学家史密斯和道奇森继续研究线性方程组的理论，前者引入了增广矩阵、非增广矩阵的概念，后者证明了方程组有解的充要条件是系数矩阵的秩和增广矩阵的秩相等，这也是现代方程组理论的重要结果之一。

　　解决线性方程组的求解问题对现代科技的进步做出了巨大的贡献。主要用于计算数学等方面。

　　三、结语

　　总而言之，数学发展的历史也是人类发展进步的历史，博古通今；学习数学史能让学生清楚数学的重要和实用

　　性，尤其是线性代数；数学家艰苦创业的事迹也可以给学生树立很好的学习榜样，珍惜现有的学习条件和学习环境；学习线性代数的过程中，融入数学史有利用培养学生的数学思维、综合素质和综合能力。