理学论文：浅析坐标转换的数学模型及其适用性

 1引言

　　随着GPS技术的广泛应用，使得基于WGS-84坐标系下的测绘成果不断增多，而我国目前的测绘成果普遍使用北京54坐标系、西安80坐标系，小范围的工程还使用地方独立坐标系。因此将不同的测绘成果统一于同一坐标基准下显得尤为必要。

　　坐标系统间的差异主要来自于坐标系统的定义差，即原点位置、坐标轴的定向和尺度的定义差。近年来我国测绘生产中广泛采用高斯平面直角坐标系统。由于参考椭球不同，依据的基准不同，椭球的定位方法不同，又会出现不同的平面直角系统。坐标系统转换有着很重要的意义，在测绘工程中的应用也越来越广泛。

　　2我国采用的坐标系统

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　　2.11954年北京坐标系

　　1954年北京坐标系是前苏联普尔科沃坐标系进行联测，通过计算建立了我国大地坐标系即定为1954年北京坐标系，该坐标系原点在前苏联的普尔科沃，采用克拉索夫斯基椭球参数。1954年北京坐标系在我国早期的测绘生产实践中发挥了巨大的作用。以1954年北京坐标系为基础的测绘成果和文档资料，已经渗透到国民经济建设和国防建设的各个领域。该坐标系也存在很多缺点，如克拉索夫斯基椭球参数与现代精确的椭球参数之间差异较大；椭球定向并不十分明确，参考椭球面与我国大地水准面呈西高东低的系统性倾斜；坐标是通过局部分区平差得到的，未进行全国统一平差。

　　2.21980西安坐标系

　　为适应我国大地发展的需要，1978年我国决定对全国天文大地网施行整体平差，并建立新的大地坐标系，采用1975年IUGG的椭球参数，命名为1980年国家大地坐标，大地原点地处西安市泾阳县永乐镇，所以又称1980西安坐标系。1980西安坐标系的特点有，采用多点定位原理建立，理论严密，定义明确，有效减少坐标传递误差；采用的椭球参数为现代精确的地球总椭球参数；椭球面与我国大地水准面吻合较好；椭球短半轴指向明确，指向地级原点方向；全国天文大地网经过了整体平差，点位精度高。

　　2.32000国家大地坐标系

　　参考椭球采用的是2000参考椭球，其相关常数定义与1980西安大地坐标系相同。随着我国随着社会的进步，国民经济建设、国防建设和社会发展、科学研究等对国家大地坐标系提出了新的要求，迫切需要采用原点位于地球质量中心的坐标系统作为国家大地坐标系。采用地心坐标系，有利于采用现代空间技术对坐标系进行维护和快速更新，测定高精度大地控制点三维坐标，并提高测图工作效率。

　　2.4地方独立坐标系

　　由于地方独立坐标系为高斯投影，中央子午线投影长度不变，而偏离中央子午线长度越远，长度变形越大。为减少投影变形，提高测量精度，一般在各地方建立适合本地区的地方独立坐标系。主要要确定中央子午线、起算点坐标和起算方位、投影面高程及测区平均高程异常，参考椭球等。

　　3坐标转换的数学模型

　　由于GPS定位获得的是WGS-84坐标系的三维空间坐标，而我国常用的是1954年北京坐标系和1980年国家大地坐标，有的地方还采用地方独立坐标系。因此在用GPS建立或改善国家、城市工程控制网时，必须求取两坐标系之间的转换参数，以实现两种坐标系统的坐标转换。坐标系统之间的转换包括不同参心大地坐标系统之间的转换，参心大地坐标系统与地心大地坐标系统之间的转换以及大地坐标系统与高斯平面坐标之间的转换等。

　　三维坐标转换通常采用7个转换参数，即3个平移参数,3个旋转参数和1个尺度参数。根据旋转与尺度参数参考点的定义不同，三维坐标转换模型可分为：布尔沙-沃尔夫(Bursa-Wolf)模型、莫洛坚斯基（Molodensky）模型。在进行不同基准间的相互转换时，布尔沙模型和莫洛坚斯基模型是最常用的坐标转换数学模型。

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　　3.1布尔沙模型

　　布尔沙-沃尔夫模型，简称布尔沙模型，又被称为七参数转换或七参数赫尔墨特变换。至少需3个以上重合点来确定转换参数。

　　图1 布尔沙模型

　　任意点和为原点的两坐标系中坐标分别为,,和,,，则布尔沙模型为

　　在该模型中共采用了7个参数，、、为平移参数，、、为旋转参数，为尺度变化参数。

　　3.2莫洛坚斯基模型

　　莫洛金斯基模型也是通过7个参数来进行不同基准下空间直角坐标间的转换，但其具体含义与布尔沙模型中的7个参数有所不同。该模型的旋转和相似变换中心在地面网的大地原点上，并认为在旋转变化中大地原点的参心向量保证不变。同样也需3个以上重合点来确定转换参数。

　　图2 莫洛坚斯基模型

　　设有任意点在第一坐标系中的坐标为，，，在第二坐标系中的坐标为，，，同时假定在第一坐标系中有参考点P，则莫洛坚斯基模型为

　　在该模型中共采用了、、、、、、7个参数。在莫洛坚斯基模型中，受旋转和尺度影响只是该点至参考点的坐标差。

　　4两种转换模型的适用性

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　　坐标系统转换包括不同空间大地直角坐标系间转换、不同大地坐标系间转换、空间大地直角坐标系与大地坐标系间转换 3 种形式。

　　以常见的WGS-84大地坐标与1980西安坐标转换为例：

　　图3 WGS-84大地坐标与1980西安坐标转换流程

　　(1)WGS-84大地坐标向WGS-84空间直角坐标的转换―应用的参数及其公式如下：

　　(4-1)

　　(4-2)

　　其中，为该点卯酉圈的曲率半径，，均为椭球参数。

　　（2）WGS-84空间直角坐标向西安80空间直角坐标的转换－。WGS-84属于地心坐标系，1980西安大地坐标系属于参心坐标系，它们所对应的空间直角坐标系是不同的，这就需要输入七参数。如图4所示，两个直角坐标系分别为和,其坐标原点不相一致，即存在三个平移参数,,，又当各坐标相互不平行时，即存在三个旋转参数，，。

　　图4 两直角坐标系参数

　　布尔沙模型变换公式为：

　　(4-3)

　　利用公式(4-3)即可完成－ 之间的转换。

　　也可以利用莫洛坚斯基模型来转换，相关参数设置参照布尔沙模型，变换公式为

　　(4-4)

　　、、为P点在下的坐标，利用公式(4-4)也可完成－ 之间的转换。因旋转中心固定，可适用小范围坐标转换精度较高。

　　（3）西安80空间直角坐标向西安大地坐标的转换－ 。其中，应用的公式如下：

　　 (4-5)

　　（4）西安80大地坐标向高斯平面坐标的转换－。转换过程中需要涉及高斯投影正算公式：

　　(4-6)

　　(4-7)

　　式(4-6)和式(4-7)中：

　　X为赤道至纬度为B的子午线弧长；

　　卯酉圈曲率半径：；

　　椭球点经度与相应中央子午线之差：；

　　辅助变量：；

　　辅助变量：；

　　为第二偏心率平方；

　　和分别表示参考椭球的长短半径。

　　上述高斯正算公式，是其泰勒级数的展开式，它舍去了6次以上高次项，其子午线弧长计算式舍去8次以上高次项，计算精度能够达到0.001m。对上述高斯公式进行化简，略去及以上各项，可得：

　　(4-8)

　　当< 3.5时，公式的换算精度为m。对于未加差分改正的GPS单点定位来说，它的动态定位的最好精度在10m左右，而式(4-8)的换算精度为0.1m，它们之间相差两个数量级，所以式(4-8)计算精度是可以接受的。

　　5结论

　　理论上布尔沙模型与莫洛坚斯基模型的转换结果是等价的。布尔沙模型的旋转参数与平移参数的相关性很大，微小的测量误差会导致转换参数有很大误差，特别是平移参数有米级甚至上百米量级的误差。采用莫洛坚斯基模型可以克服这一问题，因为其旋转中心可以认为选定。在计算转换参数所用控制点的范围内，该参数转换的坐标仍具有厘米级精度，但超出该范围的坐标转换结果不一定可靠。所以布尔沙模型在全球或较大范围的基准转换时较为常用，在局部区域网的转换中采用莫洛坚斯基模型比较有利。