理学论文:中职数学排列组合问题的教学浅谈
排列组合问题是高中数学中较难学的内容之一,它与其他知识联系较少,内容比较抽象,解决排列组合问题对学生的抽象思维能力要求较高。根据本人这几年在中职教学中教学实践,归纳出关于排列组合题的几种解法,以便学生更好地掌握排列组合问题。[1]
一、分清两个原理
两个原理的区别在于一个与分类有关,一个与分步有关,如果完成一件事有几类办法,这几类办法彼此之间是相互独立的,不论哪一类办法中的那一种方法都能单独完成这件事,那么求完成这件事的方法种数就用加法原理;如果完成一件事需分成几个步骤,各步骤都不可缺少,需要依次完成所有步骤,才能完成这件事,而完成每一个步骤各有若干方法,求完成这件事种数就用乘法原理。举例如下:
例1.三个袋子里分别装有5个红球,8个白球,6个黑球,从中任取一球,有多少种取法?
分析:任取一球可分成三类,一类是取出一个红球,有5种取法;第二类是取出一个白球,有8种取法;第三类是取出一个黑球,有6种取法,故用加法原理:有5+8+6=19种取法。
例2.小明所在学校的教学楼,每一层的两头各有一座楼梯,小明走进教学楼后,想上楼去第四层的教室,他有多少种上楼的走法?
分析:小明进教室可分成三步,第一步从一层到二层有2种走法,第二步从二层到三层有2种走法,第三步从三层到四层又有2种走法。因此,用乘法原理:共有走法2×2×2=8种。[2]
二、插空法
对于某两个元素或几个元素要求相邻问题,可采用插空法。举例如下:
例3.马路上有编号为1、2、3…10的十只路灯,为节约用电而不影响照明,可以把其中的三只路灯关掉,但不能同时关掉相邻的两只或三只,也不能关掉马路两端的灯,问满足条件的关灯方法有多少种?
分析:"三只暗灯插空",即在七只亮灯中插入三只暗灯且任何两只暗灯不相邻也不在两端,在七只亮灯之间形成六个空档中插入三只暗灯有 =20种.[3]
三、捆绑法
要求某几个元素必须排在一起的问题可用捆绑法,即把这几个元素合并为一个元素,再与其余元素一起做排列。同时注意合并元素内部也要做排列。
例4.5个男生和3个女生排成一排,3个女生要排在一起,有多少种排法?
分析:把3个女生当做1个人与5个男生做全排列有 种,其中女生内部也有 种排列,所以共有 种排法。
例5.5名学生和2名老师站成一排照相,要求2名老师相邻但不站在两端,则不同的排法共有:
A.1440种 B.960种 C.720种 D.480种
分析:题干当中有"相邻",所以选择的做题方法一定是捆绑法,要想把这件事解决清楚,要分如下几步:第一步,首让没有要求的元素进行排序,即先排5名学生,有A(5,5)种方法;第二步,将2名老师"捆绑"在一起,看成一个人,插空到5名学生中间的4个空中,即C(4,1)种方法;第三步,这2名老师不同,要进行排列,即A(2,2)种方法,此件事情完成。分步做的事情,根据乘法原理可知,共有A(5,5)×C(4,1)×A(2,2)=960种不同的排法。所以答案为B。
小结:捆绑法和插空法虽然是两种不同的方法,但是却经常一起结合起来使用。
四、换位法
对于某些东西的归属问题,如果从正面让人去选东西,不如反过来让东西去选人,这样一换位,问题的解决就简单多了。
例6.5名学生争夺6项冠军,则冠军头衔的不同归属方案有多少种?
分析:如硬要让学生"争夺"冠军,那么学生甲究竟可得几项冠军呢?分类讨论相当复杂,所以不如让"冠军头衔"去选学生,则每项冠军均有5种归属,即56种。[4]
五、对等法
有些限制条件的肯定和否定是对等的,各占全体的一半。
例7.其中考试科目有8门,英语要排在数学之后考,共有多少种安排方法?
分析:不加任何限制,共有 种排法,"英语在数学之后考"与"数学在英语之后考"的排法是对等的,所以英语要排在数学之后考共有 种安排方法。
六、求剩法
在组合问题中,有多少种取法,就有多少种剩法,它们是一一对应的,因此,当求取法困难时,可转化为求剩法。
例8.盒中有5克砝码7个,10克砝码4个。如果从中要取60克砝码,有多少种取法?
分析:把盒中砝码全部取出,共5×7+10×4=75(克),比60克多15克,所以剩下的15克,即是3个5克或1个10克与1个5克。因此,共有 + =63种取法。[5]
七、排除法
有些题目,可以从反面解决比较简单,故先求反面,再从整体种排除。
例9.从4名男生和4名女生中选派4人参加义务活动,男女生均有的选法有多少种?
分析:从男女8名学生中选派4人参加,只有4人全是男生或4人全是女生的情况不符合要求,其余情况均合题意,选派种数为: - - =68种。
八、转化法
对某些较复杂的或较抽象的排列组合问题,可以利用转化思想,将其化归为简单的具体问题来求解。
例10.高二年级8个班,组织一个12人的年级学生分会,每班至少1人,名额分配有多少种方法?
分析:此问题可转化为:将12个相同的白球分成8份,有多少种分法的问题,因此须把这12个白球排成一排,在其11个空档中放入7个相同的黑球,每一空档最多放一球,即可将白球分成8份,显然有 =330种。
用以上几种方法去思考,可以解决有关排列组合的许多问题,所以只要认真分析,掌握规律,这类问题是可以得到解决的。[6]
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