理学论文：中职数学排列组合问题的教学浅谈

 排列组合问题是高中数学中较难学的内容之一，它与其他知识联系较少，内容比较抽象，解决排列组合问题对学生的抽象思维能力要求较高。根据本人这几年在中职教学中教学实践，归纳出关于排列组合题的几种解法，以便学生更好地掌握排列组合问题。[1]

　　一、分清两个原理

　　两个原理的区别在于一个与分类有关，一个与分步有关，如果完成一件事有几类办法，这几类办法彼此之间是相互独立的，不论哪一类办法中的那一种方法都能单独完成这件事，那么求完成这件事的方法种数就用加法原理；如果完成一件事需分成几个步骤，各步骤都不可缺少，需要依次完成所有步骤，才能完成这件事，而完成每一个步骤各有若干方法，求完成这件事种数就用乘法原理。举例如下：

　　例1.三个袋子里分别装有5个红球，8个白球，6个黑球，从中任取一球，有多少种取法？

　　分析：任取一球可分成三类，一类是取出一个红球，有5种取法；第二类是取出一个白球，有8种取法；第三类是取出一个黑球，有6种取法，故用加法原理：有5+8+6=19种取法。

　　例2.小明所在学校的教学楼，每一层的两头各有一座楼梯，小明走进教学楼后，想上楼去第四层的教室，他有多少种上楼的走法？

　　分析：小明进教室可分成三步，第一步从一层到二层有2种走法，第二步从二层到三层有2种走法，第三步从三层到四层又有2种走法。因此，用乘法原理：共有走法2×2×2=8种。[2]

　　二、插空法

　　对于某两个元素或几个元素要求相邻问题，可采用插空法。举例如下：

　　例3.马路上有编号为1、2、3…10的十只路灯，为节约用电而不影响照明，可以把其中的三只路灯关掉，但不能同时关掉相邻的两只或三只，也不能关掉马路两端的灯，问满足条件的关灯方法有多少种？

　　分析："三只暗灯插空"，即在七只亮灯中插入三只暗灯且任何两只暗灯不相邻也不在两端，在七只亮灯之间形成六个空档中插入三只暗灯有 =20种.[3]

　　三、捆绑法

　　要求某几个元素必须排在一起的问题可用捆绑法，即把这几个元素合并为一个元素，再与其余元素一起做排列。同时注意合并元素内部也要做排列。

　　例4.5个男生和3个女生排成一排，3个女生要排在一起，有多少种排法？

　　分析：把3个女生当做1个人与5个男生做全排列有 种，其中女生内部也有 种排列，所以共有 种排法。

　　例5.5名学生和2名老师站成一排照相，要求2名老师相邻但不站在两端，则不同的排法共有：

　　A.1440种 B.960种 C.720种 D.480种

　　分析：题干当中有"相邻"，所以选择的做题方法一定是捆绑法，要想把这件事解决清楚，要分如下几步：第一步，首让没有要求的元素进行排序，即先排5名学生，有A（5，5）种方法；第二步，将2名老师"捆绑"在一起，看成一个人，插空到5名学生中间的4个空中，即C（4，1）种方法；第三步，这2名老师不同，要进行排列，即A（2，2）种方法，此件事情完成。分步做的事情，根据乘法原理可知，共有A（5，5）×C（4，1）×A（2，2）=960种不同的排法。所以答案为B。

　　小结：捆绑法和插空法虽然是两种不同的方法，但是却经常一起结合起来使用。

　　四、换位法

　　对于某些东西的归属问题，如果从正面让人去选东西，不如反过来让东西去选人，这样一换位，问题的解决就简单多了。

　　例6.5名学生争夺6项冠军，则冠军头衔的不同归属方案有多少种？

　　分析：如硬要让学生"争夺"冠军，那么学生甲究竟可得几项冠军呢？分类讨论相当复杂，所以不如让"冠军头衔"去选学生，则每项冠军均有5种归属，即56种。[4]

　　五、对等法

　　有些限制条件的肯定和否定是对等的，各占全体的一半。

　　例7.其中考试科目有8门，英语要排在数学之后考，共有多少种安排方法？

　　分析：不加任何限制，共有 种排法，"英语在数学之后考"与"数学在英语之后考"的排法是对等的，所以英语要排在数学之后考共有 种安排方法。

　　六、求剩法

　　在组合问题中，有多少种取法，就有多少种剩法，它们是一一对应的，因此，当求取法困难时，可转化为求剩法。

　　例8.盒中有5克砝码7个，10克砝码4个。如果从中要取60克砝码，有多少种取法？

　　分析：把盒中砝码全部取出，共5×7+10×4=75（克），比60克多15克，所以剩下的15克，即是3个5克或1个10克与1个5克。因此，共有 + =63种取法。[5]

　　七、排除法

　　有些题目，可以从反面解决比较简单，故先求反面，再从整体种排除。

　　例9.从4名男生和4名女生中选派4人参加义务活动，男女生均有的选法有多少种？

　　分析：从男女8名学生中选派4人参加，只有4人全是男生或4人全是女生的情况不符合要求，其余情况均合题意，选派种数为： - - =68种。

　　八、转化法

　　对某些较复杂的或较抽象的排列组合问题，可以利用转化思想，将其化归为简单的具体问题来求解。

　　例10.高二年级8个班，组织一个12人的年级学生分会，每班至少1人，名额分配有多少种方法？

　　分析：此问题可转化为：将12个相同的白球分成8份，有多少种分法的问题，因此须把这12个白球排成一排，在其11个空档中放入7个相同的黑球，每一空档最多放一球，即可将白球分成8份，显然有 =330种。

　　用以上几种方法去思考，可以解决有关排列组合的许多问题，所以只要认真分析，掌握规律，这类问题是可以得到解决的。[6]