理学论文：以数学思想方法引领数学教学

 　圣人孔子说："吾道一以贯之". 那么，对于数学教学而言， 能够一以贯之的又是什么呢？那就是数学思想. 数学思想方法是处理数学问题的指导思想和基础策略，是数学的灵魂. 在中学数学教学与数学学习中，对于显性的基础知识大都比较熟悉，也很重视，但对隐蔽在数学基础知识中的数学思想方法却未必都很熟练地运用. 现以集合教学为例，谈谈如何在教学中渗透数学思想方法， 供青年教师特别是初上讲台的教师参考.[1]

　　一、在集合中元素的特征教学中渗透符号化思想

　　集合论的语言是数学的基本语言， 集合语言在数学的各领域中主要是以符号的形式出现，这主要是利用了符号语言的高度概括性和简洁性.

　　评析： 解集合问题时一定要分清其代表元素，即分清集合的类型（数集、点集、图形、定义域、值域、方程或不等式的解或解集等）. 还要注意集合中元素的三个特性.[2]

　　二、在集合之间的关系教学中渗透类比的思想

　　由某类事物已有的性质，以类比、联想的方式猜想另一类相似事物的性质，是数学逻辑思考的重要思维方法. 在集合单元教学中，由学生比较熟悉的数的关系类比、联想集合之间的关系不失为学习集合的一种行之有效的方法. 如，在学习集合的运算时，可以和实数的运算类比等. 在解集合有关的题时，也可以三角等知识类比.

　　线以及坐标轴上的角集，显然有A B，类比此立刻可得正确答案应为 B.

　　三、在集合的图形表示中渗透数形结合的思想

　　教材中指出： 为了形象地表示集合，我们常常画一条封闭的曲线， 用它的内部来表示一个集合. 由于用图形表示集合具有形象、直观的特点，因此，它是处理集合问题的重要工具之一. 它不仅能帮助我们深刻理解与记忆集合的概念、运算公式及相互关系，而且还能对一些数学问题进行合理、有效地分类与探求，从而获得便捷、简明的解题途径.

　　四、在三种语言的转译中渗透化归转化的思想

　　集合问题中的语言有三种：文字语言、符号语言、图形语言（文氏图）. 三种语言各有优缺点，因此，注意三种语言间的转译往往是寻求解题的关键所在，但要注意转译的准确性.

　　解析： 将符号语言转译成文字语言， 集合A是由直线y=x+1除去（2，3） 后的点组成的集合， 集合B是由坐标平面上不在直线y=x+1上的点组成的，因此， 是由坐标平面上除（2，3）的点组成的， 它关于坐标平面上的点组成的集合U的补集 = .故选B.

　　五、在研究集合的子集间关系的教学中渗透分类整合的思想

　　有些数学问题涉及的对象较复杂，统一地解决有困难，于是就将这些对象分成"不重不漏"的若干类，然后逐类解决. 这就是集合中的分类思想. 在分类时要做到标准统一，不重不漏.

　　例5 （教材例3）写出集合{a，b}的所有子集，并指出哪些是它的真子集.

　　解析： 如果教师教学时就题论题，就失去了一次渗透数学思想方法的机会. 教学时先让学生自主解答，再说出他们是如何思考的. 学生可能漏写空集，或者虽然写出了正确结果，但有些乱等. 在此基础上教师引导学生分类写出子集和真子集. 此题可按不同的标准分类. 一是按子集中是否含有元素可分为空集和非空子集，非空子集又可分为一元子集和二元子集. 二是按子集中元素的个数分为零元子集（空集）、一元子集和二元子集. 接着再让学生写出含三个元素集合的所有子集，并观察、归纳、猜测出一般结论. [3]

　　6.在特殊集合空集的教学中渗透一分为二的思想

　　空集是一个特殊的重要集合，它不含任何元素，在解与集合相关的一类问题时，由于思维定势的原因，学生常将空集遗忘而使解答发生错误.为防止遗漏空集，我们在教学中要善于运用一分为二的思想方法，既要考虑集合为非空的情形，又要注意集合可能为空集的情形，深刻理解空集的含义，重视空集的特殊性和重要作用，养成缜密、全面思考问题的习惯，以减少解题的失误.

　　评析： 本题在实际考查中错误率是很高的， 原因都是遗漏了 的情况. 需要指出的是， 如果集合 用区间形式给出，即 = ，则隐含着 不可能是空集，这点务必要让学生明白.

　　当然上述思想方法要真正让学生领悟，不是通过一两节课在一朝一夕完成的，教师要在本章乃至整个高中数学教学过程中依照螺旋上升的原则，有计划、有步骤地逐步渗透、介绍这些思想方法，使学生在反复的体验和练习中逐步领悟它.