解放军文职招聘考试第1章 质点运动学

 第1章  质点运动学
一、目的与要求
 1、确切理解描述质点运动及运动变化的基本物理量；掌握位置矢量、位移、速度、加速度的定义及性质，明确这些物理量的矢量性、相对性和速度、加速度的瞬时性。
 2、熟练掌握质点运动学两类问题，即用微分方法由已知的运动学方程求速度、加速度；用积分方法由已知质点的速度或加速度求质点的运动学方程。
 3、熟悉和掌握在几种常用坐标系（直角坐标系、自然坐标系、极坐标系）下速度、加速度的表达形式。
 4、掌握圆周运动的角量表示及角量与线量之间的关系。
 5、掌握速度、加速度变换式，并会运用变换式求解质点相对运动问题。
二、内容提要
 1、确定质点位置的方法：确定质点运动首先要确定参考系，在确定的参考系中，确定质点位置的方法主要有坐标法、位矢法和自然法。
 2、运动学方程：表示质点位置随时间变化关系
    
 用直角坐标表示
    
用极坐标表示
    
用自然坐标表示 

 3、质点的位移、速度和加速度
 位移：
 速度：
 加速度：
 在直角坐标系中
                                                                                                                                
    
     
在极坐标系中
    
    
在自然坐标系中
    
    
4．圆周运动
运动学方程（角位置）：
角位移：
角速度： 
角加速度：
线量与角量的关系：

 

5．运动学的两类问题
（1）已知，求，等——微分
（2）已知和，，求运动学方程——积分
6．相对运动
一质点相对于两个相对平动参考系的速度间关系为

加速度变换关系为

三、例题
1－1  在平面上运动的某质点，运动方程为，，式中，为正的常量。此运动轨道为一摆线：即当一个半径为的轮子沿x轴无滑动地滚动时，轮边缘一点所画出的曲线。a）试定性地画出此质点的轨迹。b）试求当y达到最小值时质点的速度和加速度。c）试求当y达到最大时质点的速度和加速度；d）试求当y达到最大值时质点的速度、加速度、切向加速度、法向加速度和轨道的曲率半径。
分析  对运动学方程，求导即可求解质点的速度、加速度。由直角坐标系下的速度可求切向加速度，法向加速度即为，再由最后可求出曲率半径。
解  a) 质点运动轨迹如图所示。
b) 由运动方程可知质点的速度、加速度分别为：

 

当为最小值，即：时，，即，（k为整数），因而。
因而此时：
    
    
即
，，此即相当于轮边缘一点接触滚动，而，说明是纯滚动。
c) 当达最大值，即时，，因而。
所以此时
    
   
即
，  
d) 当达到最大值时，由上问结果可知
， 
，  
曲率半径：，此即相当于轮边缘一点运动到最高点的轨迹曲率半径，它并不等于轮半径R。
说明  此题是运动学第一类问题，即已知运动学方程求速度、加速度。特别应注意的是在直角坐示系下求出质点的速度和总加速度下，质点在自然坐标下的切向加速度可由求出，而法向加速度由即可求出。虽然质点运动的曲率半径可通过轨迹方程求出，但由求曲率半径是此类问题中通常采用的方法。
１－２  一质点沿半径为的圆周按规律运动，其中、都是正常数，求① 时刻质点的总加速度。② 什么时刻质点的总加速度大小等于。③ 当加速度达到b时, 质点沿圆周运行了多少圈？
分析  由质点在自然坐标系下的运动学方程求导即可求出质点运动速度，因而，，，当时，可求出此时的时间，代入运动学方程可求得当时质点运动的路程，即为质点运动的圈数。
 解  ①  根据质点的运动学方程，可知质点圆周运动的速度为
    
在自然坐标系下，质点的切向、法向加速度分别为
    
    
 因而质点的总加速度大小为
    
 ②  当质点的总加速度等于时，即
    
由上式可解得 

③  由上式知：当加速度等于时，，此时质点运行的路程
    
质点作圆周运动，因而其运行的总圈数为
    
说明  本题是自然坐标系下的运动学第一类问题，正确掌握自然坐标系下质点的速度、加速度定义就可求解本题，特别应注意的是，在一定条件下，也可写成，而不是。
1－3  一质点以初速度作直线运动，所受阻力与其速度成正比，试求当质点速度为时，质点经过的距离与质点所能行经的总距离之比。
分析  对加速度积分求出，再积分求出。质点所能行经的总距离对应；当由速度关系得速度为时所需时间，以此时间由即可得到速度为时，质点行经的距离，进而可求二者之比。
解法一  质点沿直线运动，取该直线为坐标，由题意质点的加速度为
      （k为大于零常数）
分离变量
     
依题意，初始条件为时，积分上式
     
得
                (1)
又
     ，即
初始条件为，，积分上式
     
得
               (2)
由上式知，当，即可求得质点所能行经的总距离

设经时间后，质点的速度降为，由（1）式
可得：

代入（2）式，即可得

则两距离之比为
     
解法二  质点加速度为
    
作变量替换有
     
即

依题意，初始条件时，积分上式
     
得
                (3)
显然，当时，，故。当时，，故。
从而两距离之比为
     
说明  本题为运动学第二类问题，由质点的加速度积分可得，，如解法一，当涉及到质点的速度与距离的关系，由积分变量变换通过积分也可求解本题，如解法二。本题不涉及时间，故选择解法二较简单。
1－4  质点运动轨迹是半径为的圆，在时的自然坐标为，速度为（如图），若保持加速度方向与速度方向之间的夹角不变，求当时质点运动速度的大小。
分析  解本题关键在于得到速度与路程的关系。为常量，而，对圆周运动，由此可得速度与时间的微分关系，通过积分变量替换即可得与的微分关系。
解  在自然坐标下，质点的切向、法向加速度分别为
       
 速度方向即为切向方向，依题意
     常量
从而
   
即
    
积分变量替换
     
故
    
即
    
当时质点的速度设为，由题意初始条件为，，，积分上式
     
 得
    
从而
   
说明  本题是在自然坐标系下质点运动学第二类问题。已知加速度与位置的关系，通过积分即可求速度与位置坐标的关系，此过程中积分变量替换是关键，同时应注意＝常量这一条件。
1－5  一长为的细杆可绕通过其一端的水平轴在铅直平面内自由转动，如图所示。当杆与垂直方向夹角为时，其角加速度，试求（1）杆自静止由转至时，杆的角速度；（2）杆的端点的线速度大小。
分析  由题意，通过积分变量替换可得与的微分关系，然后积分即可求解本题。
解  角加速度与角有关，是变量，杆做变加速度转动，因
     
积分变量替换
     
 则
     
 根据题意，初始条件为时，，积分上式
     
得杆转至时的角速度为
     
根据角量与线量关系，此时杆的端点A的线速度大小为
     
 说明  本题属于运动学第二类问题，由角加速度通过积分即可求角速度。此过程中，因不涉及时间，故采用比较简单。
1－6  一质点以初速度作直线运动，所受阻力与其速度的三次方成正比，试求质点速度和位置随时间的变化规律和速度随位置的变化规律。
分析  对积分可求，再积分可求。要求，可通过积分变量替换，积分即可求得。
解  取质点运动直线为x轴，取时刻质点所在位置为坐标原点。依题意，质点的加速度为
     （，常数）
即
     
  
由初始条件时，，积分上式，有
     
 所以，质点速度与时间的关系为
     
 又因，故
     
由初始条件时，，积分上式，有
     
所以，质点位置随时间的关系为
    
又因
     
 及    
故
        或   
由题设时，，积分上式，有
     
 所以，质点速度和位置的关系为
     
 说明  本题属于运动学第二类问题，在本题中再次应用了积分变量替换，即，这是解题中经常使用的一种方法，注意体会。
1－7  如图，一直径为d，高为h的薄壁圆筒形投料池，在其左方距离为L处喷枪以发射角喷射出粉状材料，不计空气阻力，试求恰好能投入池中的喷射速度范围。
分析  质点作斜抛运动时，其加速度始终向下且为重力加速度，其轨迹为一抛物线，可由斜抛运动的运动学方程求出其轨迹方程，代入投料投入池中条件即可求解。
解  粉状材料的运动为抛物线运动，则其运动方程为
     
     
消去t得粉状材料的轨迹方程为
             (1)
 依题意，要恰好能投入池中，则要求。考虑到速度的下限，即把，代入（1）式
     
得
    
对于速度上限，把，代入（1）式
     
 得
    
因此，速度的范围为
    
即

说明  本题是关于质点抛体运动的问题。关键在于列出方程后对问题的分析，也就是恰能投入池中的条件，即，。并由此条件限定速度范围。
1－8  敌机以匀速在空中向正北方向飞去，此时在敌机的正西方有一导弹以不变的速度正对敌机追去。求导弹的运动轨迹及击中敌机所需的时间。设二者开始相距为。
分析  要使导弹能击中敌机，即要求导弹运行时其速度方向始终指向敌机，这就是说导弹的运动轨迹的切向方向始终指向敌机。而导弹的轨迹的切向方向为，从而可建立导弹运行轨迹的微分方程，然后积分即可得导弹的轨迹方程。导弹击中敌机时，导弹和敌机的坐标相同，将此条件代入，就可求出追击敌机的时间。
解  取正北方向为轴，正东方向为轴，建立坐标如图。时，敌机位于点，导弹位于坐标原点。设时刻，导弹的位置为，敌机的位置为，依题意，敌机运动轨迹为一指向正北的直线，其时刻自然坐标，导弹正对敌机追去，所以，AB应为导弹轨迹的切线。由图知。
              (1)
 依题意有
             (2)
 将（1）式对求导，得
     
将（2）式代入得
    
令： ，则上式可变形为
     
初始条件：时，，，积分上式
     
再利用初始条件：时，，，积分上式可得
     
这就是导弹的轨迹方程。
当导弹追上敌机时，，代入轨迹方程可得：。而此时，因此追上的时间为
     
 说明  此类追击问题的一个共同点就是在追击过程中，追击物速度方向始终指向目标物。从追击物轨迹上看，就是其轨迹的切向方向始终指向目标物，这是求解此类问题的关键。
 1－9  宽度为的河流，其水流速度与到河岸的距离成正比。在河两岸处，水流速度为零，在河流中心处，其流速为。一小船以相对速率沿垂直于水流的方向行驶，在河中心处因故突然掉头返回，以同样相对速率垂直于水流返回本岸，求小船的运动轨迹及小船返回本岸时离原出发点的距离为多大？
 分析  由速度变换可求出船的绝对速度。在直角坐标系下，对绝对速度，积分后消去时间t即可求出船驶向河中心时的轨迹方程；同样，对船从河中心掉头返回的轨迹方程可类似求出，由轨迹方程最后就可求题中距离。
解  小船的绝对速度为相对速度和牵连速度之和即

 取河岸为参考系，建立如图所示直角坐标，水流的速度可表示为
     
 小船的相对速度为
     
 因此，小船的绝对速度为
     
 即
               (1)
                (2)
初始条件时，，对（2）式积分有
                 (3)
将（3）式代入（1）式，积分得
                (4)
由（3），（4）式消去t，得：
     
这就是小船驰向对岸时的轨迹，为一抛物线。当小船位于河中心时，即，小船的x坐标，小船返回时，其速度为
     
 即
               (5)
               (6)
 （6）式除以（5）式得
     
即
    
小船从河中心突然掉头，初始条件为，积分上式，有
     
 所以

 这就是小船返回的轨迹，也是一抛物线。回到本岸时，故离原出发点的距离为
     
 说明  小船同时参与两种运动：相对河流沿轴运动和河流沿轴运动。根据速度变换关系得到是解本题的关键。另外，建立直角坐标系，取得正确的初始条件，可大大方便求解过程。
四、习题
1.1  质点的运动学方程为，，其中，为常数，求质点运动轨迹的曲率半径，质点的切向加速度，法向加速度。
 1.2  已知质点运动满足方程，当时，设质点以的速度通过坐标原点，求该质点的运动学方程。
1.3  质点沿x轴运动，其加速度和位置的关系为，各量采用SI制，如质点在处的速度为10m/s，求质点在任意坐标x处的速度。
1.4  一质点沿半径为的圆周运动，其角位置变化关系为。若时，质点的总加速度与切向加速度方向夹角为，试求其轨道半径为多少？同时求时的切向加速度与法向加速度及总加速度。
 1.5  一篮球运动员站在三分线处投篮，三分线离篮圈中心对地面的垂足的距离为6.25米，篮圈离地面的高度为3.05米。运动员投篮时出手点的高度为2.23米（身高1.90米的运动员立定投篮出手高度大约如此），若要球空心入篮命中率高，问运动员的最佳出手角度和相应的出手速度的大小为多少？（设篮球可看作质点，且忽略空气阻力）
 1.6  在地面上某处用枪瞄准挂在射程之内一树上的靶。当子弹射离枪口时，靶恰好自由下落。试证明子弹总能正好击中自由下落的靶。

1.7  由光滑钢丝弯曲成竖直平面里一条曲线，质点穿在此钢丝上，可沿着它滑动（如图）。已知其切向加速度为，是曲线切向与水平方向的夹角。试求质点在各处的速率。
1.8  飞机沿直线航向从飞至，然后再返回。与间的距离为，飞机相对空气保持匀速V。航线上有一速率为的稳定风，忽略飞机转向所需时间，（1）如果风沿方向，求旅行所需时间；（2）如果风垂直于方向，求旅行所需时间；（3）如果任意风向，求出旅行所需总时间表达式以说明任何方向的风存在都会使旅行时间增加。