解放军文职招聘考试第五章 刚体力学参考答案
第五章 刚体力学参考答案
一、选择题
[ C ]1、如图所示,A、B为两个相同的绕着轻绳的
定滑轮.A滑轮挂一质量为M的物体,B滑轮受拉力F,而
且F=Mg.设A、B两滑轮的角加速度分别为A和B,不计
滑轮轴的摩擦,则有
(A) A=B. (B) A>B.
(C) A<B. (D) 开始时A=B,以后A<B.
图5-18
提示:
设定滑轮半径为R,转动惯量为J,如图所示,据刚体定轴转动定律M=J有:
对B:FR=MgR= JB.
对A:Mg-T=Ma TR=JA, a=RA, 可推出:A<B
提示:
设定滑轮半径为R,转动惯量为J,如图所示,据刚体定轴转动定律M=J有:
对B:FR=MgR= JB.
对A:Mg-T=Ma TR=JA, a=RA, 可推出:A<B
图5-8
[ D ]2、如图5-8所示,一质量为m的匀质细杆AB,A端靠在粗糙的竖直墙壁上,B端置于粗糙水平地面上而静止.杆身与竖直方向成角,则A端对墙壁的压力大小
(A) 为 mgcos. (B)为mgtg.
(C) 为 mgsin. (D) 不能唯一确定.
(C) 为 mgsin. (D) 不能唯一确定.
提示:
因为细杆处于平衡状态,它所受的合外力为零,
NA=fB fA+NB=mg
以B为参考点,由力矩平衡可有:
因为细杆处于平衡状态,它所受的合外力为零,
NA=fB fA+NB=mg
以B为参考点,由力矩平衡可有:
三个独立方程有四个未知数,不能唯一确定。
图5-11
[ C ]3、一圆盘正绕垂直于盘面的水平光滑固定轴O转动,如图5-11射来两个质量相同,速度大小相同,方向相反并在一条直线上的子弹,子弹射入圆盘并且留在盘内,则子弹射入后的瞬间,圆盘的角速度
(A) 增大. (B) 不变.
(C) 减小. (D) 不能确定.
提示:
把三者看作同一系统时,系统所受合外力矩为零, 系统角动量守恒。 设L为每一子弹相对固定轴O的角动量大小.故由角动量守恒定律得:
JL-L=(J+J子弹)
[ A ]4、质量为m的小孩站在半径为R的水平平台边缘上.平台可以绕通过其中心的竖直光滑固定轴自由转动,转动惯量为J.平台和小孩开始时均静止.当小孩突然以相对于地面为v的速率在台边缘沿逆时针转向走动时,则此平台相对地面旋转的角速度和旋转方向分别为
(A) ,顺时针. (B) ,逆时针.
(C) ,顺时针. (D) ,逆时针.
(A) ,顺时针. (B) ,逆时针.
(C) ,顺时针. (D) ,逆时针.
提示:
视小孩与平台为一个系统,该系统在转轴方向所受的外力矩为零,故系统在轴方向的角动量守恒:
0=Rmv-Jω 可得结论。
视小孩与平台为一个系统,该系统在转轴方向所受的外力矩为零,故系统在轴方向的角动量守恒:
0=Rmv-Jω 可得结论。
[ C ]5、如图所示,一匀质细杆可绕通过上端与杆垂直的水平光滑固定轴O旋转,初始状态为静止悬挂.现有一个小球自左方水平打击细杆.设小球与细杆之间为非弹性碰撞,则在碰撞过程中对细杆与小球这一系统
(A) 只有机械能守恒.
(B) 只有动量守恒.
(C) 只有对转轴O的角动量守恒.
(D) 机械能、动量和角动量均守恒.
(A) 只有机械能守恒.
(B) 只有动量守恒.
(C) 只有对转轴O的角动量守恒.
(D) 机械能、动量和角动量均守恒.
图5-10
提示:
视小球与细杆为一系统,碰撞过程中系统所受合外力矩为零,满足角动量守恒条件,不满足动量和机械能守恒的条件,故只能选(C)
视小球与细杆为一系统,碰撞过程中系统所受合外力矩为零,满足角动量守恒条件,不满足动量和机械能守恒的条件,故只能选(C)
[ C ]6、光滑的水平桌面上,有一长为2L、质量为m的匀质细杆,可绕过其中点且垂直于杆的竖直光滑固定轴O自由转动,其转动惯量为mL2,起初杆静止.桌面上有两个质量均为m的小球,各自在垂直于杆的方向上,正对着杆的一端,以相同速率v相向运动,如图5-17所示.当两小球同时与杆的两个端点发生完全非弹性碰撞后,就与杆粘在一起转动,则这一系统碰撞后的转动角速度应为
(A) . (B) . (C) . (D) . (E) .
图5-19
提示:
视两小球与细杆为一系统,碰撞过程中球和杆间的相互作用力远大于球本身重力,球的重力对轴的力矩忽略不计。即系统所受合外力矩近似为零,满足角动量守恒条件。
据角动量守恒有:
视两小球与细杆为一系统,碰撞过程中球和杆间的相互作用力远大于球本身重力,球的重力对轴的力矩忽略不计。即系统所受合外力矩近似为零,满足角动量守恒条件。
据角动量守恒有:
则可得答案(C)。
二、填空题
7、如图5-11所示,P、Q、R和S是附于刚性轻质细杆上的质量分别为4m、3m、2m和m的四个质点,PQ=QR=RS=l,则系统对轴的转动惯量为50ml2。
7、如图5-11所示,P、Q、R和S是附于刚性轻质细杆上的质量分别为4m、3m、2m和m的四个质点,PQ=QR=RS=l,则系统对轴的转动惯量为50ml2。
提示:
据 有:
图5-13
8、 一飞轮以600 rev/min的转速旋转,转动惯量为2.5 kg·m2,现加一恒定的制动力矩使飞轮在1 s内停止转动,则该恒定制动力矩的大小157N.m.
提示:
设力矩大小为M,由转动定律有-M=Jβ,及ω-ω0=βt ()可得。
提示:
设力矩大小为M,由转动定律有-M=Jβ,及ω-ω0=βt ()可得。
9、一根质量为m、长为l的均匀细杆,可在水平桌面上绕通过其一端的竖直固定轴转动.已知细杆与桌面的滑动摩擦系数 为,则杆转动时受的摩擦力矩的大小为
提示:
在细杆长x处取线元dx,所受到的摩擦力矩dM=μ(m/l)gxdx,则
在细杆长x处取线元dx,所受到的摩擦力矩dM=μ(m/l)gxdx,则
10、一长为l、质量可以忽略的直杆,两端分别固定有质量为2m和m的小球,杆可绕通过其中心O且与杆垂直的水平光滑固定轴在铅直平面内转动.开始杆与水平方向成某一角度,处于静止状态,如图5-19所示.释放后,杆绕O轴转动.则当杆转到水平位置时,该系统所受到的合外力矩的大小M=,此时该系统角加速度的大小=.
提示:
力矩:
据刚体定轴转动M=J有:
力矩:
据刚体定轴转动M=J有:
图5-21
三、计算题
1、一转动惯量为J的圆盘绕一固定轴转动,起初角速度为.设它所受阻力矩与转动角速度成正比,即M=-k (k为正的常数),求圆盘的角速度从变为时所需时间.
解 根据
得 分离变量有
得
2、如图5-17所示、质量分别为m和2m、半径分别为r和2r的两个均匀圆盘,同轴地粘在一起,可以绕通过盘心且垂直盘面的水平光滑固定轴转动,对转轴的转动惯量为9mr2/2,大小圆盘边缘都绕有绳子,绳子下端都挂一质量为m的重物,求盘的角加速度的大小.
解: 受力情况如图5-17
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
联立以上几式解得:
图5-17
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
联立以上几式解得:
图5-17
3、 一根质量为m、长为l的均匀细棒,在竖直平面内绕通过其一端并与棒垂直的水平轴转动。现使棒从水平位置自由下摆,求:(1)开始摆动时的角加速度;(2)摆到竖直位置时的角速度。
解:(1)根据
所以
所以
(2)根据机械能守恒定律有:
所以
4、一定滑轮半径为0.1 m,相对中心轴的转动惯量为1×103 kg·m2.一变力F=0.5t (SI)沿切线方向作用在滑轮的边缘上,如果滑轮最初处于静止状态,忽略轴承的摩擦.试求它在1 s末的角速度.
解:
法一 根据:
得: rad/s
法二 由转动定律 及
有 两边积分并确定上下限得出结果
解:
法一 根据:
得: rad/s
法二 由转动定律 及
有 两边积分并确定上下限得出结果
5、如图5-24所示,长为l的轻杆,两端各固定质量分别为m和2m的小球,杆可绕水平光滑固定轴O在竖直面内转动,转轴O距两端分别为l和l.轻杆原来静止在竖直位置.今有一质量为m的小球,以水平速度与杆下端小球m作对心碰撞,碰后以的速度返回, 试求碰撞后轻杆所获得的角速度.
解:运动的小球和杆两端的小球视为一个系统,相互作用的过程中
所受的合外力矩为零,角动量守恒:
碰前的角动量为:
所受的合外力矩为零,角动量守恒:
碰前的角动量为:
碰后的角动量为:
所以
得:
6、如图5-25所示,一质量均匀分布的圆盘,质量为,半径为R,
放在一粗糙水平面上(圆盘与水平面之间的摩擦系数为),圆盘可绕
通过其中心O的竖直固定光滑轴转动.开始时,圆盘静止,一质量
为m的子弹以水平速度v0垂直于圆盘半径打入圆盘边缘并嵌在盘边
上,求: 图5-25
(1)子弹击中圆盘后,盘所获得的角速度.
(2) 经过多少时间后,圆盘停止转动.(圆盘绕通过O的竖直轴的转动惯量为,忽略子弹重力造成的摩擦阻力矩)
解:(1)设为碰撞后瞬间的角加速度,由于轴方向的角动量守恒,所以
(2)圆盘的质量面密度 ,在圆盘上取一半径为r,宽为dr的小环带,
此环带受到的摩擦阻力矩
由 得
即 两边积分有
7一块宽L=0.60 m、质量M=1 kg的均匀薄木板,可绕水平固定轴无摩擦地自由转动.当木板静止在平衡位置时,有一质量为m=10×10-3 kg的子弹垂直击中木板A点,A离转轴距离l=0.36 m,子弹击中木板前的速度为500 m·s-1,穿出木板后的速度为 200 m·s-1 (附图A-8).求
(1) 子弹给予木板的冲量;
(2) 木板获得的角速度.
(已知:木板绕轴的转动惯量)
附图A-8
解:(1) 设子弹穿出的速度大小为V,
木板获得的角速度为,
子弹受到木板作用力的冲量:
子弹给予木板的冲量大小为3牛顿秒,方向与子弹运动速度方向相同。
(2) 子弹木板系统在相互作用过程中,对轴的合外力矩为0,角动量守恒,故
木板获得的角速度为,
子弹受到木板作用力的冲量:
子弹给予木板的冲量大小为3牛顿秒,方向与子弹运动速度方向相同。
(2) 子弹木板系统在相互作用过程中,对轴的合外力矩为0,角动量守恒,故
选做题:
如图5-26所示,空心圆环可绕光滑的竖直固定轴AC自由转动,转动惯量为J0,环的半径为R,初始时环的角速度为0.质量为m的小球静止在环内最高处A点,由于某种微小干扰,小球沿环向下滑动,问小球滑到与环心O在同一高度的B点和环的最低处的C点时,环的角速度及小球相对于环的速度各为多大?(设环的内壁和小球都是光滑的,小球可视为质点,环截面半径r<<R.)
如图5-26所示,空心圆环可绕光滑的竖直固定轴AC自由转动,转动惯量为J0,环的半径为R,初始时环的角速度为0.质量为m的小球静止在环内最高处A点,由于某种微小干扰,小球沿环向下滑动,问小球滑到与环心O在同一高度的B点和环的最低处的C点时,环的角速度及小球相对于环的速度各为多大?(设环的内壁和小球都是光滑的,小球可视为质点,环截面半径r<<R.)
解: 选小球和环为系统.相互作用过程中在轴的方向上所受合外力矩为零,故轴方向的角动量守恒.
即系统起初的角动量J00与小球滑到B点时系统角动量相同,
J00=(J0+mR2)
所以 =J00 / (J0 + mR2)
又因环的内壁和小球都是光滑,只有保守力做功,故地球、小球和环系统机械能守恒.
取过环心的水平面为势能零点,则有
式中vB表示小球在B点相对于环的速度.代入得:
当小球滑到C点时,由角动量守恒定律,系统的角速度又回复至0,又由机械能守恒定律知,小球在C的动能完全由在A点的重力势能转换而来.所以:
,
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