解放军文职招聘考试第六章思考题

 

第六章思考题

 

6.1. 相同的两匀质杆和用铰链连接于固定点, 并可在水平面内绕点转动. 某时刻位于同一直线上, 二杆以同样大小的角速度转动, 如思考题6.1图所示. 有人认为:“以二杆为系统, 此时质心为点, 点为固定点, 故此时质心速度为零.”这种说法对吗?

 

 

思考题6.1图

6.2. 有时称为质心对点的角动量, 称为质心的动能. 这是否说明质心是一个质量为、位置矢量为、速度为的质点?

6.3. 有一半径为, 质量为的匀质圆球被旋转抛出. 某时刻球心速度为,球旋转角速度为, 求此时圆球的动量.

6.4. 将一半圆柱置于一光滑水平面上, 初始时半圆柱静止于如思考题6.4图所示位置, 求质心的运动轨迹.

 

思考题6.4图

6.5. 有一水平圆台, 可绕过其圆心的竖直轴轴转动, 轴承处有较小但不可忽略的摩擦力. 有人站在台边上, 初始时圆台与人均静止, 如思考题6.5图所示.之后人沿台边跑一段时间后, 又停止跑动. 问人停止跑动后, 人与圆台将如何运动? 在整个过程中, 以人、圆台和轴为质点系, 其对轴总角动量如何变化?

 

 

思考题6.5图

6.6. 思考题6.5中, 把轴包括在质点系内, 这样做有何好处?

6.7. 思考题6.5中, 如轴承是光滑的, 情况又当如何?

6.8. 思考题6.5中, 人与盘运动状态的改变是由人跑动引起的. 而质点系的角动量定

理指出, 质点系角动量的变化与内力无关. 这两者之间是否发生矛盾?

6.9. 试证明: 若质点系总动量为零, 则质点系对任意固定点的总角动量均相等.

6.10. 有两个形状相同的匀质齿轮位于同一竖直面内, 可绕过各自中心的水平轴和转动, 转动惯量同为, 如思考题6.10图所示. 开始时轮1绕固定轴以角速度转动, 轮2静止. 之后可沿竖直线移动的轴向下移动使二齿轮啮合. 已知齿轮啮合后转动角速度的大小均为. 有人说: “以二齿轮为质点组, 所受外力对轮轴力矩均为零. 且啮合前总角动量为, 啮合后总角动量仍为, 可见啮合过程角动量守恒.”试分析该说法是否正确.

 

 

思考题6.10图

6.11. 质量相同的两小球用轻杆相连, 静止地放在光滑水平面上. 初始时给其中一小球以垂直于杆的水平初速度, 试证两球各自的轨道均为旋轮线.

6.12. 自行车由静到动, 其动量变化靠的是地面对后轮向前的摩擦力, 这个摩擦力对自行车做的功是否为?

6.13. 以一般的动坐标系代替质心系, 关系式和(和分别为质点系在系中对点的角动量和动能)能否成立?

6.14. 一匀质细杆可绕过端点的水平轴无摩擦地转动, 初始时杆静止于竖直位置, 如思考题6.14图所示. 之后一小球沿水平方向飞来与杆做完全弹性碰撞. 以小球和杆为质点系, 在碰撞过程中系统动量、角动量和机械能是否守恒?

 

 

思考题6.14图

6.15. 在光滑水平面上有一长为、质量为的匀质细杆, 绕过其中点的竖直轴以角速度转动, 但其中心不固定, 如思考题6.15图所示. 现突然将杆的端按住, 以杆为研究对象, 有人认为:“用手按住点, 系统在点受外力作用, 但在按住点的过程中点无位移,故该外力不做功, 所以杆的机械能守恒.”你认为这样的看法正确吗?

 

 

思考题6.15图

 

第六章习题

 

6.1. 椭圆规尺质量为, 曲柄质量为, 套管质量为, , 尺和曲柄的质心均位于其中点, 曲柄以匀角速度绕轴转动, 如题6.1图所示. 求此机构总动量的大小和方向.

 

 

题6.1图

6.2. 质量分别为和的重物以跨过滑轮的不可伸长的轻绳相连, 并可沿直角三棱柱的斜面滑动. 三棱柱底面放在光滑水平面上, 如题6.2图所示. 已知三棱柱质量初始时各物体均静止, 求当重物下降高度为时, 三棱柱沿水平面的位移.

 

 

题6.2图

6.3. 质量为的人手持质量为的物体, 此人以与地面成角的初速度向前跳出. 当他跳到最高点时, 将物体以相对自己的速度水平向后抛出. 问由于物体的抛出, 跳的距离增加了多少?

6.4. 两个质点和质量分别为和, 初始时位于同一竖直线上, 质点有水平初速度, 质点静止, 点高度为, 点在点的上方, 和间距离为. 在以下3种情况中求质点和的质心轨迹. (1) 和两质点间没有相互作用；(2) 质点和以万有引力相互作用; (3) 和间以轻杆相连.

6.5. 质量为的薄板在竖直面内, 绕过点的水平轴按规律转动, 其质心离点的距离为, 如题6.5图所示. 求在任一瞬时水平轴对板的约束力.

 

 

题6.5图

6.6. 瓦特节速器装置如题6.6图, 二杆长, 和二球质量均为. 初始时和二球被一根线连结, 装置以角速度绕竖直轴转动, 杆的张角为. 自某一时刻线被烧断, 求角速度与张角的关系. 设轴承光滑, 不受主动力矩, 杆的质量均可忽略不计. 若杆的质量不可忽略, 但各杆质量分布均匀, 结果又当如何?

 

 

题6.6图

6.7. 一质量为、底半径为的匀质圆锥, 它的光滑固定对称轴沿竖直方向, 圆锥尖端向上, 在圆锥表面上有一沿母线的细槽. 初始时, 圆锥绕其对称轴以角速度转动, 同时有一质量为的小球开始自槽的顶端沿槽自由下滑. 试求小球滑出槽口时圆锥的角速度. 若此槽不是沿母线的直线, 试问此槽曲线应满足什么条件, 才能使小球滑出槽口时圆锥角速度与槽为沿母线的直线情况相同.

6.8. 质量为和的二质点, 用一根长为的不可伸长的轻绳相连. 初始时被握在手中不动, 以匀速率绕做圆周运动. 在某瞬时将放手, 试求以后二质点的运动, 并证明绳内张力. 不考虑重力及质点间引力作用, 并已知绳一直是张紧的.

6.9. 传送机由两个相同的滑轮和和套在其上的传送带构成, 每个滑轮质量为、半径为, 均可视为匀质圆盘, 传送带质量为, 相对水平面倾角为, 被传送物体质量为. 初始时各物体均静止, 在上施加一不变力矩, 如题6.9图所示. 设滑轮轴承处光滑, 传送带与滑轮及传送带与被传送物体间均无滑动, 传送带在间为直线. 试求当被传送物体在间运动时, 传送带运行速率与运行距离间的关系.

 

 

题6.9图

6.10. 一炮弹质量为, 发射时水平及竖直速度分别为和. 当炮弹达到最高点时, 其内部炸药爆炸产生能量, 使此炮弹分为和两部分, 开始时两部分均沿原方向飞行, 不计空气阻力, 试求炮弹的两部分落地时相距的距离.

6.11. 质量为、半径为的光滑半球, 其底面放在光滑水平面上, 有一质量为的质点沿球面滑下. 初始时二物体均静止, 质点初位置与球心连线和竖直向上的直线间夹角为.求质点滑到它与球心连线和竖直向上直线间夹角为时的值.

6.12. 轻杆长为,两端固定有质量分别为和的质点和, 杆只能在竖直平面内运动, 某瞬时点速度为, 速度为, 分别与杆夹角和, 如题6.12图所示. (1) 试求此系统在质心系中相对质心的角动量； (2) 考虑重力作用, 试求此系统在以后的运动中角速度的变化情况.

 

 

题6.12图

6.13. 一质量为, 长为的细杆, 它的两端可沿一水平固定圆环无摩擦地滑动, 圆环半径为. 初始时杆静止, 同时有一质量亦为的质点静止地位于杆的中点. 自某一瞬时开始, 质点以相对杆的不变速度沿杆运动, 如题6.13图所示. 试求当质点运动到杆的端点时, 杆相对自己的初始位置转过多少角度?

 

 

题6.13图

6.14. 质量分别为和的两自由质点, 它们以万有引力互相吸引. 开始时, 两质点均处于静止状态, 其间距离为. 试求两质点相距为时两质点的速度.

6.15. 参见思考题6.14, 试证明若小球撞击在距点2/3杆长的点时, 系统沿水平方向

动量守恒.

6.16. 参见思考题6.15, 试求按住点后瞬时杆的角速度, 及按住点的过程中杆的动能损失了百分之几?

6.17. 电风扇的转动部分对其固定转动轴的转动惯量为, 所受空气阻力矩与角速度大小成正比,比例系数为.通电时风扇以匀角速度转动, 求断电以后经过多长时间其角速度的大小减为初始时的一半,在这段时间内风扇又转过了多少圈?

6.18. 由薄片刚体构成的复摆可绕与其垂直的光滑水平固定轴转动, 对转动轴的回转半径为(定义为,为刚体对转动轴的转动惯量,为刚体质量), 转动轴到刚体质心的距离为. 已知复摆无初速地自偏离平衡位置角处开始摆动, 求复摆在悬点处所受约束力的水平分量和垂直分量.

6.19. 有一半径为的小圆柱, 自半径为的大圆柱的最高位置无滑滚下, 同时大圆柱也沿水平面做无滑滚动,试写出两圆柱间无滑条件的数学表达式.

6.20. 质量为, 半径为的匀质细圆环被限定在竖直平面内运动, 开始时将其放在粗糙水平面上,用手按其后侧边缘, 使圆环质心获得向前的初速度, 同时圆环有向后转动的初角速度, 如题6.20图所示.设圆环与水平面间摩擦因数为,试求圆环的运动规律.

 

 

题6.20图

6.21. 长为的匀质棒, 以光滑铰链悬于点, 棒可在竖直面内摆动. 初始时棒自水平位置无初速地开始运动, 当棒摆至垂直位置时铰链突然脱落, 试证在以后的运动中棒质心的运动轨迹为一抛物线.并求当棒的质心下落距离后, 棒一共转了几圈?

6.22. 一匀质棒被限制在竖直平面内运动, 开始时把棒一端置于光滑水平地面上,一端靠在光滑的竖直墙上,且棒与地面夹角为, 并任其从此位置开始无初速地滑动.试证当棒与地面夹角变为时,棒与墙分离.

6.23. 试研究6.22题中棒与墙分离后的运动,设棒长为, 求棒落地时的角速度.

6.24. 如题6.24图所示, 一面光滑一面粗糙的平板,质量为.将其光滑的一面放在光滑水平桌面上, 粗糙面上放一质量为的球.初始时板与球均静止, 若板沿其长度方向突然获得一速度. 问经多少时间后球开始做无滑滚动? 设球与板间摩擦因数为, 板的长度足够长.

 

 

题6.24图

6.25. 如题6.25图所示, 一质量为, 半径为的匀质小圆球, 初始时位于另一个半径为的固定大圆球的顶点, 并无初速地无滑滚下, 设球一直保持无滑状态, 试证当两球连心线与竖直向上的直线间夹角时,两球将分离.

 

 

题6.25图

6.26. 试用计算机通过数值求解方法研究习题6.20中圆环的运动, 并描绘其运动情况.

 

参考答案

 

第六章思考题

 

6.1. 不对. 质心不是固定点.

6.2. 质心是一个几何点. 严格说是位于质心假想质点对点角动量, 是位于质心的假想质点的动能.

6.3. .

6.4. 质心竖直向下运动.

6.5. 圆盘以沿人跑动方向转动.在人跑动时对轴总角动量增加, 在人停止跑动后对轴总角动量逐渐减小到零. (因受轴承摩擦力矩所致.)

6.6. 由于圆盘与轴间的相互作用比较复杂, 把轴包括在质点系内, 只需分析轴受轴承的力和力矩, 较为简单.

6.7. 如轴承光滑,则总角动量不变. 人停止跑动后,圆盘亦停止转动.

6.8. 质点系的总角动量的变化与内力无关, 但内力可使角动量在质点间等量转移.

6.9. 质点系总动量为零, 则. 于是, 与点选取无关.

6.10. 不正确. 啮合后二齿轮转动角速度方向相反, 对或轴角动量都不守恒.(和都不沿方向.)

6.11. 初始时一球静止, 一球以运动, 质心初速度, 二球在质心系内速率为. 由于运动中系统动量守恒, 在质心系中对质心角动量守恒, 故其质心速度和二小球在质心系内绕质心运动的速率均不变. 因此两球的轨道与在直线轨道上作无滑滚动的圆盘边缘上一点的轨道相同.

6.12. 后轮所受向前的摩擦力不可能对自行车作正功.

6.13. 不能成立.

6.14. 由于水平轴施与的约束力不一定沿竖直方向, 故动量不守恒, 沿水平方向动量也不一定守恒. 对水平轴角动量守恒, 机械能守恒.

6.15. 在按住点的过程中, 点不可能设有位移. 如果位移足够小则外力必足够大, 我们可以忽略其位移而认为“按住点”, 但外力作负功不可忽略.

 

第六章习题

 

6.1. 可以分别求出、、和的动量，之后求和得

.

也可先求、、和的公共质心位置矢量. 由求出.

6.2. 以、和为质点组，水平向右方向动量守恒. 即，，. 下降0.1m则、，可求出m.

6.3. 以人与物体为质点组，水平方向动量守恒，可求出. 因落地时间，所以跳的距离增加了.

6.4. 三种情况均为.

6.5. 按质心运动轨道用自然坐标法，根据质心运动定理.

可求出.

6.6. 以二球、四杆和轴为质点组，根据绕竖直轴角动量守恒，可求出. 当杆的质量不可忽略时，结果不变.

6.7. 以圆锥、小球为质点组，据绕竖直轴角动量守恒，可求出. 只要槽出口处的切线方向沿母线，则结果不变.

6.8. 初始时和的质心速度，由系统动量守恒知以后质心速度不变，由质心系中绕质心角动量守恒可知和相对质心系速度不变. 以表示质点在质心系内作圆周运动的轨道切线方向，则. 质心系为惯性系. 由牛顿定律可求出.

6.9. 以传送机及被传送物体为质点组，运动过程中只有力矩及物体所受重力做功，由动能定理. 可求出.

6.10. 以和为质点组，爆炸过程中沿水平方向动量守恒（设和爆炸后速度为），再据动能定理，可解出，，和落地时间均为，故.

6.11. 以和为质点组，沿水平方向动量守恒，求出，代入机械能守恒方程，即可求出.

6.12. 设质心速度为，杆角速度为. 以地为系；质心系为系，将用于两质点，并沿平行于和垂直于杆方向投影

                    （1）

                      （2）

                    （3）

[请分析（1）式的物理意义. ]由（2）和（3）式可求出，所以. 根据系统在质心系中对质心角动量守恒，可知保持不变.

6.13. 以杆和质点为质点组，对过环心的竖直轴角动量守恒. 设质点遇到杆后的角速度为，则，即因. 将上式积分可求出.

6.14. 以，为质点组，根据动量守恒，机械能守恒，即可求出，，.

6.15. 设杆质量为、长为，撞击点到点距离为. 由角动量，质心运动定理（为点支撑力水平分量）. 由上述二式可证明：当时，. 则系统沿水平方向动量守恒.

6.16. 按住点过程中，杆对过点竖直轴角动量守恒，可求出按住点后杆绕点转动角速度，杆的动能损失.

6.17. 由对固定轴的角动量定理，积分可求出则，把积分得，代入则（圈）.

6.18. 以固定轴为轴，轴在刚体所在平面内，轴水平向后，轴竖直向上，规定摆角正方向于轴正方向一致. 复摆的运动微分方程为

                        （1）

                   （2）

                   （3）

因，，所以

             （4）

             （5）

由（3）式，即，积分可求出

. 把及代入（4）、（5）式，由（1）、（2）式可求出

 

.

6.19. 以过大圆柱圆心竖直向上半直线为定线1. 由定线1到大圆柱半径为（逆时针为正），定线1到二圆柱连心线为（顺时针为正）. 以过小圆柱圆心竖直向下半直线为定线2. 由定线2到小圆柱半径为（顺时针为正）. 初始时、点重合于大圆柱最高点，则或.

6.20. 沿方向建立轴，轴竖直向上，角正方向沿方向. 第一阶段圆环作有滑滚动，动力学方程为

                       （1）

                   （2）

                    （3）

                            （4）

                         （5）

由（1）—（5）式可解出. 由无滑滚动条件求出达到无滑滚动的时间. 时刻，. 时；时，；时，. 以后为圆环运动的第二阶段，设圆环一直作无滑滚动. 第一阶段方程（1）—（4）不变，（5）式改为. 可解得，及，, 满足，假设正确.

6.21. 由质心运动定理可证质心轨道为抛物线. 棒绕点下摆过程，由机械能守恒，可求出. 铰链脱落后棒作平面平行运动，由角动量定理可知其角速度不变. 在质心下落的时间内，转动（圈）.

6.22. 建立轴沿地面向外，轴沿墙向上. 棒端于轴上，端于轴上，以到为角正向. 从点作轴垂线，从点作轴垂线，二垂线交于点，则为端与墙分离前的瞬心. 设中点为，，则. 由对瞬心的角动量定理，可求出，积分可求出. 由质心运动定理及，可知. 把及结果代入则，由则棒与墙分离即可完成证明.

6.23. 以地面为势能零点，根据机械能守恒

  （1）

为落地时的角速度，棒刚与墙分离时. 由，，所以，. 由质心运动定理可知，把这些结果代入（1）式可求出，应取负值.

6.24. 在桌面上建立坐标系，沿方向，竖直向上. 以逆时针方向为角正方向，球的运动微分方程为

              （1）

      （2）

板的运动微分方程为

                      （3）

由（1）—（3）式可解出，，. 球上与板接触点速度，当时达无滑滚动，由此可求出. 设以后保持无滑滚动，则，把（1）—（3）式与无滑条件联立可求出，所以以后确实一直保持无滑滚动.

6.25. 以过大圆球球心竖直向上半直线为定线1，由定线1到二球连心线为角. 以过小圆球球心竖直向下半直线为定线2，小圆球初始时最低点为，由定线2到半径为角. 小球的运动微分方程为

                    （1）

                 （2）

                               （3）

无滑条件为

                             （4）

由（3）、（4）式得，利用（1）式消去得. 积分可求出. 由（2）式可求出，所以当时，两球分离.

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