解放军文职招聘考试第五章 刚体动力学

 第五章 刚体动力学
§5.1  刚体空间状态的确定
10、刚体
任意两质点间的距离均保持恒定的质点系所组成的物体称之为刚体。刚体可以由n个质点组成，其中，任意两质点间的距离保持恒定。也可以由质量连续分布质点系构成，其中，任意两标定的点之间的距离保持恒定。
20、刚体空间位形状态的确定
1、首先考虑一个质点其空间位置状态的确定。我们知道，对于一个质点要确定其空间位置状态，需要三个独立的变量，如，即一个质点的空间自由度为3；
2、现在考虑一由个质点组成的质点系，若确定了质点系每个质点的位置，则可认为整个质点系的空间位形状态得到了确定。而要确定质点系每个质点的位置，需3个独立的变量，即质点系的空间自由度为3；
3、最后我们来考虑刚体，若只确定了刚体上某点的位置，则刚体上别的点的位置并不能相应地获得确定。
若再确定刚体上另一点的位置，则刚体联线上各点的位置均可确定，因为联线上任意一点与和与的距离为固定。但如刚体绕联线转动时，联线外别的点的位置还是不能确定。
现再确定刚体上联线外的另一点的位置，则三点可构成一平面，该平面上各点的位置均可确定，因为平面上任意一点与、与和与的距离为固定。与此同时，平面外任意一点相对于平面的距离为固定，其位置也就得到了确定，即此时刚体上任意一点的位置均可确定，从而也就确定了整个刚体的空间位形状态。
换句话说，要确定刚体的空间位形状态，须确定刚体上三个不共线的点的位置，这就需要9个变量，如、和。但这9个变量不是独立的，因为这三个点之间的距离为定值，即
                                (5.1.1)
                    F
             P
     Q
              r
         
           o
图5.1，在刚体上，力作用点沿作用线在刚体上的移动，并不改变力对刚体的作用效果。
这表明这9个变量之间还有3个相互关系，从而只有6个是独立的。换句话说，要确定一个刚体的空间位形状态，只需6个独立的变量即可，一般刚体的空间自由度为6。
§5.2 刚体的受力分析与刚体的平衡
    10、力─滑移矢量
    如图5.1，作用在刚体上的力，其作用点沿作用线在刚体上的移动，并不改变力对刚体的作用效果，通常把这样矢量称为滑移矢量。
    20、力矩
如图5.1，作用在刚体上的力F对某点o的力矩，定义为该力的作用点相对于点o的位置矢量r与力F的叉积，即
                                                                      (5.2.1)
    30、力偶

               B
FA          r
                rB     FB
    A
         rA   o

图5.2，在刚体上两等大反向的力FA和FB 称为力偶。
如图2，若作用在刚体上A、B两点处的力FA和FB等大反向，即
                                           (5.2.2)
这样的一对力称之为力偶，并记为。
    40、力偶矩
如图5.2，设力FA的作用点A相对于某点o的位置矢量为rA，相对于力FB的作用点B的位置矢量为r。，而力FB的作用点B相对于o点的位置矢量为rB。则力偶对o点的力矩－力偶矩为
   
即                                       (5.2.3)
    50、力的平移
                             FA
                A

                 r
                         F’A
              O  
F"A          

图5.3，将力平移作用到刚体上的任意一点，须附加上一力偶。
如图5.3，设作用在刚体上A点处的外力为FA，显然对刚体上的任意一点o加上一对等大反向的外力和时，并不改变力FA的作用效果。当然，单独一个力FA的作用效果，也与三个力FA、和同时作用在刚体上的效果相同。若加上的这一对力其大小刚好等于FA，方向一个与之相同，一个与之相反，即
                                      (5.2.4)
则力FA与将组成力偶。而单独一个力FA的作用效果，就相当于力和力偶的作用效果，即
                                                                  (5.2.5)
从图3中看来，可认为是如果将力FA平移作用到刚体上的任意一点o，须附加上一力偶，并且此力偶的力偶矩应等于原力FA对o点的力矩，这就是所谓的力的平移。
    60、作用在刚体上任意空间力系的简化
    设作用在刚体上的外力有构成力系，各力的作用线并不一定相交于刚体上的一点。如图5.4，若将各力平移作用到刚体上的一点o，此时原各力的作用效果就相当于有
                             Fi
        C      A      Fj
           rk
     Fk       ri  F``k rj   B
       F`j
           O           F`i
F``i          
       F`k          F``j
图5.4，将各力平移作用到刚体上的一点，其作用效果就相当于作用在刚体该点上的共点力及对该点的力矩。
                              (5.2.6)
其中，为同时作用于点的共点力，且
                    (5.2.7)
而组成相应的力偶，并可设相应的力偶矩分别为、、…、。这样，作用在刚体上的力系其作用效果，就相当于作用在刚体某点上的共点力及各力对点的力矩共同的作用效果。
    70、刚体的平衡
    将刚体看成一质点系，由于质点系的内力之和为零，内力矩之和也为零，显然，如果刚体在外力系的作用下平衡，则应该有
                                                                           (5.2.8)
及                                                                         (5.2.9)
其中，、、…、是各力F1，F2，…，Fn对刚体上任意一o点的力矩，即刚体平衡时，作用在刚体上的合外力不但为零，并且对任意一点的合力矩也为零。
以后我们会看到，处于平衡状态的刚体，其质心作匀速直线运动，而整个刚体绕过质心的某一轴线作匀速转动。
§5.3 刚体动力学基本方程与刚体的平动
10、刚体动力学基本方程
将刚体看成一质点系，其质心相对于某各驻定惯性参照系的位置矢量为，设作用在刚体上的外力系中第个力的作用点相对于质心的位矢为，则可将各外力平移作用到质心点，由质心运动定理和对质心的角动量定理就有
                                                                 (5.3.1)
及                                                  (5.3.2)
而对驻定惯性参照系原点的角动量定理为
                                                    (5.3.3)
对驻定惯性参照系原点的角动量为
                                           (5.3.4)
即                                                                       (5.3.5)
其中                                                                (5.3.6)
为刚体相对于驻定惯性参照系总的角动量，
                                                       (5.3.7)
为把刚体的质量赋予质心随质心一起作平动运动时相对于驻定惯性参照系的角动量，一般称之为轨道角动量。而
                                                                   (5.3.8)
为刚体相对于质心的角动量，一般称之为自旋角动量。这样，刚体总的角动量就为其轨道角动量与自旋角动量之和。
由于刚体上任意两点间的距离为固定，因此刚体中成对的内力所做功的代数和为零。而由质点系对驻定参照系和对质心系的动能定理，有分别可有
                                                           (5.3.9)
                                                              (5.3.10)
如果作用在刚体上的外力系为保守力系，则刚体的机械能守恒，即有
      (为常量)                                                        (5.3.11)
而外力系对刚体所做的功等于刚体势能的减少，即
                                                                         (5.3.12)

          A                         A

      B                         B

 

图5.5，刚体上任意两定点的直线均保持平行。
以上(1)~(3)和(9)~(12)就是刚体动力学的基本方程。
20、刚体的平动
如图5.5，如果刚体在运动过程中，过其上任意两定点的直线均保持平行，则这样的运动称为刚体的平动。
作平动的刚体，虽然各点的位置都发生了变化，但刚体的位形不变。这样，刚体上任意一点的轨迹都相同，都有相同的位移、速度和加速度。换句话说，作平动的刚体，其上任意一点的运动，均可代表别的点的运动。显然，方程(1)为刚体的平动方程，而方程(2)描述了刚体的转动。
 一般刚体的运动是比较复杂的，但总可以看成是平动和转动的叠加。刚体的转动情形有好几种，下面我们先只讨论其中的定轴转动。

§5.3  刚体的定轴转动
       z
           ω
              v
           ρ   P

            r
       o

     
图5.6，刚体绕着一条固定不动的直线转动。
10、刚体的定轴转动
若刚体运动时，是绕着一条固定不动的直线转动的，则这样的运动称为刚体的定轴转动，而这条固定不动的直线称为转动定轴。
如图5.6，若刚体绕固定的z轴以角速度ω转动，刚体上位置矢量为r的点P就作圆周运动，其速率
                                                  (5.3.1)
其速度v可表为
                                                    (5.3.2)
其中，角速度ω作为矢量，其方向以右手螺旋定为沿z轴方向。而P点的法向加速度实际上是指向轴的，通常称之为向轴加速度，其大小为
                                                                           (5.3.3)
写成矢量形式为
                                                                     (5.3.4)
P点切向加速度为
                                                                     (5.3.5)
若将角加速度β也表为矢量的形式，则切向加速度的矢量形式为
                                                                         (5.3.6)
当然，P点的总加速度就为
                                                                      (5.3.7)
20、定轴转动参照系与刚体的定轴转动
前面第三章我们已经提到，对以角速度作定轴转动的参照系内，如果观测到质点的位置矢量为，则质点原点的速度为
                                                                        (5.3.8)
其中                                                       (5.3.9)
为在系中测量到的质点的速度─相对速度。而质点原点的加速度为
                                                 (5.3.10)
其中，                                                    (5.3.11)
为在系中测量到的质点的加速度─相对加速度。
如果将定轴转动参照系和一刚体固结在一起，则刚体和系一起作定轴转动，此时刚体上的某一点相对于的位置为固定，于是
   
相对于系为常量，则有
                                                     (5.3.12)
故作定轴转动的刚体上位置矢量为的点，其在系中测得的速度和加速度就分别为
                                                                           (5.3.13)
和                                                           (5.3.14)
其中为转动切向加速度，而为向轴加速度。这可以和前面的结论比较，完全一样。
30、刚体作定轴转动时的动能－转动动能
考虑刚体上处有一质量元，其速度为
   
其动能就为
       
对整个刚体求和积分，就得到作定轴转动的刚体其动能为
                                                               (5.3.15)
若取                                                               (5.3.16)
则                                                                        (5.3.17)
40、刚体作定轴转动时的角动量
设刚体上处质量元的运动速度为，则质量元对原点的角动量就为
   
对整个刚体求和积分就得
                                                   (5.3.18)
其轴分量
                                                           (5.3.19)
50、刚体作定轴转动时的转动惯量
在刚体作定轴转动时的动能
   
和角动量的轴分量
       
中，与角速度无关，即与刚体的定轴转动无关，只与刚体的质量对定轴的分布有关，因此它是一个只依赖于刚体质量对定轴分布的常数。由于是质量元对定轴转动半径的平方，故该常数也可表为
                                                         (5.3.20)
现将刚体作定轴转动与质点运动的物理量作如下对照表的比较
质点运动的动能 刚体定轴转动的动能
 
为运动速度 为转动角速度
为质点运动惯性的量度 应为刚体定轴转动的惯性量度
质点运动的动量 刚体定轴转动角动量的轴分量
 
为运动速度 为转动角速度
为质点运动惯性的量度 应为刚体定轴转动的惯性量度
通过比较，我们可以认定为刚体定轴转动的惯性量度，通常我们称之为刚体定轴转动的转动惯量。在刚体的定轴转动中，其转动惯量有如下的定理和概念：
平行轴定理：若刚体对过其质心的某轴线的转动惯量为，则刚体对平行于该轴、相距为的另一轴线的转动惯量为
                                                                   (5.3.21)
其中为刚体的质量。
正交轴定理：对一薄板状的刚体，作一坐标系使得平面位于板面上，轴垂直于板平面，则刚体对轴的转动惯量等于对轴及轴的转动惯量之和，即
                                                                    (5.3.22)
合成法则：若一刚性系统由个刚体部分组成，各刚体部分对某一定轴的转动惯量分别为，则整个刚性系统对此定轴的转动惯量就为
                                                                      (5.3.23)
回转半径：设刚体对过其质心的某轴线的转动惯量为，若能找到一线度量，使得
                                                                     (5.3.24)
则称为刚体对此轴线的回转半径。
60、常见的刚体作定轴转动时的转动惯量
1、质量为，长为的均质直杆，对过其中心垂直于直杆的轴线的转动惯量为
                                                                  (1)
2、质量为，长为的均质直杆，对过其一端垂直于直杆的轴线的转动惯量为
                                                                    (2)
    3、质量为半径为的均质圆薄板，对过其圆心垂直于板面的轴线的转动惯量为
                                                                            (3)
    4、质量为半径为的均质圆薄板，对过其一直径轴线的转动惯量为
                                                                            (4)
    5、质量为半径为的均质圆环，对过其圆心垂直于圆环平面的轴线的转动惯量为
                                                                              (5)
    6、质量为半径为的均质圆球，对过其一直径轴线的转动惯量为
                                                                            (6)
    7、质量为半径为的均质圆球壳，对过其一直径轴线的转动惯量为
                                                                            (7)
70、刚体作定轴转动时的角动量定理(含角动量守恒定律)
由刚体的角动量定理
   
考虑刚体作定轴转动时轴方向的角动量和力矩
       
则在轴方向上就有
                                                                           (5.3.25)
即                                                                       (5.3.26)
或                                                                      (5.3.27)
其中为刚体作定轴转动的角位置，有
                                                                           (5.3.28)
80、刚体作定轴转动时的动能定理
以刚体作定轴转动的角位移乘以(2)式得
   
即     
积分就得
                                                   (5.3.29)
与质点运动的动能定理比较
       
为外力对质点作用使之有的位移时，外力对质点所做的功；而就可理解为轴方向的外力矩使刚体有的角位移时，外力矩对刚体所做的功。故(5)式可阐述为对轴的外力矩对刚体所做的功等于刚体转动动能的变化，这就是刚体定轴转动的动能定理。
若作用在刚体上的外力系为保守力系，则刚体作定轴转动的机械能守恒，有
                                                      (5.3.30)
90、轴上反力
设刚体作定轴转动时，轴线对刚体的反作用力为，而别的外力称为主动力，则由质心运动定理有
                                                                (5.3.31)
由此可看出，既便作用在刚体上的主动力为零，只要刚体的质心不在定轴轴线上，总不为零，从而定轴轴线对刚体的反作用力总操作不为零。为使刚体不受主动力作用时能自由转动，不受定轴轴线对刚体的反作用力，自然需要定轴轴线通过其质心，此时的转动轴称为自由转动轴。实际上，刚体定轴轴线对刚体无反作用力的条件还要更复杂一点。因为一般情况下，定轴轴线上不同的点对刚体均可能有反作用力，而轴上反力只是其合力。合力为零，并不代表轴线上各点对刚体均无反作用力。相应地，刚体的定轴轴线既便通过其质心，也不一定就是毫轴上反力的自由转动轴，本文只讨论到此。
§5.4  刚体的平面平行运动
10、刚体的平面平行运动
如果刚体运动时，刚体上的任意一点始终在平行于某个固定平面的平面上，则刚体这样的运动称之为刚体的平面平行运动。而研究刚体的平面平行运动，只需研究刚体上任一平行于某个固定平面的平面上的点的运动即可。
20、平面平行运动参照系与刚体的平面平行运动
同样由第三章非惯性系质点动力学我们知道，如果将平面平行运动参照系和一刚体固结在一起，则刚体和系一起作平面平行运动，此时刚体上的某一点相对于的位置为固定，于是
                                                            (5.4.1)
相对于系为常量，则有
                                                                      (5.4.2)
及                                                            (5.4.3)
其中和分别为所研究的平行于某个固定平面的平面上选作为基点的系的原点的速度和加速度。实际上基点不一定选在系的原点上，但和得分别为基点和所研究的点相对于基点的位置矢量，而刚体的平面平行运动可看成是所研究的刚体平面绕过基点垂直于平面的轴线的转动和轴线作平动的合成。
30、转动瞬心
若作平面平行运动的刚体其角速度不为零，某一时刻所研究的刚体平面上某点的速度为零，则该点称之为该瞬间刚体平面平行运动的转动瞬心，而该时刻，所研究的刚体平面上别的点的运动，看起来就象是绕该转动瞬心以角速度作纯转动一样。
注意到，故令(2)为零，就可得到转动瞬心在系中的坐标
                                                                 (5.4.4)
同理，转动瞬心在系中的坐标为
                                                                        (5.4.5)
其中为所选的基点在系内测得的速度。如果，则可认为转动瞬心在无穷远处。

           本体极迹
              C’C 

           空间极迹

图5.7，本体极迹在空间极迹上作无滑动。
    当所研究的刚体平面运动时，转动瞬心的位置不断变化，在系的平面上将划出一条轨迹，这条轨迹称之为空间极迹；同样转动瞬心也将在系的平面上划出一条轨迹，这条轨迹称之为本体极迹。实际上，刚体平面平行运动可看成是其本体极迹在空间极迹上无滑动的滚动而成。(P198，例1)
40、刚体平面平行运动的动力学定理
为了方便，选取刚体的质心为基点，则由质心运动定理，可得到质心的运动方程
                                                                     (5.4.6)
而取过质心垂直于所研究的刚体平面的直线为转动轴，则由对定轴的角动量定理有
                                                                         (5.4.7)
                      y
                      A     P
         R             θ r
       o                          x
                              B
                         C

图5.8，轮缘上与平面接触之点不动，即为转动瞬心。平面上的直线就是空间极迹。
实际上，刚体要作平面平行运动肯定受到了某些限制，否则刚体就作别的运动了(如不受任何限制的一般自由运动)，因此还存在某些具体的约束方程，这要视具体情况而定。即刚体的平面平行运动除满足上述两个动力学方程外，还满足由具体要求确定的约束方程。
由科尼希定理可知，刚体的平面平行运动的动能可分为两部分，一为质心作平动的动能，一为刚体绕质心转动的动能。如果作用在刚体上的外力系为保守力系，则刚体的机械能守恒，有
     (5.4.8)
50、圆轮的滚动
    1、纯滚动，若圆轮在一固定平面上作无滑动的滚动，则这样的滚动称为纯滚动。此时，轮缘与固定平面接触之点C无滑动的的现象。由于固定平面是静止，与轮缘接触之点C也静止，所以轮缘上固定平面接触之点C的速度为零，该点即为转动瞬心。显然作纯滚动的圆轮就是一种刚体的平面平行运动，其本体极迹就是轮缘，而空间极迹就是那固定平面上的直线(如图5.8)。
    设轮心的速度为，圆轮作纯滚动的角速度为，取所研究时刻系的坐标轴如图5.8，则对于轮缘上某点，其位置矢量
                                                     (1)
其速度
                                                                         (2)
其中    ，                                                             (3)
则                                                                   (4)
如对于轮缘底点，。由，有
       
可得                                                                          (5)
对于轮缘顶点，，有
                                                                        (6)
对于轮缘前点，，有
         ω      N

            J
              C                x

              P

                        f
                 mg

图5.9，纯滚动的摩擦力应是静摩擦力。
                                      (7)
又设圆轮受力如图5.9，其中为主动力，为载荷，为摩擦力，由对质心的动量定理和角动量定理就有
                     (8)
及                                   (9)
其中为圆轮所受到的主动力矩，负号是因其方向与方向相反，即同时，。在通常情况下，如汽车的驱动轮，所受的主动力可认为为零，故
                                                                    (10)
因圆轮作纯滚动，有
       
从而
         ω      N

            J
              C                x

              P

       f
                 mg

图5.10，圆轮在平面上作有滑动的滚动
                                   (11)
(P201例题2)
    2、若圆轮在平面上作有滑动有滚动的运动，受力如图4，其中为滑动摩擦力，有
                                  (12)
同样由对质心的动量定理和角动量定理，有
                                                     (13)
及                                                                  (14)
对(13)式可分解为
                                                                     (15)
从而
                                                                      (16)
(例)
§5.5  刚体的定点转动
10、刚体的定点转动
如果刚体运动时，刚体上有一点总保持固定不动，则称这样的运动为刚体的定点运动。刚体作定点运动时，刚体上别的点可看成是绕该定点作转动，故刚体的定点运动也称为刚体的定点转动。
20、空间定点旋转参照系与刚体的定点转动
由第三章非惯性系质点动力学，如果将一刚体和空间定点运动参照系固结在一起，则刚体也就作定点转动。若刚体上某点的位置矢量
                                                         (5.5.1)
则其速度和加速度就分别为
                                                                            (5.5.2)
和                                                            (5.5.3)
其中为转动切向加速度，而为转动向轴加速度。
30、转动瞬轴
同样由第三章非惯性系质点动力学我们知道，作定点转动的刚体上时刻瞬间存在一条过定点的转动瞬轴。该时刻瞬间，转动瞬轴上任意一点的速度均为零。此时，刚体上别的点可看成是绕此瞬轴作转动。
若令(2)式为零，则可得到瞬时轴线的方程
                                                                  (5.5.4)
即                                                                     (5.5.5)

           空
           间
            极
             面
                       本体极面

 

 

图5.11，空间极面和本体极面总是相切的。
而在固结于刚体的运动参照系中，瞬时轴线的方程为
                                (5.5.6)
即                                    (5.5.7)
随着刚体的运动，瞬时轴线不断地变化。在系内，瞬时轴线将划出一圆锥面，这圆锥面称为刚体定点转动的空间极面。而在系内，瞬时轴线也将划出一圆锥面，这圆锥面称为刚体定点转动的本体极面。两极面总是相切的(如图5.11)。
           z             l

                     
                 N    ρi
                           mi
                θi      (xi ,yi,,zi)
                       ri
        o
                                y

    x
图5.12，刚体上质点距轴线的距离为。
40、刚体对过定点的某一轴线的转动惯量
设作定点运动的刚体上，一过定点的轴线的方向余弦分别为()，刚体上质点距轴线的距离为，如图5.12可有

其中，
而   
于是 
注意到，则可得到

现定义刚体对轴线的转动惯量为
                                                                         (5.5.6)
于是
                     (5.5.7)
取对、和轴的转动惯量分别为
                                                                (5.5.8)
及所谓的惯性积
                                                               (5.5.9)
则刚体对任意轴线的转动惯量就可表为
                                   (5.5.10)
考虑到轴线上的单位矢量可由行向量或列向量表述，即可由所谓的逆变矢量
                                                                    (5.5.11)
或协变矢量
                                                                          (5.5.12)
表示，而将如下的矩阵称为惯量张量
                                                           (5.5.13)
其中矩阵中的各元素称为惯量张量的惯性系数，则刚体对任意轴线的转动惯量又可表为
                                                                       (5.5.14)
显然，转动惯量在固结于刚体上的运动坐标系中也可得到相应的表述。随着所选取的坐标系的不同，转动惯量的表达也将不同。但对同一条轴线，由于刚体质量对其分布一定，对该轴的转动惯量结果也一定相同。若所选取的运动坐标系能使得转动惯量中的惯性积都为零，则转动惯量的表述将得到简化，此时
                                                        (5.5.15)
注意，此时的，均为系内的坐标。为选得这样的坐标系，可在轴线上取一点，使得其位置坐标为
                                                                            (5.5.16)
其中
                                                                       (5.5.17)
还是由(10)描述，则随着轴线的不同，点可有相应的轨迹方程。由(10)、(16)和(17)三式，点的轨迹方程就为
                                      (5.5.18)
这是一个中心在定点的圆锥曲面方程。在时，一般为闭合曲面，也就是一个中心在定点的椭球面，而这个椭球通常称之为惯量椭球。若选取这个椭球三个相互垂直的主轴为坐标轴，则惯量椭球面的方程(18)可简化为
                                                                   (5.5.19)
相应地，惯量椭球的三个半长轴分别为
                                                                        (5.5.20)
显然，此时的三个惯性积均为零。而此时的坐标系称为主轴坐标系，其坐标轴即椭球的主轴称为惯量主轴。相应地，对方向余弦分别为、和的轴线的转动惯量由(15)式确定。
50、刚体作定点转动的角动量
设刚体作定点的转动，其角速度为，刚体上某质点相对于定点的位置矢量为，则其速度为，相应地，刚体对定点的角动量就为
                           (5.5.31)
展开后其分量为
                                                        (5.5.32)
若取角速度的逆变矢量为
                                                                (5.5.33)
协变矢量                                                                 (5.5.34)
则刚体对定点的角动量可用其协变矢量表述，
                                                                    (5.5.35)
即                                    (5.5.36)
若所选取的坐标系的坐标轴均为惯量主轴，则
                                                        (5.5.37)
60、刚体作定点转动的动能－转动动能
由质点系动能的定义，刚体定点转动的动能为
   
利用，上式可化为
       
即                                                                       (5.5.38)
利用(3)和(6)式，刚体定点转动的动能就可表为
                                (5.5.39)
若所选取的坐标系的坐标轴均为惯量主轴，则
                    (5.5.40)
                Z
                    y      y”
  z          θ      ψ

              o                 Y
                φ  ψ  x
          X          N

 

图5.13，三个欧勒角、、。
70、欧勒角与欧勒运动学方程
我们知道，一般刚体的自由度是6，而对于作定点运动的刚体，其上有一定点，这样就要减去定点的3个自由度。所以，作定点运动的刚体，其自由度只为3。因此，只需3个独立的变量，就可以描述作定点转动的刚体的空间位形。但这3个独立的变量如何选取呢？欧勒找到了一种选取这3个独立变量的方法。
取两组右手正交坐标系，其原点均选在定点上。其中一组坐标系是驻定惯性参照系的，另一组坐标系与刚体固结，随刚体一起作定点转动。并假设轴就是瞬时轴。
如图5.13，平面与平面的交线称为节线。节线与的夹角称为进动角，节线与的夹角称为自转角，而与的夹角称为章动角，这三个角统称为欧勒角。
由图5.13可看出，如果确定了平面的位置，也就确定了自转轴的位置。而平面的位置，可以用和两个角度来确定。即自转轴的位置，是由和两个角度来确定来确定的。最后可以用自转角来确定和的位置。这样，固结在刚体上三个坐标轴的位置都确定了，刚体的空间位形也就确定了。
三个欧勒角可以是这样形成的，假定一开始三个坐标轴都是重合的，节线也与轴重合。先是绕节线转过一个角度，形成图5.14；接下来再绕轴转过一个角度，形成图5.15；最后再绕轴自转一个角度，形成图5.13。三个欧勒角的变化范围如下：
               Z
         
          z
              θ          y

                              Y
        x,X
          N

图5.14， 先是绕节线转过一个角度。
                                                                   (5.5.41)
现假设刚体绕过定点的某一轴线转动的角速度为，在运动坐标系中，
                                                           (5.5.42)
但原欧勒角是由三个角度的转动形成的。故可以认为，刚体定点转动的角速度是由三个转动角速度叠加而成的。将这三个转动角速度分别投影到三个坐标轴上，就可得到
                  Z
                            y
      z      θ
            

                               Y
       X       φ
                   x,N

图5.15，再绕轴转过一个角度。
                                                     (5.5.43)
这就是所谓的欧勒运动学方程，它表示了欧勒角与刚体定点转动角速度之间的关系。
如果定点转动的角速度在驻定坐标系中表为
                        (5.5.44)
则将这三个转动角速度分别投影到三个坐标轴上，就可得到在驻定坐标系中的欧勒运动学方程
                                                 (5.5.45)
    如前面第三章提到的地球自转的问题，严格来讲，地球的自转轴方向并非固定。地球的运动实际上可看成是刚体的定点转动，其自转轴有章动和进动。章动周期大约为19年，进动周期大约为25800年，这一问题将在重刚体的拉格朗日－泊松情形中讨论。
    80、刚体定点转动的角动量定理－欧勒动力学方程
将质点系的角动量定理用于刚体的定点转动，有
   
若选取刚体上过定点的惯量主轴为固结于刚体的系的坐标轴，则
       
其中。于是
                                                               (5.5.46)
其各分量
                                                          (5.5.47)
这就是所谓的欧勒动力学方程，刚体的定点转动满足这微分方程(组)。
90、机械能守恒定律
若作用在刚体上的外力中，只有保守力做功，则刚体的机械能守恒，即
      为常量                                   (5.5.48)
               z
     ω
     ω2       ω1             B
              o
            E              A
      x                            y
                   l
                           C
图5.16， 碾轮在水平面上沿圆形轨道作无滑动的滚动，其角速度可以合成。
100、应用实例
1、碾轮的运动
如图5.16，设半径为的碾轮在水平面上沿圆心为半径为的圆形轨道作无滑动的滚动。若轮心的速度为，试讨论碾轮的角速度和角加速度，以及轮缘最高点的速度和加速度。
碾轮的运动可看成是绕定点的转动。另一方面，碾轮的运动可看成是两个转动的合成：一是碾轮本身绕自身轴线的转动，二是碾轮的轴线绕轴的转动。因角速度是矢量，可以合成，故碾轮绕定点转动总的角速度为
                                (1)
建立运动坐标系如图6，有
                                                                           (2)
故(1)式化为
                                                                       (3)
而三点的位置矢量分别为
                                                                         (4)
其速度就分别为
                                   (5)
但已知
                                                                           (6)
故                                                              (7)
相应地
                                                (8)
由此可看出，碾轮作定点转动的角速度与共线，即直线为碾轮作定点转动的瞬时轴。实际上通过分析，也可以确定直线为碾轮作定点转动的瞬时轴。因为点的速度为零，定点为，两点确定一直线，该直线就必然为转动瞬轴。
碾轮角速度的方向直线即瞬轴轴也是绕轴以转动的。这样，碾轮的角加速度就可以看成是矢量的矢端速度，即有
                                                                      (9)
即得                                                                        (10)
于是点的加速度
                                                             (11)
即得                                                                (12)
若碾轮的质量为，则碾轮对滚动时对轨道的压力又如何呢？这个问题可以这样考虑：因碾轮的转动可以看成是两个转动的合成，故其角动量可为
                                                                 (13)
其中
                                                                    (14)
这样，                                               (15)
考虑对点的角动量定理，有
                              (16)
如图5.17，注意到
        z
                         
ω         ω1

 ω2       o          A        y
   x
         E             C
图5.17，碾轮滚动时对轨道的压力要大于其自身重量。
                                            (17)
则     
即得                                  (18)
由此可看出，碾轮滚动时对轨道的压力要大于其自身重量。
              Z         z

 

                  G
               

               mg

图5.18，陀螺的转动定点在其重心上。
    实际上，如果轨道是光滑的(平面)，则碾轮还要受到轴对其的拉力。这个拉力就是使碾轮绕轴转动的向心力。
2、对称陀螺的自由运动
如果一作定点转动的刚体其主轴转动惯量有
                                     (1)
则这样的刚体称之为对称陀螺。图5.18中的刚体就是这样的对称陀螺。若陀螺在运动过程中不受外力矩的作用，则陀螺的定点转动称为自由转动。如图5.18中的陀螺，如果其转动定点在其重心上，则这个陀螺作的就是自由转动。
现取过定点重心的主轴坐标系，则陀螺的角速度、角动量和转动动能分别为
                                                      (2)
因陀螺作定点的自由运动，不受外力矩的作用，故其角动量和动能均守恒为常量。而角动量的平方为
                                                              (3)
角速度分量有
                                                                (4)
角速度的平方为
                                                                (5)
          ω        
                    z     L

                       
        α  θ

    G

图5.19，自由陀螺的角动量为常量。
即角速度的大小及其轴分量不变。又因陀螺的角动量为常量，不妨将此固定方向作为一个方向的比较基准。如图5.19，由
       
可知为常量，即陀螺运动时，角速度与角动量之间的夹角保持不变。因方向固定，故角速度的方向直线即瞬时轴只能绕匀速转动，才能保持夹角不变。
又因
   
故为常量。即陀螺运动时，其对称轴与角动量之间的夹角也保持不变。同理，只有轴绕匀速转动，才能保持夹角不变。
    对称陀螺的自由运动其欧勒动力学方程的详解，将在重刚体问题中讨论。
110、重刚体问题
    刚体定点转动的问题，就是求解三个欧勒动力学方程和三个欧勒运动学方程的问题，也称为欧勒动力学问题。这是六个非线性微分方程的问题。如果在这六个方程中，消去和就得到三个关于欧勒角和的二阶常微分方程。如果能求解这三个二阶常微分方程，得到三个欧勒角和与时间的关系，则能确定刚体的运动情况。但在一般情况下，是很困难的，甚至是不可解的。如果一个刚体，除受约束反力外，只受到重力的自由，则这样的刚体称之为重刚体。既便是这样的重刚体，目前也只知道有三种可解的情形。下面就这三种可解的情形分别作讨论：
1、欧勒－潘索情形
该情形下刚体只因惯性而运动，这要求合力矩为零。此时，合外力通过刚体的定点。作为特殊情况，可假定刚体的定点与其重心重合。这样的刚体是不对称陀螺，也称为欧勒陀螺。
欧勒－潘索情形的欧勒动力学方程和欧勒运动学方程其求解过程较为冗长，具体可参见B. Γ. 涅符兹格利亚多夫著的《理论力学》P287。
2、拉格朗日－泊松情形
        Z   
          ω1         z
                      ω2

           θ   G

      o
         Φ    mg

图5.20，拉格朗日陀螺的重心位于动力对称轴上，但不一定与定点重合。
在该情形下，刚体对定点的惯量椭球为一旋转椭球，，刚体的重心位于动力对称轴上，但不一定与定点重合。这样的刚体是对称陀螺，也叫拉格朗日陀螺。下面我们来求解拉格朗日－泊松情形的欧勒动力学方程和欧勒运动学方程。
如图10，所选取的运动坐标系显然是惯量主轴。图中，除地面对陀螺的约束反力，刚体受到的外力就是重力。若取定点与重心的距离为，则重力对定点的力矩为
                       (1)
显然，是进动角速度的方向，有
                    (2)
这样，重力对定点的力矩在中就可表为
                                                   (3)
于是对称陀螺的欧勒动力学方程为
                                               (4)
其中，第三式的积分可立刻得出
                                                          (5)
这表明陀螺沿其对称轴的角速度分量是不变的。
由于约束反力不做功，而重力是保守力，故陀螺的机械能守恒，有
      为常量                              (6)
利用欧勒运动学方程
                                                           (7)
及(5)式，(6)式就可化为
                                             (8)
(5)式和(8)式就是欧勒动力学问题的第一积分。现再直接从物理概念出发，找出第三个第一积分。因陀螺所受重力与轴平行，对轴的力矩为零。由角动量定理可知，陀螺的角动量在轴方向的分量一定为常数，即有
          为常数                                                            (9)
注意到，利用(2)式，就可得到
                                                       (10)
这样，就找到了欧勒动力学问题的第三个第一积分。下面再来求解陀螺的运动规律。
现取，并令，由(10)式表出，代入到(8)式，再乘以，就可化得
                              (11)
即                                (12)
这是一个关于的三次多项式函数。设的三个实根分别为和，且，则(12)式可化为
                                                     (13)
其解为椭圆积分函数
                                                 (14)
的反函数。如此欧勒角随时间变化的规律，将由下式确定
                                                                      (15)
3、C. B. 柯凡律夫斯卡雅情形
    在该情形下，刚体对定点的惯量椭球也为一旋转椭球，而，刚体的重心则位于惯量椭球的赤道平面上，不一定与定点重合。这样的刚体也是对称陀螺，其解是C. B. 柯凡律夫斯卡雅应瑞典皇家科学院所征的。具体可参见相关文献。
120、对称陀螺的回转效应
一个均质的对称陀螺，如果绕其自转轴作高速旋转又没有初始进动角速度时，若不受外力矩的自由，则由于惯性，陀螺的转动轴方向将保持不变，即其角速度方向将保持不变。这种陀螺又称回转仪，常用于惯性导航。
而当这样的陀螺在绕其对称轴高速旋转，同时还受外力矩的自由时，外力矩要使它的对称轴绕某个方向转动，它的对称轴却绕另一个垂直的方向转动。这种现象称之为回转效应。如图10，重力矩要使陀螺对称轴绕轴转动倒地，它却绕轴回转。这好象有一个称之为回转力矩的力矩，使陀螺不倒地。要详细求解对称陀螺的回转效应问题，可参见B. Γ. 涅符兹格利亚多夫著的《理论力学》第十一章和第十五章。
§5.6  刚体的一般运动
10、一般运动参照系与刚体的一般运动
若将一刚体这空间一般运动参照系固结在一起，这刚体也就作一般的运动。如果系的原点取在刚体的质心上，则刚体的一般运动可看成是刚体的质心在作平动，而刚体又绕其质心作定点转动。显然，刚体上某点相对于系的位置矢量
                                                             (5.6.1)
为常量，有
                                                      (5.6.2)
故作一般运动的刚体上位置矢量为的点，在系中测得的速度和加速度就分别为
                                                                  (5.6.3)
                                                    (5.6.4)
    20、刚体的一般运动所满足的动力学方程
由质心运动定理，刚体的质心满足如下的动力学方程
                                                                 (5.6.5)
又取作一般运动的刚体的质心为运动坐标系的原点，由于质心本身存在的某种对称性，可取过质心的惯量主轴为运动坐标系的坐标轴，则由对质心的角动量定理，可有
           
也即为欧勒动力学方程
                                                          (5.6.6)
由上一章我们知道，刚体总的角动量有
              
其中为刚体的质量集中于质心，质心相对于驻定惯性参照系的角动量，称为轨道角动量，有
       
而为刚体相对于质心的角动量，称为自旋角动量，可看成是对自身定点C的角动量，为
                                       (5.6.7)
另一方面，作用在刚体上的外力系可以平移到质心，其效果相当于外力对质心的力矩以及作用于质心的共点力。注意到
   
则在驻定惯性参照系中的角动量定理为
                                   (5.6.8)
即                                                      (5.6.9)
其中
                                                                          (5.6.10)
可称之为轨道角动量定理。