解放军文职招聘考试第四章 质点系动力学

 第四章 质点系动力学
§4.1  质点系及其基本性质
10、质点系
所谓的质点系就是由若干个质点构成的系统。
20、外力与内力
质点系内部质点间的相互作用力称之为质点系的内力，而质点系外部对质点系某个质点的作用力称之为质点系的外力。
30、内力的性质
(1)、内力之和为零
如图4.1，设质点系由个质点组成，质点系内部第个质点对第个质点的作用力为，而由牛顿第三定律，第个质点也要受到第个质点对它的作用力，并且有
                                                                     (4.1.1)
若假设第个质点受到的质点系内部别的质点对它的作用力之和为
                                                                          (4.1.2)
由于质点系内部质点间的作用力总是成对出现的，故质点系内所有的质点所受到的内力之和就为
         
                   
                 

     o
图 4.1， 第个质点对第个质点的作用力为，而第个质点也要受到第个质点对它的作用力。
                            (4.1.3)
即质点系的内力之和为零。
(2)、内力矩之和为零
同样如图4.1，设第个质点相对于某一参考点的位置矢量为，它受到的第个质点的作用力为，其力矩为
                                   (4.1.4)
而第个质点相对于参考点的位置矢量为，它受到的第个质点的作用力为，其力矩为
                                                                        (4.1.5)
二者之和为
       
由牛顿第三定律，有
       
于是   
即                                                              (4.1.6)
由此可见，两质点间对某一参考点的内力矩也是大小相等，方向相反，处在同一条直线上。这样，若假设第个质点受到的质点系内部别的质点对它的作用力对参考点的力矩之和为
                                                             (4.1.7)
同样由于质点系内部质点间的作用力对参考点的力矩总是成对出现的，故质点系内所有的质点所受到的内力矩之和就为
                                             (4.1.8)
即质点系的内力矩之和为零。
40、质点系的质心与质心存在定理
    设质点系由个质点组成，各质点对惯性参照系内一定点的位置矢量分别为， 则在惯性系内，总可以找到一点，使得该点的位矢满足
                                                                        (4.1.9)
其中，  。
此点即称为质点系的质心，这就是质点系的质心存在定理。
在直角坐标系中，质心的位置坐标有
                                                       (4.1.10)
对于质量连续分布的质点系，设在点处有一可看成质点的质量元，则对整个质点系求和就可有
                                                    (4.1.11)
其中，  。
50、相对质心定理
如图4.2，设质点系由个质点组成，各质点相对于质心的位置矢量分别为，则必有
                                                                    (4.1.12)
             
                 
         
        o          C
图4.2，质点相对于质心的位矢为。
这个相对质心定理可以这样考虑，如对第个质点，设对惯性系中的定点的位矢为， 而质心对点的位矢为，则质点相对于质心的位矢就有
   
即     
对整个质点系求和就得
       
利用(9)式即得
       
60、质点系的重心与质心的关系
设质点系由个质点组成，各质点的重力加速度不尽相同，分布为，如果存在这样的点，使得
                                                              (4.1.13)
其中为各质点相对于点的位置矢量，则该点就称之为质点系的重心。
如果各质点的重力加速度均相同为，则(13)式可以化为
   
即得   
由相对质心定理，此时质点系的重心与质心为同一点重合。
§4.2  质心运动定理
设质点系由个质点组成，时刻各质点对惯性参照系内一定点的位置矢量分别为，其中第个质点所受到的所有质点系的外力为，所受到的所有质点系的内力为，由牛顿第二定律，第个质点的运动微分方程就为
                                                                (4.2.1)
对质点系的个质点求和就得
       
利用内力之和为零并变换求导求和次序就得
       
即     
                                                                     (4.2.2)
这表明无论质点系是如何运动的，系统内部的状态如何，质点系质心的运动就相当于把质点系的总质量赋在质心上、把质点系所受到的所有外力作用在质心上，这样的一个质点的运动一样。
§4.3  质点系的动量定理
10、质点系的动量
质点系的动量指的是质点系所有质点的动量之总和，即
                                                             (4.3.1)
20、质点系的动量定理
质点系的动量定理指的是：质点系各质点的动量之和即总动量对时间的微商，等于质点系所受到的外力之和，即
                                                               (4.3.2)
实际上，若假设质点系第个质点所受到的所有质点系的外力为，所受到的所有质点系的内力为，由牛顿第二定律，第个质点的运动微分方程就为
   
则对质点系所有的质点求和就得到
       
利用内力之和为零并变换求导求和次序就得
       
30、质点系的动量守恒定律
由质点系的动量定理(2)式，若质点系所受到的外力之和为零或不受外力的作用，则质点系的总动量守恒，即
                                                (4.3.3)
这就是质点系的动量守恒定律。
如考虑质点系各质点在时刻(状态Ⅰ)的速度分别为，在时刻(状态Ⅱ)的速度分别为，而质点系在从时刻的状态Ⅰ变化到时刻状态Ⅱ的过程中，如果质点系所受到的外力之和为零或不受外力的作用，则由质点系的动量守恒定律就有
=              (4.3.4)
§4.4  质点系的角动量定理
10、质点系的角动量
设质点系由个质点组成，时刻各质点对惯性参照系内一定点的位置矢量分别为，速度分别为，则质点系对该定点的角动量—总角动量就为
                                                        (4.4.1)
20、质点系的角动量定理
质点系的角动量定理指的就是：质点系各质点对惯性系中任一定点的角动量之和对时间的微商，等于质点系各质点所受到的外力对该定点的外力矩之和，即
                                                (4.4.2)
实际上，若假设质点系第个质点所受到的所有质点系的外力为，所受到的所有质点系的内力为，由牛顿第二定律，第个质点的运动微分方程就为
   
如果第个质点相对于惯性系某一定点的位置矢量为，则以叉乘上式可得
       
注意到
       
                  
                  
则上式可化为
       
对整个质点系求和就得
       
利用就得到
       
30、质点系的角动量守恒定律
由质点系的角动量定理可知，若质点系各质点所受到的外力对惯性系一定点的力矩之和为零，则质点系对此点的角动量守恒，即
                                                    (4.4.3)
这就是质点系的角动量守恒定律。
    值得注意的是，当质点系的角动量对惯性系中的某一定点守恒时，则对惯性系中的任一定点均守恒，只不过是守恒量值不同而已。这是由于质点系各质点所受到的外力对惯性系中的某一定点的力矩之和为零时，对惯性系中的任一定点之和也为零。
§4.5  质点系的机械能
10、质点系的动能定理
假设质点系第个质点所受到的所有质点系的外力为，所受到的所有质点系的内力为，由牛顿第二定律，第个质点的运动微分方程就为
   
如果第个质点相当于惯性系某一定点的位置矢量为，则以点乘上式可得
       
即     
对整个质点系求和即得
                                    (4.5.1)
这就是质点系的动能定理，即质点系动能的增量等于质点系所有外力和内力所做的功。注意，质点系所有内力所做的功不为零。
20、质点系的机械能
质点系总的机械能就是质点系各质点的动能和势能之总和，即
                                                           (4.5.2)
30、质点系的机械能守恒定律
显然，若需质点系的机械能守恒，则要求质点系所有的外力和内力均为保守力。反之，若质点系所有的外力和内力均为保守力，则质点系的机械能守恒。
§4.6 质心参照系的动力学定理
    10、实验室参照系与质心参照系
实验室参照系：所谓的实验室参照系就是实验观测者所处的惯性参照系；
质心参照系：而质心参照系就是固结于质心随质心一起相对于实验室参照系作平动的运动参照系。
20、质点系对质心系的动量定理
在质心参照系中，如果假设质点系各质点在时刻相对于质心的的速度分别为，则质点系相对于质心系动量总保持守恒为零，即
                                                                     (4.6.1)
实际上，由相对质心定理
   
对时间求导就得
         
            
         
   o           C
图4.3，在质心参照系中，测得质点相对于质心的位矢为。
       
即     
30、质点系对质心系的角动量
设质点系由个质点组成，各质点对实验室参照系内一定点的位置矢量分别为，速度分别为，相对于质心的位置矢量分别为，速度分别为。对第个质点，有
                                                                      (4.6.2)
乘以后对时间求导得
       
即                                                                  (4.6.3)
对整个质点系求和并利用质点系对质心系的动量定理就得
                                                              (4.6.4)
这表明质点系的总动量就等于把质点系的总质量赋予质心随质心一起运动的动量。
而以叉乘(3)式得
   
即     
利用   
上式可化为
       
对整个质点系求和得
 
即 

利用相对质心定理和质点系对质心系的动量定理就得
                                           (4.6.5)
即                                                                       (4.6.6)
其中                                                                (4.6.7)
为质点系相对于实验室系总的角动量，
                                                       (4.6.8)
为把质点系的质量赋予质心随质心一起作平动运动时相对于实验室系的角动量，一般称之为轨道角动量。而
                            z`

 

 图4.4，地球相对于太阳系总的角动量，可等于地球的质量赋予地心绕太阳作轨道运动的轨道角动量与地球相对于地心的自旋角动量之和。
                                  (4.6.9)
为质点系相对于质心的角动量，一般称之为自旋角动量。这样，质点系总的角动量就为其轨道角动量与自旋角动量之和。如地球相对于太阳系总的角动量，可等于地球的质量赋予地心绕太阳作轨道运动的轨道角动量与地球相对于地心的自旋角动量之和。又如氢原子核外的电子的角动量，可等于电子绕原子核运转的轨道角动量与电子自身的自旋角动量之和。
40、质点系对质心系的角动量定理
质点系对质心参照系系的角动量定理就是：质点系内各质点对质心的角动量之和，其对时间的微商等于各质点所受到的外力对质心的力矩之和，即
                                              (4.6.10)
这与质点系对惯性系中任一定点的角动量定理的形式相同。
    实际上，以质心为原点建立平动参照系即质心运动参照系，对第个质点，有
       
由牛顿第二定律又可有
       
这样，在质心运动参照系内观测时，就有
       
以叉乘上式并对整个质点系求和就得
       
由于质心的内力对任意一点的力矩之和为零，则上式可化为
       
利用相对质心定理就可化为
       
由于   
即     
       
于是就得
       
50、科尼希定理
科尼希定理指的是：质点系的总动能，等于系统的质量集中赋予质心随质心作平动的动能与系统各质点相对于质心运动的动能之和，即
                                      (4.6.11)
实际上，以质心为原点建立平动参照系即质心运动参照系，对第个质点就有
       
而质点系总的动能就为
       
即     
利用质点系对质心系的动量定理就得
       
60、质点系对质心系的动能定理
    如考虑对第个质点，有
       
由牛顿第二定律就有
       
以点乘上式并求和就得
       
即     
       
于是得
                                                  (4.6.12)
这说明：质点系对质心系动能的增量等于在质心系中外力和内力对质点系所做的功。
§4.7  碰撞
10、完全弹性碰撞
如果将参与碰撞的物体作为一个系统考虑，当碰撞过程中系统不受外力作用或合外力为零时，系统总的动量不但守恒，而且系统的能量也没有损失，则这样的碰撞称之为完全弹性碰撞。如两个刚性的球发生的碰撞就是这样的完全弹性碰撞，碰撞的物体一般可看成质点。
现假设发生完全弹性碰撞的质点系为个质点组成，碰撞前的速度分别为，碰撞后的速度分别为，由动量守恒定律有
=               (4.7.1)
而由于能量守恒，又可有
    =                  (4.7.2)
发生完全弹性碰撞的质点系将遵守这两个动力学规律。
20、完全非弹性碰撞
如果参与碰撞的物体在碰撞后合成在一起，成为一个物体，则这样的碰撞称之为完全非弹性碰撞。
设发生完全弹性碰撞的质点系为个质点组成，碰撞前的速度分别为，碰撞后合成一个物体的运动速度为，则由动量守恒定律就有
                                       (4.7.3)
30、质心参照系内碰撞的分析
以两个物体和组成的体系为例，假设在质心运动参照系中，两物体碰撞前的速度分别为和，碰撞后的速度分别为和。由于无论有无外力，在质心参照系内观测，质点系的总动量总是为零，即有
                                                                (4.7.4)
如果在实验室参照系内，两物体碰撞前后的速度分别为和由于两球之间的相对速度与参照系的选择无关，故又有
                                                                    (4.7.5)
利用质心的定义，可以得到质心相对于实验室参照系的速度
                                                      (4.7.6)
于是就可得到两个参照系内测得的速度之间的变换关系
                                             (4.7.7)
§4.8  两体问题
        
            
         
   o         
图4.5，相对于的位矢为。
原来我们考虑太阳系内行星的运动时，有一个假设，那就是太阳是固定不动的力心。由于太阳也受行星的引力，既便太阳的质量很大，但在严格意义上，太阳本身还是有微小的运动。这样，严格考虑一个行星的运动，就不得不考虑太阳也有运动这样一个事实。故实际的问题就是一个行星与太阳之间的两体运动问题。为此，可假设空间有两个质点和，相对于某个惯性系的位置矢量分别为和，两质点间的相互作用力为万有引力，如受到的的引力为
                          (4.8.1)
受到的的引力为
                                                             (4.8.2)
如图4.5，其中
                                                                           (4.8.3)
为相对于的位矢。由牛顿第二定律，两质点的运动微分方程分别为
                                                        (4.8.4)
和                                                   (4.8.5)
以乘(5)减去乘以(4)得
       
即                                                                 (4.8.6)
其中                                                                    (4.8.7)
因是相对于的位矢，故(6)式可看成是质点以折合质量相对于的运动方程，即质点以折合质量相对于作圆锥曲线运动。反过来也一样，质点以折合质量相对于作圆锥曲线运动。
又注意到(4)、(5)两式相加得
                                                                 (4.8.8)
而对于质心有
       
对时间求二阶导数就得
                                                        (4.8.9)
         
            
                
   o         
图4.6，质点和相对于质心的位置矢量分别为和。
这说明质心相对于惯性系作匀速直线运动，即质心参照系也是惯性系。
现设质点和相对于质心的位置矢量分别为和，两质点相对于质心参照系的运动微分方程分别为
                             (4.8.10)
                            (4.8.11)
注意到对于质心有
       
即     
                                                                        (4.8.12)
故                                                   (4.8.13)
将(13)分别代入到(10)和(11)式就得
                                                       (4.8.14)
                                                      (4.8.15)
这说明，两质点相对于质心也作圆锥曲线运动。
§4.9  变质量物体的运动
10、变质量物体的运动方程
设时刻质量为的物体以相对于某个惯性系的速度运动，与此同时，有一微小质量为的物体以相对于同一个惯性系的速度运动，并在之后的时间间隔内与物体合并，合并后的时刻一起运动的速度为。若在合并的时间间隔内，作用在和所构成的体系上的合外力为，则由质点系的动量定理，可有
   
即     
令，并略去高阶无穷小量后，除以()得
                                                            (4.9.1)
即                                                                (4.9.2)
或                                                (4.9.3)
其中，为时刻物体相对于物体的速度。(1)、(2)、(3)式即为变质量物体的运动方程。
    如果假设时刻质量为的物体以相对于某个惯性系的速度运动，在之后的时间间隔内物体分离出一微小质量为的物体，分离出的物体相对于同一个惯性系的速度为，物体分离后的速度为，若以表示物体的质量变化量，则由由质点系的动量定理，同样可导出变质量物体的运动方程(1)、(2)和(3)式。
20、火箭的运动
火箭是把燃烧过的废气向后喷出，其质量逐渐减少，也属于变质量物体的问题，自然也满足方程(3)
                                                      (4.9.4)
其中，为火箭由于喷出废气所受到的反冲力，即火箭的推力。该方程通常称为齐奥尔柯夫斯基方程。
现研究火箭在无外力的外太空中运动的简单情况，设火箭时间内喷出的物质以相对于火箭本身运动轨道切线反方向的速度运动，可有
   
即                                                                        (4.9.5)
其中一般为常数。如果假设火箭的质量变化规律为
                                                                         (4.9.6)
则(5)式化为
                                                                          (4.9.7)
设时，，，则(7)式积分就得
                                                      (4.9.8)
假设包括仪器和外壳的空火箭的质量为，火箭携带的将要燃烧喷射出去的燃料质量为，则火箭开始的质量，燃料耗尽时的质量就为，如果火箭的初速度，则燃料耗尽时火箭的速度就为
                                                  (4.9.9)