解放军文职招聘考试力矩的瞬时效应——刚体的转动定律

 第三章　刚体力学

在第一章中，我们已经将质点和刚体的运动学部分放在一起进行了研究，在第二章中我们研究了质点动力学，所以接下来这一章的刚体力学，我们主要研究刚体动力学。这样，刚体力学的内容仍按质点动力学的结构，分三个小节分别讲述力矩的瞬时效应、时间累积效应与空间累积效应。但是在研究刚体力学的每一个侧面，要讨论改变刚体运动状态的参量、刚体的运动参量以及它们之间的关系和基本应用等四个基本问题。从而希望读者对动力学的研究方法有一个清晰的结构框架，并便于将质点和刚体的动力学部分相对应的内容作比较。
研究刚体动力学的基本方法是：(1).将刚体看作刚性连接的特殊质点、质点系，以质点、质点系的运动规律来研究刚体的转动规律。这样，就可以把刚体动力学这一新问题的研究建立在质点动力学的基础上，用质点动力学的理论来研究刚体动力学。将“新问题”转换为“旧问题”，以已有理论为基础探索新理论，是人类认识世界的基本方法之一。(2).将一般刚体运动看作为平动和转动的叠加，又把一般转动看作为绕固定转轴转动的叠加，因此，研究刚体的转动的核心是研究绕固定转轴的转动这样简单的情形。在本章里，除非特别说明，讨论的问题都限于由固定转轴的刚体转动，这一点，读者应当注意。将“复杂问题”分解为“简单问题”，以研究“简单问题”建立起来的理论为基础，去解释实际的复杂问题，同样是人类认识世界的基本方法之一。

§3.1　力矩的瞬时效应——刚体的转动定律

一　绕固定转轴的刚体转动定理
1.变物体转动状态的原因——力矩
日常生活的感性经验告诉我们，改变物体的转动状态，不仅仅取决于力的大小，还和力与转轴(支点)的距离有关，更确切地说，是力和力与转轴(支点)距离的乘积决定了改变物体转动状态的能力大小。人们把力与转轴的距离称为力臂，把力与力臂的乘积称为力矩。
如图3.3.1，质点绕任意支点转动，其力矩都可以写为
(3.1-1)
其中，为r与F之间的夹角。考虑到在第一章中定义的角速度方向(刚体转动的方向)，(3.1-1)式可以改写为更普遍的矢量形式
(3.1-2)
其中，r是质点的位置矢量，M表示质点所受力矩，F表示质点所受和外力。
对有固定转轴转动的刚体，如绕图3.1.1种的z轴转动，则Fz对质点(刚体)的转动状态没有贡献，只有在xoy平面或与xoy平面平行的平面内的力才有贡献。因此，以后在讨论有固定转轴得刚体所受力矩时，可以首先将r、F分别投影到xoy平面内，然后计算它们在xoy平面内的分量的力矩，其计算结果与用(3.1-2)计算的结果相同。
力矩是矢量，其方向由矢量矢积的右手螺旋法则确；其运算规则满足矢量合成法则；与其它矢量一样，力矩也遵守矢量的独立性原理。
2.绕固定轴转动的刚体转动定理
研究刚体力学的瞬时效应，其核心是要得到外力矩作用下刚体转动状态的改变规律。将刚体看作质点系，则刚体中任意质点运动状态的改变应该遵守质点动力学规律。下面，以质点动力学理论为基础，来推导刚体动力学规律。
如图3.1.2，设质点i的位矢为ri，质点j的位矢为rj，质点i受到质点j的内力为fij，受到合外力为Fi。对质点i，由牛顿第二定律，有
(3.1-3)
因刚体绕固定z轴转动，于是
(3.1-4)
将(3.1-4)两边同时乘以ri，得
(3.1-5)
刚体中质点间的内力矩满足
(3.1-6)
因此，刚体中所有质点内力矩的矢量和为零，即(3.1-3)式左端第二项为零，(3.1-3)式可改写为
(3.1-7)
当微元趋于无限小时，(3.1-7)式为
(3.1-8)
考察(3.1-7)或(3.1-8)式代表的物理意义。等式左端为力矩，代表改变刚体转动状态的原因；等式右端的是刚体的角加速度，表示刚体转动状态的改变快慢；当力矩大小一定时，等式右端剩下的因子与刚体角加速度成反比，与牛顿第二定律比较可以发现，它代表了刚体保持其原有转动状态的能力，因此被称为转动惯量。由(3.1-7)和(3.1-8)式，转动惯量可定义为
离散体的转动惯量　　　　　　　　　　　　　　　 　(3.1-9a)
连续体的转动惯量　　　　　　　　　               (3.1-9b)
与质点平动的惯性质量一样，刚体的转动惯量表征刚体保持其原有转动状态的能力，是刚体的固有属性，与刚体的处于什么样的转动状态无关；转动惯量不仅依赖质量大小，而且依赖质量对转轴的空间分布；应当注意，转动惯量定义式中的ri，应是质点到转轴的垂直距离。
定义转动惯量后，(3.1-7)和(3.1-8)式可统一改写为
(3.1-10)
(3.1-10)式描写了改变刚体转动状态的原因(力矩M)、保持刚体原有转动状态的原因(转动惯量I)和刚体转动状态改变的量度(角加速度)之间的定量关系，成为研究刚体转动的基本动力学方程，人们称之为刚体绕定轴转动的转动定律。
刚体绕定轴转动的转动定律来源于牛顿定律，因此，牛顿定律的适用条件也是刚体转动定律的适用条件，对于有固定转轴的刚体转动，转动定理可以写为标量式，此时，外力、位矢应当分解到与转轴垂直的平面内。
二　刚体转动惯量的计算
涉及到质点系的物理参量求解，通常都分为离散体和连续体两类情况求解，对刚体(特殊的质点系)以及由刚体组成的质点系的转动惯量，可利用(3.1-9a) 、(3.1-9b)式分别求解。
例3.1.1　如图3.1.3，三个质量均为m的小球等间距地分布在xoy平面的角平分线上，小球间的间距为a，且绕y轴以相同角速度转动。
求　系统的转动惯量。
解　由(3.1-9a)式，得

离散体的转动惯量，等于各离散体转动惯量之代数和。
例3.1.2　如图3.1.4，均匀细杆的线密度为、长度为l0，质量为m，细杆与转轴的夹角为。
求　(1).细杆绕转轴转动时的转动惯量。
(2).如果将三个质量均为m的小球等间距地套在杆上，求系统的转动惯量。
解　(1).在杆上任取微元dm，则

由上式与(3.1-9b)式，细杆绕转轴转动时的转动惯量为

(2).与例3.1.1类似，三个小球绕y轴转动的转动惯量为

系统的转动惯量为

如果系统中既有连续体，又有离散体，只需要将连续体看作为若干离散体中的一个，先求出连续体的转动惯量，再用求离散体的转动惯量的方法，就可以求出系统的转动惯量。
例3.1.3　证明转动惯量的平行轴定理：

其中，Ic是转轴过质心的转动惯量。l是与过质心转轴相距为l且与之平行的另一转轴。
证明　如图3.1.5，设l1转轴通过刚体质心，l2微任意转轴，l1与l2平行。在刚体中任取微元dm，由(3.1-9b)式，刚体的转动惯量为

　　　　

因质心在坐标原点，由质心坐标的求解方法可知，上式中第三项为零，于是
定理得证
例3.1.4　如图3.1.6，证明转动惯量的垂直轴定理：一个平面薄板刚体对垂直于平面的任一转轴的转动惯量，等于刚体对在平面内并与该垂直轴相交的任二正交转轴转动惯量之和。

证明　由(3.1-9b)式，薄板刚体的转动惯量为

例3.1.5　求均匀分布、质量为m的球体绕其直径作定轴转动的转动惯量。
解　如图3.1.7，采用球坐标系，在球体重任取微元dm

球体的质量密度

由(3.1-9b)式，刚体的转动惯量为

表3.1-1下面给出一些常见物体的转动惯量。
三　刚体转动定理的应用
刚体转动定律的应用与平动问题中牛顿定律的应用的完全相似，主要类型有：(1).已知刚体所受力力矩求刚体转动状态；(2).已知刚体转动状态求刚体所受力矩；(3).已知刚体部分转动状态和部分力矩求解未知力矩和未知转动状态。解决具体问题的基本方法、基本步骤和需要注意的问题也与牛顿定律的应用相似，这里就不再重复。
例3.1.6　电风扇开启电源时，经t1时间达到额定转速0，关闭电源时经时间t2停止。设电风扇的转动惯量为I，且电机的电磁力矩与摩擦力矩为恒量。
求　电风扇电机的电磁力矩。
解　设电风扇的电磁力矩、摩擦力矩分别为M、Mf，电风扇开启时，受电磁力矩与摩擦力矩的作用，由(3.1-10)式，有
(1)
其中，1为电风扇开启时的角加速度。
当电风扇达到额定转速时　　　　　                               (2)
电风扇关闭过程中，只受到摩擦力矩的作用，设电风扇关闭时的角加速度为2，于是
(3)
当电风扇达到停止时
                                                         (4)
联立求解方程(1)~(4)，得电风扇电机的电磁力矩为
        　　　　　　　　　　　　　(5)
例3.1.7　如图3.1.8，一定滑轮的质量为m，半径为r，转动惯量为I，通过一轻绳两边系质量为m1和m2的物体，绳不能伸长，绳与滑轮也无相对滑动。
求　滑轮转动的角加速度和绳的张力。
解　如图3.1.8，建立图示坐标系，隔离物体进行受力分析，由牛顿定律列出方程
(1)
                  (2)
由(3.1-10)式列出方程
                    (3)
因为绳与滑轮无相对滑动，存在约束条件
(4)
联立求解方程(1)~(4)，可得
(5)
，，       (6)
如果系统中既有物体平动又有物体转动，通常对转动物体，存在线量与角量的连接条件；转动物体与其它物体接触处，存在摩擦力，转动物体两侧施予与之接触的物体的作用力是不同的。如本题中，滑轮左右两边绳子的张力不再相等。
例3.1.8　如图3.1.9，一根长l质量为m的均匀直棒，其一端固定在光滑的水平轴O，因而可以在竖直平面内转动。假设最初棒静止在水平位置。
求　棒由初始位置下摆 时的角加速度和角速度(已知棒对O的转动惯量为I=ml2/3)。
解　建立图3.1.9所示坐标系。棒的下摆过程是刚体的转动过程，因而用转动定理求解。
棒所受重力产生的力矩为
(1)
其中，xc为棒的质心对O点的坐标。这一结论表明：对于有固定转轴的刚体，重力对转轴的力矩，等于将重力集中在质心对转轴所产生的力矩。这一结论可以作为定理使用。
很明显，均匀直棒的质心坐标为
(2)
将(1)、(2)式代入刚体的转动定理，有
  (3)
又因为　　　　　　　　　　　　　　　　　 (4)
将(4)式代入(3)是，然后进行分离变量积分，得
(5)
于是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　 (6)
例题中(4)式是刚体转动问题中经常遇到的数学技巧，大家应当掌握。

§3.2　力矩的时间累积效应——刚体的角动量定理

刚体的转动定理研究了力矩在某一瞬时对刚体转动状态的影响，如果在某一变化过程中，力矩变化比较复杂，那么，用刚体的转动定律求解问题就变得比较困难。因此，与质点动力学问题类似，我们可以考察在一个t时间范围内，力矩对刚体转动状态的影响，这样，就把对刚体运动过程的跟踪变成了对刚体始末状态的研究，使问题得到简化。这种讨论力矩在一段时间范围内的累积对刚体运动状态的影响，通常称为力矩的时间累积效应。同样，力矩时间累积效应对刚体运动状态的影响，也必须在一定的空间范围内进行，研究力矩在一段空间范围内的累积对刚体运动状态的影响，通常称为力矩的空间累积效应。在下一节，我们讨论力矩对刚体的空间累积效应。
尽管研究力或力矩的瞬时效应和累积效应只是从不同侧面上对物体动力学规律的研究，但是，研究累积效应，不仅可以使某些中间过程十分复杂的问题得到简化处理，更为重要的是，累积效应可以得到守恒定律，而守恒定律是与物理规律的对称性相联系的。因此，在某种程度上，累积效应的研究更为重要。
在本节中，我们首先引入描写与力矩时间累积效应相关的物理参量——冲量矩与角动量；然后建立冲量矩与角动量间的定量关系——角动量定理；最后讨论角动量定理的基本应用。
一　冲量矩
作用于刚体上的力矩与力距作用时间的乘积，称为冲量矩。其数学表示为
(3.2-1a)
或　　　　　　　　　　　　　                          (3.2-1b)
(3.2-1a) 式是冲量矩的微分形式，(3.2-1b) 式是冲量矩的积分形式。按SI制，冲量矩的单位为Nms(牛顿米秒)。
关于冲量矩的讨论完全类似于冲量的讨论，请读者自己参看§2.2，自行补充，这里不再重复。
二　角动量与角动量定理
下面定量讨论冲量矩对刚体转动状态的影响。将(3.1-10)式代入(3.2-1a)式，得
      　　　　　(3.2-2a)
对(3.2-2a)式两端积分
(3.2-2b)
其中，I1、1和I2、2分别表示始末状态的转动惯量与角速度。
定义刚体绕定轴转动的角动量为
(3.2-3)
将(3.2-3)式分别代入(3.2-2a)、(3.2-2b)式，得
                                  (3.2-4a)
                               (3.2-4b)
(3.2-4a)和(3.2-4b)两式表明：冲量矩是改变刚体转动状态的原因，冲量矩改变刚体转动状态的程度由角动量的改变量来度量。这样，这两式就把改变刚体运动状态的原因和改变的量度联系了起来，成为关于刚体运动规律的基本动力学方程，分别称这两个方程为角动量定理的微分形势与积分形式。
讨论：关于角动量与角动量定理
(1). 角动量的其它表述形式。
因　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(3.2-5)
将(3.2-5)式代入(3.2-4a)式，有
                     (3.2-6)
即角动量可以定义为
(3.2-7)
(3.2-7)式是角动量的普遍定义式，对以任何形式转动的质点或刚体都适用。
(2). 冲量矩、角动量与角动量定理的矢量性与独立性。
冲量矩和角动量都是矢量，角动量定理是矢量方程，都具有矢量性和独立性。比如，在直角坐标系中，冲量矩可以写为
(3.2-8a)
(3.2-8b)
同样，在直角坐标系中，角动量也可以写出类似(3.2-8a)和(3.2-8b)式的形式。
在直角坐标系中，角动量定理可以写为
  　(3.2-9)
其中，Lx0、Ly0、Lz0与Lx、Ly、Lz、分别代表刚体始末状态的角动量分量。
(3).适用条件。刚体的角动量定理，归根到底建立在牛顿定律的基础上，因此，其适用条件仍然是惯性系。
(4).推导过程中，没有强调力矩是内力矩还是外力矩，因为在推导刚体转动定律时已经证明刚体内力矩之矢量和为零。因此，角动量定理中的力矩只有外力矩。I是系统的总转动惯量。
三　刚体的角动量守恒定律
由(3.2-2b)式，当外力冲量矩的矢量和为零时，刚体的角动量保持不变，这一定律，称为角动量守恒定律。其数学表述为
(3.2-10)
对有固定转轴的刚体，如果所受冲量矩的矢量和为零，那么，这个刚体将在转动惯性下继续作匀角速度转动。由(3.2-10)式，如果绕固定转动的物体不是刚体，其质量的空间分布可以随时间变化，那么，当这个物体的转动惯量增大时，其角速度将减小；反之，当这个物体的转动惯量减小时，其角速度将增大。但是，无论转动惯量和角速度如何变化，它们的乘积——角动量始终保持不变。例如，芭蕾舞或花样滑冰运动员总是先伸开双臂旋转，然后在收拢双臂和腿，以减小转动惯量(转轴通过自身质心)，获得更大的角速度，在整个过程中，运动员的角动量始终是守恒的；跳水运动员在起跳时，总是向上甚至手臂，跳到空中做翻滚动作时，又收拢腿与手臂，同样是为了减小转动惯量，而在入水前，必须伸展身体，以减小角速度度，让身体竖直入水来控制溅起的水花。
如果质点系所受冲量矩的矢量和为零，则质点系的总角动量是守恒的，与质点系内部质点的角动量怎样变化没有关系。对绕同一转轴旋转的质点系，如果所受外力的冲量矩矢量和为零，质点系的角动量也守恒，也就是说，质点系内部的质点，可能由于受到内力的作用而获得角动量，那么，一定有别的质点获得反向的角动量，从而保持质点系总角动量不变。例如，静止在地面上的直升飞机起飞时，顶部螺旋桨因为转动而获得了角动量，机身必然获得反向的角动量，为防止机身旋转，通常在直升机尾部加上一个侧向叶片，以保证机身总角动量为零。从高楼掉下的猫，由于重心的原因，起初掉下时其背部向下，在下落过程中，猫不断旋转尾巴，使身体获得一个反向角动量，这样，当它着地时，就会背部向上，避免摔伤。
与能量守恒定律一样，角动量守恒定律也是自然界最普遍适用的基本定律之一。从对称性的角度看，角动量守恒对应物理规律的空间旋转变换不变性。
四　角动量定理、角动量守恒定律的应用
1. 角动量定理、角动量守恒定律的应用举例
例3.2.1　如图3.2.3，两个均匀圆柱各自绕其中心轴转动，转轴相互平行，两圆柱质量、半径分别为M1、M2和R1、R2，开始时各自的角速度分别为1、2，现将它们缓慢移近使之接触。
求　两圆柱在它们相互间摩擦力作用下所达到的最终角速度。
解　在两圆柱体之间的摩擦力作用下，两圆柱最终运动状态一定是侧面上质点的线速度相等，此时，它们表面没有相对滑动，角速度大小相等，方向相反。角速度大小满足
(1)
其中，1、2分别表示圆柱体M1和M2的末态角速度。
由角动量定理
(2)
           (3)
圆柱的转动惯量
，      (4)
联立求解方程(1)~(4)得
，　　　　　　　(5)
讨论：(1).关于连接条件。
如果组成物体系的物体间存在相互影响，即一个物体的运动状态受与之相连接物体的运动状态的影响，称这类问题为连接体问题。在连接体问题中，要注意正确给出连接条件，如本例题的(1)式，否则，会出现约束条件不够的情况。
(2).连接体的角动量守恒问题。
如果将例题中两圆柱看作为一个系统，容易看出，该系统受外力的冲量矩为零，那么，该系统的角动量应守恒吗？
设逆时针方向转动的角动量为正，顺时针转动的角动量为负，则系统初始状态的角动量L1为
(6)
系统末状态的角动量L2为
                                        　    (7)
由(5)~(7)式可得
(8)
(8)式在一般情况下并不一定等于零，也就是说，该系统尽管没有受到外力矩的作用，但角动量并不一定守恒！事实上，产生力矩的内力是两个圆柱体之间的摩擦力，它们是一对作用力和反作用力，但分别对两个圆柱体产生的力矩是不相同的，因此，它们产生的冲量矩的代数和并不为零，因此在转动过程中，角动量并不守恒。问题的关键是两个圆柱体并不是绕同一固定轴在转动。上面关于质点系角动量守恒的前提条件要么是所有力产生的冲量矩的矢量和为零，要么是在绕同一固定轴转动情况下可以只考虑外力矩是否为零，离开了这两个条件，角动量守恒定律不一定成立。
例3.2.2　如图3.2.4，质量为M、半径为R的转台，可绕通过中心的竖直轴转动，设阻力可以忽略不计。质量为m的人，站在台的边缘绕台奔跑一周。
求　相对与地面而言，人和转台各转了多少角度？
解　将人和转台看作为一个系统，该系统没有受到外力矩的作用，角动量守恒。已知开始时系统的角动量等于零，应用角动量守恒定律，有
      　(1)
式中，I和I’分别表示转台和人对转台中心轴转动惯量，和1分别表示相应的角速度。因为
，　　　　 　　　 　(2)
将(2)代入(1)，可得
(3)
人相对于转台的角速度为
     (4)
人在转台上奔跑一周所需要的时间为
        (5)
于是，人相对于地面所转过的角度为
(6)
转台所转过的角度为
(7)
容易看出，+=2。注意，在比较综合一点的问题中，动力学问题经常与相对运动问题结合在一起，这时，要注意各物理量所对应的参考系。
例3.2.3　重力有一个特点：地球上任何物体受到得重力都指向地心；同样，在点电荷产生的静电场中，其它点电荷受到的作用力都指向场源电荷。人们把物体所受的指向同一固定点的作用力称为有心力或中心力，把对应的力场称为有心力场或中心力场。
证明　(1).在有心力作用下运动的物体，角动量守恒；
  (2).所有有心力都是保守力，因而在有心力场中运动的质点机械能守恒；
(3).在与距离成平方反比的有心力场中隆格－楞茨矢量守恒；
(4).平方反比中心力场中质点的运动一定满足开普勒运动。
证明　(1).在有心力场中，质点只受到有心力作用，由心力对质点产生的力矩为零，故角动量守恒。
(2).如图3.2.5，设质点受到的有心力指向坐标原点，于是有心力可以表示为
(1)
质点在有心力作用下沿任意路径运动过程中，有心力所做的功
      (2)
其中，r0，n为单位矢量，，，。
由(2)式可知，有心力是保守力，它做功只与质点始末位置有关，因而，也可以引入势能
(3)
将产生有心力场的场源和受由心力场作用的物体看作为一个物体系，那么，该物体系只受到保守力——有心力的作用，由质点系的功能原理，系统的机械能应当守恒。
(3).如果有心力是平方反比力，令
(4)
其中，k为常数。考察

　　　　　
                               (5)
即        　                                  (6)
或　      =常数                                       (7)
因此，隆格－楞茨矢量守恒。
(4).为证明平方反比中心力场中质点的运动一定满足开普勒运动，考察
(8)
另一方面　　　　　            (9)
联立求解方程(8)、(9)得
(10)
其中　　　　　=常数，=常数    (11)
(10)、(11)表明，质点的运动正是极坐标下的圆锥曲线方程(当<1时，为椭圆方程，如图3.2.6)。一旦证明了开普勒第一定律，要证明开普勒后两个定律，就十分方便了。如计算单位时间扫过的面积：
=常数　　　　　　(12)
即：单位时间内质点扫过的面积也是守恒量，这就是开普勒第二定律。
物体在平方反比的有心力场中运动是一种重要而特殊的运动，在角动量守恒问题中，经常用到本题的结论，本题实际给出了这种力的特殊性质，其结论可作为定理使用。
例3.2.4　1970年我国发射的第一枚地球卫星的数据如下：质量：m=173kg，周期：T=114min，近日点距地心r1=6817km，远地点距地心：r2=8762km，椭圆轨道半场轴：a=7790km，椭圆轨道半短轴：b=7720km。
求　卫星的近地速度和远地速度。
解　只考虑卫星受地心引力的作用，在地心引力作用下，卫星作椭圆轨道运动，且角动量守恒。
如图3.2.7，设卫星近地速度为v1，方向与r1垂直；远地速度为v2，方向与r2垂直，由例题3.2.3第(12)式，有
=常数
于是　　　
km/s
           km/s
在上面式子中，力用了椭圆面积功式s=ab。当然，本例题也可以用角动量守恒和能量守恒求解。
2. 回转仪　刚体进动
由一个厚而重、形状对称的刚体绕对称轴高速自转的装置称为回转仪，也称“陀螺”。图3.2.8为回转仪的构造示意图，其核心部分是装置在常平架上质量较大的转子，常平架套在一起，分别具有竖直轴和水平轴的两个圆环。转子装在内环上，其轴与内环的轴垂直。转子是精确地对称于其转轴的圆柱，各轴承均高度光滑。这样转子就具有可以绕其自由转动的三个互相垂直的轴转动。不管常平架如何平移或转动，转子都不会受到任何力矩的作用。所以，一旦转子高速旋转起来，根据角动量守恒定律，它将保持其对称轴在空间指向不变。安装在船、导弹、宇宙飞船或飞机上的回转仪，能确定相对于空间的某特定方向，从而起到导航作用。因为用三个这样的回转仪，并使它们的转轴互相垂直，就能提供一套绝对的笛卡尔坐标系。
玩具陀螺就是一种简单的回转仪。当陀螺在地面某定点上绕对称轴直立旋转时，不受重力矩作用，由绕定轴转动刚体的角动量守恒，其角动量方向应保持不变。又因为陀螺质量是对称分布的，它的角动量和角速度满足L=Ic的关系，所以L的守恒将导致角速度矢量的守恒，即意味着陀螺转轴的方向应保持不变，陀螺将维持其竖直方向的旋转(如图3.2.9a)。
当陀螺中的刚体作定点转动，且自转轴稍有倾销，陀螺就会受到对定点O不为零的重力矩，但这时的陀螺仍不会翻倒，而是在自转的同时，其自转轴有绕竖直方向（即通过定点的竖直轴）沿着锥面转动，如图3.2.9b所示。这种自转轴的附加转动称作进动，而陀螺在外力矩作用下发生进动的现象称为回转效应。
当陀螺倾斜，受到重力对定点O的力矩时，陀螺对定点O的角动量L应等于陀螺的自转角动量Ic与进动角动量之和。若设陀螺在高速自转时可不计进动角动量，而近似认为仍有
                  (3.2-11)
陀螺受到重力矩
                (3.2-12)
对于定点O应用角动量定理，应得
                                                         (3.2-13)
由图3.2.9可知，由于M与L时刻保持垂直，就使dL总是垂直于L，从而L的方向不断发生改变，以致迫使陀螺的自转轴发生绕竖直轴的进动。
在刚体作定轴转动的情况下，有效的外力矩总是沿着定轴的，只能改变刚体转动角速度的大小而不能改变角速度(和转轴)在空间的方向。而对高速自转陀螺的情况，外力矩却只改变自转角速度的方向，不改变自转角速度的大小，这是很有趣的一个差别。
陀螺自转轴绕竖直轴转动也可用角速度描述其快慢和方向，这里用来表示角速度的大小，称为进动角速度。因为
(3.2-14)
(3.2-15)
由(3.2-13)式，有
                            　　　　　　　　　　　　　　(3.2-16)
可见，自转角速度愈大，进动角速度p愈小，反之亦然；而进动方向决定于外力矩的方向和的方向。
当陀螺自转角速度较小时，则它的自转轴与竖直轴的夹角大小还会有周期性变化，这一现象称为章动，对章动的讨论比较复杂，这里不作深入研究。

§3.3　力矩的空间累积效应——刚体的机械能守恒定律

在本节中，我们首先引入描写与力矩空间累积效应相关的物理参量——力矩做功与刚体的动能和势能；然后建立力矩做功与刚体机械能之间的定量关系——刚体的功能原理与机械能守恒定律；最后讨论刚体的功能原理及机械能守恒定律的基本应用。

一　力矩的功
如图3.3.1，在绕定轴转动的任意形状得刚体中取微元，设外力可表示为
(3.3-1)
其中，r0、分别代表径向和切向的单位矢量。
外力矩对微元做功为
     (3.3-2)
对(3.3-2)式两边积分
(3.3-3)
与外力对质点做功相比较，定义(3.3-2)式为力矩对刚体做功的微分形式，(3.3-3) 式为力矩对刚体做功的积分形式。如果力矩方向与刚体转动方向一致，则称力矩对刚体做正功，反之称力矩对刚体做负功。在讨论力矩对刚体做功时，不考虑内力矩对刚体做功，因为内力矩对刚体做功的代数和为零。
单位时间内力矩对刚体做功的多少称力矩对刚体做功的功率，功率的数学表述为
(3.3-4)
二　刚体的功能原理
在本章开头就已经提到，处理刚体的基本方法是将刚体看作特殊的质点系，因此，对一般质点系成立的物理规律，自然对刚体也成立。只是由于刚体是一种特殊的质点系，其内部各质点间没有相对位移，内力不做功，这使得一般质点系中成立的物理规律，在刚体这个特殊质点系有更加简单的表述形式，但它们的基本内容是相同的。为叙述简便，下面讨论刚体的功能原理时，只简单给出结论，而不去做重复的论证。
1.刚体的势能与势能定理
如果刚体受到保守力作用，那么，对该保守力，象质点系一样，可以引入刚体的势能。刚体在定轴转动中主要涉及的势能是重力势能。在§2.3节的例2.3.6中，我们已经得到结论：在重力场中，物体的势能等于质心在该保守力场中的势能，即
(3.3-5)
其中，hc表示刚体质心距地面的高度(通常选取地面为零重力势能点)。利用这个结论，可以方便地计算任意形状刚体的重力势能。
如果刚体受到保守力作用，那么，质点系的势能定理对刚体也成立。将质点系的势能定理应用于刚体，可以得到结论：保守力对刚体所做的功，等于刚体势能增量的负值。这个定理，通常称为刚体的势能定理，即
    　　(3.3-6)
其中，Epa、Epb分别代表始、末状态的势能值，Aab表示保守力在始末状态的中间过程中所做的功。
2.刚体的动能与动能定理
如果刚体具有一定的转动速度，则刚体就具备了对外做功的能力，称这种由于刚体运动而具有的能量为刚体的动能。如果力矩作用于刚体一段空间距离，那么刚体转动的速度(或动能)也将发生变化，因此，刚体动能的数学表述可以由力矩做功的多少来推得(任何能量的数学表述总是通过做功对其改变量的大小来推得的)。
将刚体的转动定律(3.1-10)式代入(3.3-2)式，得
(3.3-7)
即　　　　　　　                            (3.3-8)
对(3.3-8)式两端积分
(3.3-9)
定义绕固定转轴转动的刚体动能  　                      (3.3-10)
则(3.3-8) 、(3.3-9)式分别成为
(3.3-11)
                                 (3.3-12)
(3.3-11)、(3.3-12)表明：合外力矩所做的功，等于刚体动能的增量，这一结论，称为刚体的动能定理；当合外力矩做功为零时，刚体的动能守恒。(3.3-11)式是刚体动能定理的微分形式，(3.3-12)式是刚体动能定理的积分形式。
3.刚体的功能原理与机械能守恒定律
定义刚体动能与势能之和为刚体的机械能，即
(3.3-13)
考虑到刚体内力不做功，则由(2.3-35)式可得
                                                (3.3-14)
其中，A外表示外力矩所做的功。(3.3-14)式表明：外力矩对刚体所做的功，等于刚体机械能的增量，这一结论称为刚体的功能原理。如果刚体系运动过程中只有保守力做功，则刚体系机械能守恒。这一结论，称为刚体的机械能守恒定律。
三　刚体功能原理的应用
我们先讨论刚体功能原理常见的简单应用，然后讨论几种典型的刚体运动问题。
1. 刚体功能原理的简单应用
应用刚体功能原理球解具体问题时，常常将功能原理与角动量定理、刚体转动定律结合起来联立求解；也可能会将刚体运动学的相对运动问题与刚体动力学问题联系起来求解。
例3.3.1　如图3.3.2，质量、半径相同的(a).圆柱，(b).薄球壳，(c).球体从相同光滑斜面的相同高度由静止无相对滑动下滑。
求　质心所获得的速度。
解　将地球、斜面、m看作为系统，由机械能守恒

无滑动的条件　　　　
圆柱、薄球壳、球体的转动惯量分别为
圆柱：，薄球壳：，球体：
圆柱、薄球壳、球体的质心获得的速度分别为
，，
例3.3.2　质量为m的火箭A，以水平速度v0沿地球表面发射出去，如图3.3.3所示。地轴OO’与v0平行，火箭A的运动轨道与地轴OO’相交于距O为3R的C点。不考虑地球的自转和空气阻力。
求　火箭A在C点的速度v与v0之间的夹角。(设地球的质量为M、半径为R)  
解　选择地球和火箭位移各物体系，运动过程之中，物体系机械能守恒，于是
(1)
运动过程之中，系统角动量守恒，有
                (2)
联立求解方程(1)、(2)可得
        (3)
即　　　　　 (4)
2.刚体的平面平行运动问题
前面说过，任何复杂的运动，总可以看作为平动、转动、振动和波动等几种简单运动的叠加。作为实例，这里讨论刚体的平面平行运动问题。所谓刚体的平面平行运动，就是指刚体内所有质点都平行于某一平面的运动。在刚体平面平行运动中，研究刚体的平动问题，只需要研究刚体中某一剖面内质点的运动；而作平面平行运动的刚体，其转动只能绕垂直于运动平面的转轴运动，它与绕固定转轴的刚体转动相比，只有其转轴要随质心运动这一区别。容易理解，只要选择质心坐标系，则刚体转动定律仍然适用(注意，如果不选择质心坐标系，而是选择惯性系研究转动问题，必须在转动定律中考虑惯性离心力产生的力矩)。所以，如果在惯性参考系中观察，任意质点的运动，就等于质点随质心的平动与质点绕质心转动的叠加。
由(2.2-32)式，刚体做平面平行运动时，在惯性参考系中观察，其总动能应等于质心平动的动能与刚体绕质心转动动能之和。
例3.3.3　在光滑的桌面上，有一质量为M、长2l的细杆，质量为m、速度为v0的小球沿桌面垂直撞在杆上，设碰撞是完全弹性碰撞。
求　碰撞后球和杆的运动状况以及什么条件下，细杆运行半圈后又与小球相撞？
解　设碰撞后小球、杆的质心的速度分别为v1、v2，杆绕质心的角速度为，选小球、杆为系统，系统在运动过程中动量守恒
(1)
以杆的质心为参考点，系统的角动量守恒
 (2)
因为碰撞为完全弹性碰撞，系统所受和外力做功为零，动能守恒
            (3)
细杆绕质心转动的转动惯量
 (4)
联立求解方程(1)~(4)可得
，，　　(5)
欲使细杆运动半圈后与小球再次相碰，小球和杆的运动速度应该相同，即
                                  (6)
例3.3.4　如图3.3.5，半径为R的乒乓球与水平桌面的摩擦系数为，开始时，用手按球的上左侧，使球的质心以vc0的初速度向正x方向运动，并具有逆时针方向的初始角速度0，设。试分析乒乓球以后的运动情况。
解　开始使乒乓球与桌面的接触点P具有初速度，乒乓球向右平动，一边倒着转动。它在水平方向受到滑动摩擦力的作用，按质心运动定理，有
(1)
故
(2)
摩擦力产生的力矩对质心的转动方程为
(3)
即 
(4)
(2)式代表了质心平动的速度，(3)式代表了P点绕质心转动的角速度，P点的运动，实际上是平动和转动两种运动的叠加，下面分析其运动状况。
(i).当，。由题目所给条件可知，此时平动速度为零，转动的角速度大于零。乒乓的质心停止平动，但仍然绕质心转动，转动的方向没有改变。
当，，质心开始倒退，但接触点P的速度，滑动摩擦力沿x的负方向，驱使质心加速倒退，而其力矩则继续减缓转动，直到接触点P的速度减小到零。
(ii). 减小到0的时刻t2满足
(5)
自后，乒乓球作无滑动的滚动，若不计滚动摩擦，其质心速度和角速度保持恒定为
                       (6)

阅读材料
宇航动力学问题

在深邃无际的天穹里，日、月、星辰时时在运行不息。人们早在16世纪就掌握了这些自然天体的运动规律。以开普勒定律和牛顿力学微基础建立起来的关于天体运动的理论称为天体力学。1957年，前苏联发射勒第一颗人造地球卫星；次年，美国也发射了地球卫星；我们也在1970年发射了《东方红》卫星。1969年，阿波罗11号飞船登上了月球，以后作了多次载人宇宙飞船和航天飞机的实验。这样，就在古代的天体力学领域之外开辟了一个新的研究领域—宇宙动力学。它主要研究人造天体的发射、轨道转移、定点、对接、着陆、回收等力学问题。
一　人造天体的运动特点
人造天体的运动不同于自然天体，这主要表现在：
(1).人造天体运动可分为两个阶段，运载火箭或喷气发动机发动时的主动阶段和仅在自然天体引力作用下作轨道飞行的被动阶段。
(2).在发射和回收时要穿越大气层。
(3).人造天体的运动轨道可因其探测对象或研究目的的不同而有不同的要求，因此存在轨道设计问题。例如勘测卫星需绕行的地域，行星星际探测器与行星的交会和最短航程，都需进行最佳轨道设计。
(4).人造天体的运动还可以在地球上遥控。从最佳轨道设计出发，人造天体不是依靠一次发射就进入运动轨道的，而常常是先进入过渡轨道或转移轨道，再通过引燃备用发动机产生附加推力使它最后进入预定的运行轨道，同时这些飞行器在运行中还会受到各种摄动（自然天体的引力变化、大气阻力的影响、行星密度的不均匀性和太阳辐射压力等）而偏离预定轨道，这些情况均可由地面进行跟踪和遥控予以即使调整。
二　人造地球卫星的运动
发射地球卫星使利用多级火箭作为运载工具，其步骤是：首先垂直升空穿越大气层到达预定轨道附近，该处就称为入轨点；然后由最后一级火箭加速使卫星达到入轨速度；最后使卫星处在地球引力下作轨道运动。
1.地球卫星的轨道
设卫星的入轨点距地心为r，入轨速度为v，若v垂直于r，则当
，卫星轨道是以r为半径的圆。
， 卫星轨道是以r为近地点的椭圆；
，卫星轨道是以r为远地点的椭圆。
又若v不垂直于r，则卫星轨道为椭圆，但入轨点既非近地点也非远地点。
上式中Me表示地球质量，若以r＝Re（地球半径）代入，则得到
  km/s
称为第一宇宙速度。
2.地球卫星的轨道参数
在地球引力中，由卫星的角动量矢量守恒，可知卫星的轨道平面将在空间报纸在某个方位上。为了描述卫星轨道在地心坐标系中的位形，常引用下列六个轨道参数：
(1).轨道倾角：轨道平面与地球赤道面的交角，用i表示，i＝90时称为极地轨道。
(2).升交点赤径：升交线与地心－春分点连线的夹角 (见图1)。
(3).升近角距：升交线与近地点矢径的夹角。
(4).轨道的半长轴a。
(5).偏心率e。
(6).经过近地点的时间t。
若掌握有关卫星的上述六个轨道参数，就可根据开普勒定律计算出卫星在任何时刻所
在的位置。当卫星在运动时，因地球同时在自转，卫星将飞经各地上空，所经各地点的路径称为星下点轨迹。于是可根据相对运动列出卫星飞经各地的时间表。
3.卫星的轨道设计
地球卫星根据其不同用途可分为侦察、导航、通信、气象、资料勘测等多种类型。气象卫星为增大观测区域，常采用大轨道倾角；为研究地球周围的太空环境，通常采用远近地点相差很大的扁椭圆轨道；一般作为导航、测距和勘查的卫星，总采用近圆形轨道；而通信卫星常采用同步轨道。
至于卫星的轨道倾角、椭圆偏心率则是由卫星在入轨点的地理纬度、高度和入轨速度的大小和方向共同决定。例如若入轨点在赤道上空，则轨道倾角完全沿入轨速度的方向。
4.地球同步通信卫星
一种令人感兴趣的卫星是地球同步卫星。如果卫星在迟到上空运行，并具有与地球自转相同的方向和周期，则卫星将相对静止于赤道的上空，不难计算出这种同步卫星的圆轨道半径应为4200km，周期为23小时56分。
地面通信系统的无线电信号受空间电离层变化及地形的影响，使通信范围收到一定限制，必须根据地形建设许多中继站才能将信号传送到遥远的目的地。如果在赤道平面上空相隔120定点设置三枚同步卫星作为中继站，那么就能进行全球间的通信和电视转播。1964年，美国首先发射同步卫星成功，我国也在1984年4月8日成功的发射了第一颗同步卫星，这颗卫星定点在东经125的赤道上空(见图2)。
发射同步卫星的关键是：首先用运载火箭带着卫星进入一个距离地面高度约200km的圆轨道（称初轨道）；再选定卫星经过赤道上空的时候，第二次发动火箭使速度增加，形成远地点达42 200km并整个地处在赤道上空的椭圆轨道（称转移轨道），这时火箭壳体完全脱落，只剩下卫星本身；然后再当卫星飞至远地点时，通过发动卫星上的备用发动机使卫星得到一附加速度，使这附加速度与原速度之和恰等于以42 200km为半径的圆轨道的入轨速度，这入轨点即为同步卫星的定点位置(见图3)。
5.太阳同步轨道
太阳同步轨道卫星与地球同步卫星含义不同。什么叫太阳同步轨道呢？这涉及到地球卫星轨道面的进动问题。力学理论表明：只有当地球是严格球形时，卫星轨道在空间的方位才维持不变。但地球实际上是一个旋转椭球，它在赤道上隆起的环带体对卫星会产生对地心的力矩，从而使卫星的轨道面发生对地轴的进动(见图4)。从分析中不难看出，当卫星轨道的倾角小时，进动角速度大；反之，当轨道倾角大时，进动角速度就小。特别是当卫星轨道倾角为99，在距地面高度为920km的圆轨道上运动时，它的轨道面每天会数这地球自传方向进动1。而地球在公转中每天也绕日转动1，这样随着地球的公转，卫星轨道面相对太阳光的照射方向始终保持相同的角度。因此，这种卫星的特点是失重能在同样的光照条件下观测地球，并探测气象的各种变化(见图5)。我国在1988年9月发射的“风云一号”气象卫星就是一枚太阳同步轨道卫星。
6.卫星的回归
如果要求卫星在完成探测任务之后返回地面，采用的步骤是首先扔掉回收舱以外的部分，然后调整卫星姿态，开动制动火箭使卫星脱离原运动轨道进入大气层；利用大气阻力使卫星减速，在到达距地面15km左右开始打开回收舱的降落伞，最后着陆。目前的航天飞机就是返回式卫星的一种发展。我国从1975年起已经成功的掌握了卫星回收技术。
三　行星际探测器
这是一种从地球飞向行星的人造天体，也称星际飞行器或自动行星际站。
1.第二和第三宇宙速度
第二宇宙速度v2——使物体脱离地球引力所需的最小速度。这时物体成为人造行星。
物体脱离地球引力时，引力势能为零，动能至少为零，即总机械能为零。取物体与地球为系统，由于仅受保守内力（万有引力）作用，故系统机械能守恒，因此有
          　　　　　　　　　　　　　　　　   (1)
式(1)等号左端表示物体在发射时的机械能，因此有
             (km/s)      (2)
比较v1和v2，可知        
当飞行器绕地球的入轨速度超过v1＝7.9km/s愈多时，它的椭圆轨道就愈扁长。一旦速度超过v2＝11.2km/s时，飞行器的轨道就变为抛物线或双曲线，飞行器就离开地球而去了(见图6)。
从理论上说，飞离地球无限远才算完全离开了地球引力的影响，实际上只要飞到距地球930 000km之外，太阳引力就开始占优势，飞行器就进入了日心轨道。
第三宇宙速度v3——使物体脱离太阳系所需的最小速度。
只需考虑太阳的引力作用，与(1)式相类似，物体脱离太阳引力所需的速度v3是
(km/s)
这里需要指出的是v3是物体相对于太阳的速度，物体位于地球上，而地球相对太阳已有约29.8km/s的公转速度。若使发射物体的方向与地球的公转运动方向一致，则物体的相对地球的发射速度v3只需
km/s
但是物体还需同时脱离地球引力作用，所以物体的速度v3必须满足下式

由此可得
km/s
2.霍曼轨道
国际飞行器的任务主要是对太阳系中的行星进行考察，因此要求飞行器尽量飞临该行星，或进入绕该行星的轨道，甚至在该行星上着陆。
从地球上发射这种行星飞行器必须考虑以下三点：
(1).飞行器的入轨速度应超过第二宇宙速度；
(2).飞行器的日心轨道应与行星的日心轨道交会；
(3).选择最佳轨道设计和发射时刻，使需要提供的能量最少，并以最短的时间到达行星。
从力学角度来说的最佳轨道称为霍曼（W. Hohmann）轨道（霍曼是德国空间飞行理论的先驱）。霍曼轨道是从地球飞往行星的所需能量最少的轨道。霍曼是假定行星和地球的日心轨道是处在同一平面上的两个同心圆轨道来作理论分析的。例如，火星探测器和金星探测器的霍曼轨道如图7所示。
由图7可见，火星探测器的霍曼轨道是以发射时刻的地球为近日点，飞临火星的位置为远日点的椭圆。而金星探测器的霍曼轨道是以发射时刻的地球为远日点，飞临金星的位置为近日点的椭圆。根据火星或金星与地球的轨道平均半径和能量守恒定律，不难算出探测器从地球上发射时的入轨速度分别为11.5km/s和11.3km/s。由开普勒定律可算出探测器的运动周期分别为518天和292天。然后对照火星和金星的运行周期，适当选择发射时刻，以期探测器飞行半个周期(分别为259和146天)后，正好在P点与行星相遇。不过，这些数据都是仅从原理上所作的估算，根本没有计及许多因素对飞行器可能产生的摄动。实际上的计算是极为复杂的，必须采用计算机进行计算，随时对飞行器的轨道遥控修正，才能使飞行成功。
从1962年起，美国、前苏联竞相发射各种行星探测器。目前已对水星、金星、火星、木星、土星等发射了探测器。1975年，美国发射的海盗号(1号和2号)飞行近一年到达火星并成功地在火星上着陆。1972年发射的先驱者号(10和11号)携带了地球的人体画、贺年卡和唱片，经5年的航程飞临土星，拍摄了大量土星光环的照片并发回地球，在1983年才与地球失去联系。而1977年8月美国发射的“旅行者2号”太空船已在太空遨游了12年，先后拜访了木星、土星、天王星，并于1989年8月25日飞临海王星(距海王星北极1 827km处)，向地球发回的海王星彩色照片达6000余张，现正以16km/s的速度飞向太阳系的边陲(见图8)。
思考题
3-1 花样滑冰运动员绕过自身的竖直轴转动，开始时两臂伸开，转动惯量为，角速度为．然后她将两臂收回，使转动惯量减少为．这时她转动的角速度变为多少？
3-2如图所示，有一个小块物体，置于一个光滑的水平桌面上，有一绳其一端连结此物体，另一端穿过桌面中心的小孔，该物体原以角速度在距孔为的圆周上转动，今将绳从小孔缓慢往下拉，则该物体
（A）动能不变，动量改变；   （B）动量不变，动能改变；
（C）角动量不变，动量改变； （D）角动量改变，动量改变；
（E）角动量不变，动能、动量都改变。

3-3 光滑的水平桌面上，有一长为、质量为的匀质细杆，可绕过其中点且垂直于杆的竖直光滑固定轴自由转动，其转动惯量为，起初杆静止．桌面上有两个质量均为的小球，各自在垂直于杆的方向上，正对着杆的一端，以相同速率相向运动，如图所示．当两小球同时与杆的两个端点发生完全非弹性碰撞后，就与杆粘在一起转动，则这一系统碰撞后的转动角速度应为多少？
  
   
  
  
3-4 一力学系统由两个质点组成，它们之间只有引力作用．若两质点所受外力的矢量和为零，则此系统
    （Ａ）动量、机械能以及对一轴的角动量都守恒．
    （Ｂ）动量、机械能守恒，但角动量是否守恒不能断定．
    （Ｃ）动量守恒，但机械能和角动量守恒与否不能断定．
    （Ｄ）动量和角动量守恒，但机械能是否守恒不能断定．
3-5 一水平圆盘可绕通过其中心的固定铅直轴转动，盘上站着一个人，把人和圆盘取作系统，当此人在盘上随意走动时，若忽略轴的摩擦，则此系统
    （Ａ）动量守恒． （Ｂ）机械能守恒．   （Ｃ）对转轴的角动量守恒．
    （Ｄ）动量、机械能和角动量都守恒．    （Ｅ）动量、机械能和角动量都不守恒．
3-6 如图示，一匀质细杆可绕通过上端与杆垂直的水平光滑固定轴旋转，初始状态为静止悬挂．现有一个小球自左方水平打击细杆．设小球与细杆之间为非弹性碰撞，则在碰撞过程中对细杆与小球这一系统
    （Ａ）只有机械能守恒．            （Ｂ）只有动量守恒．
    （Ｃ）只有对转轴的角动量守恒．  （Ｄ）机械能、动量和角动量均守恒．

 

 

3-7 关于刚体对轴的转动惯量，下列说法中正确的是
    （Ａ）只取决于刚体的质量，与质量的空间分布和轴的位置无关．
    （Ｂ）取决于刚体的质量和质量的空间分布，与轴的位置无关．
    （Ｃ）取决于刚体的质量、质量的空间分布和轴的位置．
    （Ｄ）只取决于转轴的位置，与刚体的质量和质量的空间分布无关．
3-8 一轻绳跨过一具有水平光滑轴、质量为的定滑轮，绳的两端分别悬有质量为和的物体（），如图所示．绳与轮之间无相对滑动．若某时刻滑轮沿逆时针方向转动，则绳中的张力
    （Ａ）处处相等．      （Ｂ）左边大于右边．
（Ｃ）右边大于左边．  （Ｄ）无法判断．

3-9 刚体角动量守恒的充分而必要的条件是
    （Ａ）刚体不受外力矩的作用．
  （Ｂ）刚体所受合外力矩为零．
    （Ｃ）刚体所受的合外力和合外力矩均为零．
    （Ｄ）刚体的转动惯量和角速度均保持不变．
3-10两个匀质圆盘和的密度分别为和，若，但两圆盘的质量与厚度相同，如两盘对通过盘心垂直于盘面轴的转动惯量各为和，则
（A）．          （B）．
（C）．          （D）、哪个大，不能确定．

习 题 三
 
3-1 一轴承光滑的定滑轮，质量为，半径为，一根不能伸长的轻绳，一端固定在定滑轮上，另一端系有一质量为的物体，如图所示．已知定滑轮的转动惯量为，其初角速度，方向垂直纸面向里．求：
    （１）定滑轮的角加速度；
    （２）定滑轮的角速度变化到时，物体上升的高度；
    （３）当物体回到原来位置时，定滑轮的角速度．
答案：（１）；（２） ；（３），方向垂直纸面向外．
3-2  质量分别为m和2m，半径分别为r和2r的两个匀质圆盘，同轴地粘在一起，可绕通过盘心且垂直于盘面的水平光滑转动，在大小盘边缘都绕有绳子，绳下端都挂一质量为m的重物，如图，求(1)圆盘的转动惯量；(2)盘的角加速度。

答案：，

 

3-3  花样滑冰运动员绕自身的竖直轴转动，开始时两臂伸开，转动惯量为，角速度为，然后他将两臂收回，转动惯量减少为，求这时他的角速度。
答案：
3-4  一匀质细杆，长为2l，质量为M，以水平速度在光滑的水平面内平动时，与前方一固定的支点O发生完全非弹性碰撞。如图，求杆与O点碰撞后绕O点转动的角速度。
答案：

 

 

3-5 半径为的均匀薄板挖去一个直径为R的圆板，挖去部分的中心与原板的中心相距R/2（图3-5），所剩板的质量为m.求此薄板对通过原板中心垂直于板面的O轴的转动惯量.

答案： .

 

3-6 如图所示，滑轮半径为、质量为，两物体质量分别为、，与桌面摩擦系数为，轻质绳与滑轮之间无相对滑动，轮与轴之间摩擦可以忽略，求物体下落的加速度及轮两侧绳中张力各为多少？

答案：  ；.

 

3-7某飞轮质量为60kg，直径为0.50m，转速为.闸瓦与飞轮之间的摩擦系数为0.4，设飞轮质量全部分布在轮的边缘上，如图所示.现要在5秒内使其制动停止，求制动力.

答案： 314N.

 

 

3-8均质圆盘质量为、半径为，放在水平桌面上，绕过盘心垂直于盘面的竖直轴转动，盘面与桌面之间的摩擦系数为。求角速度由变化到0的过程中，圆盘共转了多少圈，共需多少时间？
答案：；.

3-9 如图所示，长为 、质量为的均质细杆竖直静止于水平轴上，有一子弹质量为，以水平速度射入杆中.求杆被射中的瞬间，杆的角速度多大？

答案： .

 

 

3-10均质圆盘质量为、半径为，绕过盘心垂直于盘面的水平轴旋转，角速度为.某瞬时有一质量为的小碎片沿竖直方向向上飞出（如图所示）.
(1)小碎片能上升多高？
(2)求剩余部分的角速度、角动量和转动动能.

答案： （1）；（2），，.

3-11如图所示，A轮转动惯量,转速为，B轮静止.A与B通过摩擦啮合后，共同的转速为.求：（1）B轮的转动惯量；（2）在啮合过程中的机械能损失.

答案： （1）；（2）.