解放军文职招聘考试第二章 广义相对论的物理基础

 第二章 广义相对论的物理基础

 

Einstein狭义相对论的建立，抛弃了牛顿的绝对时空观，所有惯性参考系之间在描述物理规律时是平权的、等价的。新理论解决了牛顿绝对时空观与Maxwell方程的矛盾，把惯性参考系之间的伽利略变换扩展成洛仑兹变换。然而，狭义相对论的诞生又给物理学家带来了新的矛盾和问题，那就是惯性系如何定义以及万有引力定律不满足Lorentz协变性的困难。

2.1 等效原理和广义相对性原理

在牛顿理论中，惯性系被定义为相对于绝对空间静止或作匀速直线运动的参考系。狭义相对论不承认绝对空间，自然上述定义也就无法运用了。一个通常的办法就是利用惯性定律来定义惯性系，即定义惯性定律在其中成立的参考系为惯性系。惯性定律表述为：“一个不受外力的物体将保持静止或匀速直线运动的状态不变。”然而，“不受外力”如何判断？“不受外力”通常意味着一个物体能够在惯性系中保持静止或匀速直线运动状态。显然，这其中存在着无法摆脱的循环论证，本来以为很自然的惯性系都无法准确定义，于是整个狭义相对论理论就好像建立在了沙滩上的高楼大厦一样，没有了最起码的基础。同时，另一个棘手的问题是，按照狭义相对性原理任何物理规律在不同的惯性参考系之间的变换应满足洛仑兹协变性。可是，作为自然界最普遍规律的万有引力定律，却不满足洛仑兹协变性。为了克服这两个严重的困难，Einstein准确地抓住了等效原理这把金钥匙。

2.1.1 等效原理

牛顿力学中的质量概念从本质上讲可以从两个角度引入，一个反映了物体产生和接受万有引力的能力，即引力质量；另一个则可看成物体惯性的量度，即惯性质量。在经典力学中没有任何理由把二者混为一谈，但奇怪的是不把它们区别开来并没有给我们带来任何麻烦，似乎它们本来就应该相同一样。爱因斯坦曾以地球和石子之间的吸引力为例来说明这一点：“地球以引力吸引石头而对其惯性质量毫无所知，地球的‘召唤’力与引力质量有关，而石头所‘回答’的运动则与惯性质量有关。”
为了把这一点说清楚，我们来看一下电磁作用。惯性质量为的荷电质点，在电磁场作用下所受的力为
                  (2-1-1)
显然，“召唤”力由物体的电荷决定，而所“回答”的运动则与物体的惯性质量有关，二者毫无关系。
人们自然会想到，引力质量按理也应与惯性质量毫无关系；然而多次的精确实验表明，却是一个与质量特性无关的普适常数。在历史上，伽利略、牛顿、Bessel等都曾对此问题进行过实验研究，其中最著名的是匈牙利物理学家Eötvö的扭摆实验。
第一个有意识地检验引力质量与惯性质量之比的是牛顿，他用一些不同材料的等重小球制成了几个等长的单摆。通过测量这些单摆的周期，牛顿发现周期与制造摆球的材料无关。从公式可知，这意味着惯性质量与引力质量之比是个常数，与摆球的物质成分无关。牛顿的结果是
                     （2-1-2）
厄缶（Eötvö）在1900年前后，用扭摆作了25年实验，结论是
                     （2-1-3）
上世纪60年代，迪克（Dick）改进了厄缶的实验，提高了精度，得到
                     （2-1-4）
总之，至今的一切实验，都没有测出引力质量和惯性质量的差别。对一切物质而言，均有
．                    （2-1-5）
其实这一命题与伽利略早在1591年于比萨(Pisa)斜塔上做的有名的自由落体实验是完全等效的。
伽利略实验得出：瞬时静止的置于重力场中同一点的一切物体，在重力作用下，具有完全相同的重力加速度，与其本身的物理性质（质地、形状等）无关。这是因为

若承认，则
，                       （2-1-6）
即与物体性质无关，均等于．反过来，我们也可把作为实验结果，而导出来。
引力质量恒等于惯性质量在牛顿力学与狭义相对论力学中完全是一种巧合，并没有重要意义，但爱因斯坦却从这几百年来司空见惯的事实中，找到了新理论的线索，他指出这一事实乃是与惯性力的本质密切地联系在一起的．
我们首先介绍一个著名的牛顿水桶实验。一个装有水的桶，最初桶和水都静止，水面是平的(图2-1-1-a)。然后让桶以角速度转动，刚开始时，水未被桶带动，这时桶转水不转，水面仍是平的(图2-1-1-b)。过一段时间后，水渐渐被桶带动旋转，最后与桶一起以角速度转动，这时，水面呈凹形(图2-1-1-c)。然后，我们让桶突然静止，水仍以角速度转动，水面仍是凹的(图2-1-1-d)。

 

 

 

 

图2-1-1 牛顿水桶实验

显然，从上述的四种情况来看，水面的形状与水和桶的相对运动无关。在情况(a)和(c)中，水相对于桶都静止，但水面在(a)时是平的，在(c)时是凹的。在情况(b)和(d)中，水相对于桶都转动，但水面在(b)时是平的，在(d)时是凹的。牛顿力学和狭义相对论都认为，水面呈凹形是由于受到惯性离心力的结果。牛顿认为，存在不依赖于物质的绝对空间和绝对时间，当系统相对于绝对静止的绝对空间作绝对加速运动时，就出现惯性力。水面呈凹形，正是由于水相对于绝对空间转动而受到惯性离心力的结果。情况(b)中，水虽然相对于桶转动，但相对于绝对空间并未转动，所以水面仍是平的。情况(c)中，水虽然相对于桶静止，但相对于绝对空间转动，所以水面呈凹形。狭义相对论认为不存在绝对静止的绝对空间，一切运动都是相对的，惯性力的出现只不过是由于系统相对于惯性系作加速运动所致。情况(c)和(d)中，水面呈凹形，是由于水相对于惯性系转动的结果。但是，无论是牛顿力学还是狭义相对论，都没能解决惯性力的本质问题。

 

 

 

图2-1-2 爱因斯坦电梯

爱因斯坦以一个有名的假想实验——爱因斯坦电梯为例，对惯性力的本质提出了新解释。如图2-1-2，为无引力场的惯性系，今有一电梯(坐标系)相对于以匀加速上升。在电梯内(系)的观测者将发现什么现象呢？他将看到空间内一切物体都以加速度自由下落。通过实验他将进一步发现：对所有物体而言，这一加速度都相等，并等于。他如何来解释这种奇怪的现象呢？他可能想到力学教科书上学到过的惯性力正好具有这种性质，于是恍然大悟，断定是物体下落的原因一定是由于他所在的系统对某一惯性系以做匀加速运动。也就是说，使物体下落的原因是一种虚构的惯性力，产生这种力的原因就是“因为我所在的系统不是惯性系”。但是，为什么这种力不是物体与物体之间的一种力呢？如果承认了空间各处存在一个引力场不也是万事大吉了吗？他想不出，有什么物理的、现实的办法来辨别这两种看法的真伪。同样的道理，我们也无法通过任何力学实验来区分升降机在引力场中的自由下落和升降机在无引力场的太空中作惯性运动。正是基于这样的考虑，爱因斯坦得到了广义相对论的第一个基本原理。
等效原理：惯性力场与引力场的动力学效应是局部不可分辨的。关于等效原理，我们要强调以下几点。
（1）等效原理的适用范围
引力场与惯性力场的等效性仅在局部时空范围(即一个时空点的邻域)内成立；同时，“等效”也仅仅是指动力学效应。
众所周知，惯性离心力是和半径成正比的，即∝；而引力是和半径的平方成反比的，即∝。因此，虽然二者在无穷小的局部空间范围内是等效的，但在大的空间范围内则是显然不同的。再如匀加速场和引力场，二者在局部时空范围内是等效的。但就大的时空范围而言，匀加速场的力线是均匀的，而一切实际存在的引力场都是有心的，力线都是会聚的。所以，匀加速系中的自由落体轨道是均匀的，而引力场中的自由落体轨道是会聚的，二者是可以区分的。因此，有限大小的升降机中的观测者，是可以凭借精细的动力学效应区分匀加速场和引力场的。只有无穷小的升降机中的观测者，才不能凭借动力学效应区别这两种场。
等效原理所说惯性力场和引力场不可区分，只是指动力学效应，更确切地说，就是指局域的加速效应。引力与惯性力毕竟有本质的不同，引力场对时空要产生一种内禀效应，使时空弯曲；而惯性力场无此效应，因而没有理由认为这两种力场的一切物理效应都等价。
（2）永久引力场和非永久引力场
引力场对时空产生内禀效应，使时空弯曲；而惯性场不产生这种效应，不改变时空的曲率。通过一个从加速系回到惯性系的坐标变换，可以把整个空间的惯性力场全部消除，故惯性力场又叫非永久引力场。
一般物质所产生的引力场可否通过坐标变换全部消除呢？局部范围内，即在引力场中某一点的邻域内，总可以找到一个局部惯性系，消除该点邻域内的引力的动力学作用。例如：在地球表面的静态引力场中，选取一个自由下落的参考系，大家知道这种参考系中的物体会出现“失重”现象，就是说消除了引力作用。但是自由下落参考系并不是一个整体惯性系，而是由许许多多局部惯性系所组成，所以我们仍然未能找到一个惯性系以消除非局部时空范围内的引力场。因此，这种引力场叫做永久引力场。
（3）等效原理的两种表述——强形式和弱形式
前面所说的“惯性力场与引力场的动力学效应是局部不可分辨的”，是等效原理的弱形式，它是建立在的实验基础上的，强调的仅仅是动力学效应。如果把这个概念推广，用“任何物理效应”代替“动力学效应”，就得到等效原理的强形式：引力场中任一时空点，当采用局部惯性系时，除引力外的一切物理学规律应是洛伦兹协变的。
强形式是广义相对论的理论基础，是从弱形式推广而来的。从“力学现象”推广到“任何物理过程”似乎是自然的，因为力学现象与其他现象并不能完全隔绝。但是这种推广还是值得商榷的，因为所谓在局部惯性系内一切物理规律是洛伦兹协变的，已暗含了把时空当作平直时空来处理，而实际上引力场要使时空弯曲，时空弯曲对物理规律的影响，看来没有理由断然排除。
（4）如果不是一个与物质特性无关的常数，那会有什么后果呢？等效原理保证了一切物体在引力场中有完全相同的运动方程，也就是说运动轨道仅决定于时空的几何性质，而与物质的属性无关，这表明引力理论是一种纯度规理论。如果，则以上理论不完全成立，引力场不是纯粹的度规场，不能完全几何化。
（5）惯性力场的引力场源问题。
引力起源于相互作用，它有场源也有反作用力，而惯性力不是起源于相互作用，没有场源也没有反作用力。如果我们承认等效原理，自然的想法是，惯性力也应起源于相互作用，并且也应有一个引力场源。广义相对论诞生之前出现的马赫原理，为我们提供了一个值得考虑的假说。马赫原理认为，惯性力来自宇宙间远方星系相对于我们作加速运动时的引力作用。牛顿水桶实验中水面呈凹形的情况，就是水相对于遥远星系转动而引起的引力效应。

2.1.2 广义相对性原理

狭义相对论认为一切惯性系是平权的，而客观的、真实的物理规律应该是洛伦兹协变的。但是，宇宙中存在严格的惯性系吗？如前所述，作为狭义相对论基础的惯性系竟然无法严格定义，不能不说是理论的一个严重缺陷。这个问题和万有引力定律不具有洛伦兹协变性的问题，正是当年促使爱因斯坦发展广义相对论的原因。事实上，宇宙间并不存在严格的惯性系，所以我们总是不可避免地要在非惯性系中研究物理规律。所谓惯性系只不过是一种近似而已，例如在弱引力场作用下，空间接近欧几里德空间，可以近似地引入惯性系。在一般引力场中，对处于自由下落的参考系中的观测者而言，也可近似地认为它是一个局部惯性系。
既然如此，我们当然希望发展一种理论，它能抛弃惯性系的概念，而使所有参考系都能同样平权地表述物理规律。等效原理把非惯性系中出现的惯性力当作引力场考虑，所以这种理论应考虑到引力场对物理规律的影响。爱因斯坦指出可以而且有必要突破惯性系的局限，他将狭义相对性原理加以推广而得到广义相对论的另一条基本原理——广义相对性原理。
一切参考系都是平权的，或换言之，客观的、真实的物理规律应该在任意坐标变换下形式不变——广义协变性。
至此，等效原理与广义相对性原理取消了原来狭义相对论中惯性系的优越地位，使一切参考系都平权。同时，由于取消了惯性系，一个正确的物理规律必须考虑引力场的影响。等效原理和广义相对性原理这两条基本原理是彼此独立而又相互联系的，等效原理容许我们采用非惯性系描绘物理过程，把永久引力场和非永久引力场视为同一，它是广义相对性原理成立的先决条件。但等效原理并不一定导致广义相对性原理，它并非后者的充分条件，所以两者又是互相独立的。这两条彼此独立而又相互联系的基本原理，共同构成了广义相对论的基础．

2.2 引力场对时空几何的影响、引力几何化

因为引力引起的加速度与运动体的固有性质无关，它仅依赖于该处引力场的情况，所以引力场的效果可以用空间的几何结构来描述。当空间无引力场时，四维时空是(伪)欧几里得的，它具有最大的对称性。然而，一旦有了引力场，一般说来时空对称性将遭到破坏。这时，四维时空不再是欧几里得的而是非欧的或黎曼(B. Riemann，1826-1866)的了。下面我们以爱因斯坦转盘为例来说明这一点，如图2-2-1。

 

 

 

 

图2-2-1 爱因斯坦转盘

设有两套坐标系：为惯性系，为随转盘转动的非惯性系。令两个坐标面重合，当与相对静止时，调整好一系列的标准钟与标准尺，分配到与各点上。当系匀速转动起来以后，在面与面上划两个完全重合的圆周，我们来考察一下系的时空几何。
系中观测者用标准尺测量半径和圆周得
，                      （2-2-1）
即欧几里德几何成立。系中观测者测量的结果无法事先知道，但可以从系来观测系中的测量过程。测半径时，由于任一瞬间，半径和标准尺均与运动方向垂直，半径和标准尺均无洛仑兹收缩，故测量结果与系中完全相同，即
.                          （2-2-2）
测圆周时，设测量次数为(这是绝对的)，但从系看来，是以在中缩短了的标准尺（）进行的，其圆周为
           （2-2-3）
假设加速度对标准尺无影响，那么系中测量结果为
.              （2-2-4）
这说明转动的圆盘上欧几里德几何不再成立，应该是罗巴切夫斯基几何。
系的观测者如何来解释这种测量结果呢？按等效原理系中出现了引力场，因此他只能得出结论：几何学对欧几里德几何的偏离是引力场影响的结果。
狭义相对论认为，在惯性系中，一旦把静置各处的标准钟调整同步，那么它们将永远保持同步而不受周围物质的存在和运动的影响。广义相对论则认为，即使设法把某一参考系中的标准钟在某一瞬间调整同步，但由于引力场的出现，将使它们不可能永远保持同步，这说明周围物质的存在与运动要影响它们的快慢。
设转盘转动前，转动后从系看转盘处标准钟有爱因斯坦延缓：
，              （2-2-5）
只有盘心处才有。从系的盘心看，观测结果与系中观测结果完全相同，也就是说，静置转盘各处的标准钟不可能保持同步。同样，这里的讨论也应假设加速度对标准钟无影响。这已为高能基本粒子实验直接证实。为什么会有这种延缓效应呢？从系的观测者看来，按等效原理应归因于系中出现了引力场，标准钟的变化是由于引力场影响所致。
总之，由等效原理可知，引力场要影响时空属性。而由广义相对性原理，系与系是平权的，所以非欧几里德几何（非欧几里德空间）与欧几里德几何（欧几里德空间）是同等真实的。

2.3 非欧几里德几何

几何（Geometry）一词，原意为测地术，两千多年前，埃及亚历山大利亚城的欧几里德的《几何学原本》一书，总结了古希腊时代人们通过生产劳动和科学研究所发现的全部几何学规律。直到19世纪初期，它还是人们所知道的唯一合理和唯一真实的几何学。19世纪初，人们开始认识到，非欧几何学与欧几里德几何学是同样合理的。人们自然要问：真实的三维物理空间究竟遵从哪种几何？究竟哪种几何是真实的呢？这本质上是个实验问题，事实上它们都是真实的。广义相对论中，当空间无引力场时，欧几里德几何是真实的；而有引力场时，非欧几里德几何是真实的。
欧几里德几何认为三维空间是平直的，非欧几里德几何则认为三维空间是弯曲的，而按曲率的大于、等于或小于0，分别为黎氏几何、欧几里德几何与罗巴切夫斯基几何。1854年，黎曼从更高的观点把欧几里德几何与非欧几里德几何统一为黎曼几何。

表2-3-1 黎曼几何的分类
 欧几里德几何 黎氏几何 罗巴切夫斯基几何
曲率 =0  无限的
开放空间 >0  有限的
闭合空间 <0  无限的
开放空间
圆周率   
三角形
内角之和   
平行公理 过直线外一点仅有一根平行线 任二直线恒相交 过直线外一点可作两根平行线
二维曲面 平面 球面
 伪球面

我们从最简单的非欧几里德几何问题，即包容在三维欧几里德空间内的二维曲面几何谈起。在选定了曲面的高斯坐标后，二维曲面几何可完全不考虑包容空间而只由二维曲面的度规张量确定。
令曲面参数方程为
， ， ，     （2-3-1）
其中为三维欧几里德空间的笛卡尔坐标。容易得到
                （2-3-2）
或
，（），            （2-3-3）
这里采用爱因斯坦规则，即重复指标代表取和，以后均采用此规则。若与曲面上的点一一对应，那么所有曲线{}所决定的曲面网络形成一个曲面坐标系叫高斯坐标，如图2-3-1-a。

 

 

 

 

图2-3-1 曲面上的高斯坐标及非欧几何性质

距离 曲面上任两个相邻点与的距离为
，（） （2-3-4）
式中我们定义
                  （2-3-5）
不难求得在曲面上任意坐标变换下的变换规律。如果要求在任意坐标变换下长度是不变量，即
             （2-3-6）
则由
，，            （2-3-7）
得
.              （2-3-8）
因，为独立变量，得
,  或  .      (2-3-9)
所以，为二级对称张量，也叫度规张量。
夹角 任取两相交曲线，交点处两曲线夹角（如图2-3-1-b）由下式确定：
.                  (2-3-10)
而
，，             (2-3-11)
把（2-3-11）代入（2-3-10），得
，  (2-3-12)

式中
，.                (2-3-13)
面元 曲面上任两相交曲线所形成的无穷小平行四边形面元（如图2-3-1-c）为
.                 （2-3-14）
今取：与：来讨论，由（2-3-4）式得和，由（2-3-12）式得
.             (2-3-15)
所以
，                (2-3-16)
式中
，               (2-3-17)
故
.                    (2-3-18)
“直”线 所谓“直线”即两点间最短的距离，故也叫短程线或测地线。为搞清在曲面中的测地线，我们先回忆一下平面上任两点间直线或测地线的概念。所谓测地线就是过两点的自由粒子的运动轨迹或光迹，在平面中应有
，      （2-3-19）
式中即拉格朗日函数。由拉格朗日方程
，                  （2-3-20）
有
.                    (2-3-21)
当把参量恰好选为距离元时，得
，                      (2-3-22)
即
,  或  ,                 (2-3-23)
这正是欧几里德空间内直线的参数方程。
二维曲面上任两点间的“直线”或测地线，也由变分原理来确定：
，       (2-3-24)
故
.                      (2-3-25)
由拉格朗日方程
，                 （2-3-26）
当把参量恰好选为时，得
,            (2-3-27)
或
，              （2-3-28）
这便是曲面上的测地线方程。
由（2-3-4）、（2-3-12）、（2-3-18）、（2-3-28）式可知，在选定曲面上的高斯坐标后，二维曲面上的度规张量就完全确定了，由此可进一步决定曲面上图形的一切几何性质（长度、夹角和面积等），而完全不考虑包容空间。

2.4 最普遍的时空坐标

设有一惯性系，采用笛卡尔坐标
.
那么
             (2-4-1)
其中
.                   (2-4-2)
引入任意四维时空点变换
，                      (2-4-3)
对此变换加上限制条件：函数应是连续、可微，且雅可比行列式满足
.                     (2-4-4)
最后一个条件是为了保证逆变换的存在，此时
，               （2-4-5）
，               （2-4-6）
因此，我们有
   或  .            (2-4-7)
由的任意性，得
，                     （2-4-8）
类似的，我们有
.                      （2-4-9）
这说明变换矩阵与互为逆矩阵。由
，        （2-4-10）
得新度规为
，           （2-4-11）
其中。
定理 欲使任意点变换所得的4个变量的第一个表示时间坐标，后3个表示空间坐标，度规张量必须符合下述充要条件：
 （2-4-12）
证明 按等效原理，在引力场中任一点可引进局部惯性系，设惯性坐标为，坐标变换为。若要求代表空间坐标，则空间任一固定点有
.                 (2-4-13)
对惯性系的速度为
,  或  .            (2-4-14)
由（2-4-6）式和有

所以
.
欲使，必有
，                 （2-4-15）
由（2-4-11）式可见，此时即为。
要证明另外三个不等式，我们首先讨论空间二相邻点的纯空间距离问题。为此，先谈谈坐标钟与标准钟的概念。
在任意物理的坐标系内，我们构造一种机构，按的速率运行，就叫坐标钟。在狭义相对论中，曾引入标准钟的概念，实际上狭义相对论中标准钟的固有时间，就是静止于那个惯性系中的观测者亲身经历的时间
         （2-4-16）
相对论中习惯于用字母来表示固有时间，因此
                  （2-4-17）
显然，固有时间正比于观测者世界线的长度。
现在把狭义相对论的固有时间概念推广，在引力场中任一点，引入局部惯性系后当然同样可引入标准钟。根据等效原理，可对时空中的任意观测者引入相对于他瞬时静止的局部惯性系。仿照狭义相对论，定义静止于中的“真实钟”为标准钟，它所记录的时间为惯性系的固有时间。

 

 

 

图2-4-1 任意观测者与局部惯性观测者的世界线

如图2-4-1，设为任意观测者的世界线，当在点时，相对于他瞬时静止的局部惯性系的世界线为，显然与在点相切。惯性系的固有时间为但微分几何知识告诉我们，在一点的邻域，曲线的线元与其切线的线元相等，即。因此我们对任意参考系中静止观者就可以合理定义，其标准钟的固有时间为
                 （2-4-18）
它正比于的世界线的长度。因此，对于空间任意观者，均可以通过其世界线定义其固有时间
.                     （2-4-19）
对于弯曲时空中的任意观测者，我们可以让他所持的钟的读数正比于自己世界线的长度，这个钟就是他的标准钟，记录的时间就是他的固有时间。而且，在他的世界线上的每一点，此固有时间都与该点的瞬时静止惯性系的固有时间相等。因此，“随着观测者一起运动的钟”和“的瞬时静止惯性系的钟”，都可以作为的标准钟，记录他的固有时间。前者只是一个单一的钟，可连续记录的固有时间，后者由无穷多个钟组成，每一个只在一个时空点的邻域，记录在那一瞬间的固有时间。由于线元是不变量，即可建立坐标钟与随动观者（静止）标准钟的关系
，             (2-4-20)
。                 (2-4-21)
关于坐标时间和固有时间，我们要说明一下三点：
（1）坐标钟是虚构的，仅在计算中有用。标准钟才是真实的钟，又测量意义的是标准钟记录的固有时间，不是坐标时间。
（2）任何作周期振动的物体都可以作为标准钟，标准钟不一定要置于惯性系或瞬时惯性系中，它可以在弯曲时空中沿任何类时世界线运动，所记录的固有时间就是它的世界线的长度。
（3）任何观测者的固有时间可以等价地用两种钟计量：他自己携带的标准钟和相对于他瞬时静止的自由下落钟。
下面我们阐述空间固有距离，即纯空间距离的概念。如图2-4-2，假定、为空间两邻点，光信号从射向，再反射回到,所需要的坐标时间为
                    （2-4-22）
换成标准时间
.                    （2-4-23）
引入处的局部惯性系，在局部惯性系中，光速各向同性并恒为，故两相邻点间的纯空间距离为
,               （2-4-24）
这就是用标准尺测得的纯空间距离。事实上，它是依据光速不变原理，又测量固有时间的方法间接得到的。

 

 

图2-4-2 纯空间距离的定义

由
，        （2-4-25）
可解得
          （2-4-26）
故
             （2-4-27）
将（2-4-27）代入（2-4-24），得
               （2-4-28）
上式也可以简写为
,                    (2-4-29)
其中,或记为,而。
物理上要求空间两点之间的固有距离是正定的，即。根据二次型正定的充要条件——雅可比公式，有
，，.         （2-4-30）
把的表达式代入上式，即得
，，.  （2-4-31）
当，即不存在时轴交叉项时，或者说对于时间坐标与空间坐标正交的时轴正交系而言，则有
，，.        （2-4-32）
这样，我们便最后证明了普遍的度规张量与普遍的时轴正交的时空坐标系所要遵从的条件(2-4-12)式。从数学的角度看，描述时空结构时，任意的曲线坐标系都可以采用；然而，从物理的角度看，要保证坐标系中一个是时间坐标，三个是空间坐标，只有不违背基本物理规律和基本物理事实的曲线坐标系才是可用的。研究广义相对论，要注意物理坐标系和一般数学坐标系的区别。

2.5 广义相对论中的时间概念

时间概念的基础是两异地事件的同时性的确立。在狭义相对论中，同时性概念与坐标系的选取有关，但在同一坐标系中同时性的概念通过光信号加以校准总是可以建立起来的。然而，在广义相对论中情形又如何呢？任何物理学中的定义，必须能提供一种原则上可行的测量方案，否则此定义在物理学中就是一种无意义的空谈。同理，一个物理学中同时性的定义必须能够提供一种原则上可行的测量方案以判断两异地事件是否同时发生。要定义异地事件的同时，实质上就是两异地时钟的校准问题。如何来校准时钟？通常有两个办法，一是移钟，再是利用信号传递。前者在物理学中是不允许的，因为移钟要带来一系列的效应，至少就有延缓效应。借助于信号，原则上任何信号都可行；自然用光信号最好，因为光信号运动规律最简单，特别是真空中的光速恒为。
现在我们利用光信号来定义黎曼空间相邻点，发生的两事件是否同时，如图2-5-1所示。

 

 

 

图2-5-1 广义相对论中同时的定义

空间点的世界线为，邻点的世界线为，若处坐标时刻为时发出光信号，到达时处的坐标时刻为，反射后回到，此时处的坐标时刻为，令
，    ，           （2-5-1）
定义为与同时的处坐标时刻，应有
 （2-5-2）
可见，要求两异地事件同时发生时，坐标钟应相差
               （2-5-3）
另外，光信号的去程（）和回程（）应服从以下规律
，        （2-5-4）
解之可得
，        （2-5-5）
故
.               （2-5-6）
采用（2-5-6）式可沿任意开放路径调整路径上各处的坐标钟同步，但是一般来说并不是全微分，故沿一个闭合路径的积分并不等于0，即
                       （2-5-7）
这表明，沿不同的路径去校准两异地坐标钟是不可能的。具体来讲，就是若与调整同步了，与也调整同步了，但与通常不一定同步，就是说同时通常不具有传递性。由于在空间任一点，静止标准钟与坐标钟满足
                   （2-5-8）
因此标准钟就更无法校准同步了。只有当采用时轴正交系时
，                       （2-5-9）
同时才具有传递性。因此，时轴正交系对广义相对论有着很重要的意义，事实上所有的静态引力场，都可以找到时轴正交系，因而都可以定义同时。
搞清楚了广义相对论中建立同时面的条件，下面我们再介绍一种较弱的对钟条件：只要求把各空间点的坐标钟的“速率”调整同步，而不要求它们的“时刻”也一定同步，即不一定有同时面。
在、两点的第一个同时时刻，坐标钟相差
                   （2-5-10）
第二个同时时刻，坐标钟相差
                   （2-5-10）
因此，二坐标钟的“速率”之差为
       （2-5-11）
上式为零的条件是与坐标时间无关。所以，各空间点坐标钟速率相同的充要条件是
                   (2-5-12)
或
.                       (2-5-13)
这是一个比时轴正交（）要弱的条件。显然，各点钟速相同是建立同时面的必要条件，不是充要条件。

2.6 引力场中的自由粒子的运动方程

爱因斯坦最先利用广义相对论的两条基本原理（等效原理与广义相对性原理）建立了引力场中自由粒子（质子、光子）的运动方程。后来，一方面是爱因斯坦、Infeld和Hoffmann（1938年），另一方面是V. A. Fock（1939年）证明了运动方程可由场方程导出。
众所周知，惯性系中自由粒子的运功方程是直线方程，亦即闵可夫斯基时空中的测地线，它可由变分原理得到。由
，            （2-6-1）
根据拉格朗日方程，得
            （2-6-2）
其中。
对于质点，可选，此时，（2-6-2）可化为
                   （2-6-3）
变换到加速参考系后，按照广义相对性原理，自由粒子的运动方程是广义协变的
，              （2-6-4）
                （2-6-3）
对于光线，即类光测地线，或。
从广义相对论看来，引力场化为了度规场，或者说引力消失了，在引力场中粒子的自由运动应该看作是一种沿测地线（2-6-3）、（2-6-4）式所作的“惯性运动”，而后者由四维时空的几何性质决定的。

2.7 对新理论的构想

等效原理的提出，使爱因斯坦看到，狭义相对论的两个基本困难（惯性系疑难和万有引力定律的非洛仑兹协变性）之间存在着内在的联系，有可能一并处理解决。
他把等效原理、广义相对性原理作为新理论的基础，同时承认光速对任何参考系仍然保持不变。由于爱因斯坦把狭义相对性原理推广为广义相对性原理，他自然希望新理论是对狭义相对论的推广，因而惯性系自然扩展为任意参考系（包括各种非惯性系）。从数学上看，正交变换下的直角坐标系，自然扩展为任意坐标变换下的曲线坐标系。显然，由于坐标系的选择而引起的惯性力，应该与坐标的曲线性有关。
他希望新理论能够包含引力效应。注意到引力造成的加速度与运动物体的物质结构无关，它不同于电磁力之类的通常的力，应该用不同的方式来处理和对待。等效原理使爱因斯坦想到引力也应与惯性力一样起源于坐标的曲线性。这种处理方式与其他物理力的处理方式截然不同，可以很好地体现引力的特点。考虑到没有引力存在的Minkowski时空是平直的，自然有引力的时空应该是弯曲的。平直时空的弯曲，自然会使直线坐标变成曲线坐标，产生引力效应。
于是，爱因斯坦提出新理论应该是一个几何理论，引力即时空的弯曲。由于引力的根源是质量，因此本质上是质量的存在造成时空弯曲。反过来，弯曲的时空又会影响质量的运动。爱因斯坦认为，新理论的基本方程应该有两个，一个描述质量如何使时空弯曲
，
另一个描述弯曲时空中物质的运动，即前面介绍的测地线方程。事实上，测地线方程可以由爱因斯坦场方程导出。
爱因斯坦把新理论看作是狭义相对论在任意参考系及弯曲时空中的推广，因此称其为广义相对论。实际上，这是一个关于时间、空间和引力的理论。
新思想诞生后，下一步就要寻找合适的数学工具，用以建立新的理论。他希望这种数学工具能够描述时空的弯曲，而且能够把张量推广到弯曲时空中去。这种数学工具，就是当时已经发展起来、但不为物理学家所熟悉的黎曼几何。