解放军文职招聘考试第一章　质点运动学

 第一章　质点运动学

1 -1　质点作曲线运动,在时刻t 质点的位矢为r,速度为v ,速率为v,t 至(t ＋Δt)时间内的位移为Δr, 路程为Δs, 位矢大小的变化量为Δr ( 或称Δ｜r｜),平均速度为,平均速率为．
(1) 根据上述情况,则必有(　　)
(A) ｜Δr｜= Δs = Δr
(B) ｜Δr｜≠ Δs ≠ Δr,当Δt→0 时有｜dr｜= ds ≠ dr
(C) ｜Δr｜≠ Δr ≠ Δs,当Δt→0 时有｜dr｜= dr ≠ ds
(D) ｜Δr｜≠ Δs ≠ Δr,当Δt→0 时有｜dr｜= dr = ds
(2) 根据上述情况,则必有(　　)
(A) ｜｜= ,｜｜= 　　　  (B) ｜｜≠,｜｜≠
(C) ｜｜= ,｜｜≠         (D) ｜｜≠,｜｜=

分析与解　(1) 质点在t 至(t ＋Δt)时间内沿曲线从P 点运动到P′点,各量关系如图所示, 其中路程Δs ＝PP′, 位移大小｜Δr｜＝PP′,而Δr ＝｜r｜-｜r｜表示质点位矢大小的变化量,三个量的物理含义不同,在曲线运动中大小也不相等(注：在直线运动中有相等的可能)．但当Δt→0 时,点P′无限趋近P点,则有｜dr｜＝ds,但却不等于dr．故选(B)．
(2) 由于｜Δr ｜≠Δs,故,即｜｜≠．
但由于｜dr｜＝ds,故,即｜｜＝．由此可见,应选(C)．
1 -2　一运动质点在某瞬时位于位矢r(x,y)的端点处,对其速度的大小有四种意见,即
(1)；　(2)；　(3)；　(4)．
下述判断正确的是(　　)
(A) 只有(1)(2)正确　　　   　(B) 只有(2)正确
(C) 只有(2)(3)正确           (D) 只有(3)(4)正确
分析与解　表示质点到坐标原点的距离随时间的变化率,在极坐标系中叫径向速率．通常用符号vr表示,这是速度矢量在位矢方向上的一个分量；表示速度矢量；在自然坐标系中速度大小可用公式计算,在直角坐标系中则可由公式求解．故选(D)．
1 -3　质点作曲线运动,r 表示位置矢量, v表示速度,a表示加速度,s 表示路程, aｔ表示切向加速度．对下列表达式,即
(1)d v /dt ＝a；(2)dr/dt ＝v；(3)ds/dt ＝v；(4)d v /dt｜＝aｔ．
下述判断正确的是(　　)
(A) 只有(1)、(4)是对的    (B) 只有(2)、(4)是对的
(C) 只有(2)是对的         (D) 只有(3)是对的
分析与解　表示切向加速度aｔ,它表示速度大小随时间的变化率,是加速度矢量沿速度方向的一个分量,起改变速度大小的作用；在极坐标系中表示径向速率vr(如题1 -2 所述)；在自然坐标系中表示质点的速率v；而表示加速度的大小而不是切向加速度aｔ．因此只有(3) 式表达是正确的．故选(D)．
1 -4　一个质点在做圆周运动时,则有(　　)
(A) 切向加速度一定改变,法向加速度也改变
(B) 切向加速度可能不变,法向加速度一定改变
(C) 切向加速度可能不变,法向加速度不变
(D) 切向加速度一定改变,法向加速度不变
分析与解　加速度的切向分量aｔ起改变速度大小的作用,而法向分量an起改变速度方向的作用．质点作圆周运动时,由于速度方向不断改变,相应法向加速度的方向也在不断改变,因而法向加速度是一定改变的．至于aｔ是否改变,则要视质点的速率情况而定．质点作匀速率圆周运动时, aｔ恒为零；质点作匀变速率圆周运动时, aｔ为一不为零的恒量,当aｔ改变时,质点则作一般的变速率圆周运动．由此可见,应选(B)．
1 -5　已知质点沿x 轴作直线运动,其运动方程为,式中x 的单位为m,t 的单位为 s．求：
(1) 质点在运动开始后4.0 s内的位移的大小；
(2) 质点在该时间内所通过的路程；
(3) t＝4 s时质点的速度和加速度．
分析　位移和路程是两个完全不同的概念．只有当质点作直线运动且运动方向不改变时,位移的大小才会与路程相等．质点在t 时间内的位移Δx 的大小可直接由运动方程得到：,而在求路程时,就必须注意到质点在运动过程中可能改变运动方向,此时,位移的大小和路程就不同了．为此,需根据来确定其运动方向改变的时刻tp ,求出0～tp 和tp～t 内的位移大小Δx1 、Δx2 ,则t 时间内的路程,如图所示,至于t ＝4.0 s 时质点速度和加速度可用和两式计算．
解　(1) 质点在4.0 s内位移的大小

 (2) 由                   
得知质点的换向时刻为
 (t＝0不合题意)
则

所以,质点在4.0 s时间间隔内的路程为

 (3) t＝4.0 s时

1 -6　已知质点的运动方程为,式中r 的单位为m,t 的单位为ｓ．求：
(1) 质点的运动轨迹；
(2) t ＝0 及t ＝2ｓ时,质点的位矢；
(3) 由t ＝0 到t ＝2ｓ内质点的位移Δr 和径向增量Δr；
*(4) 2 ｓ 内质点所走过的路程s．
分析　质点的轨迹方程为y ＝f(x),可由运动方程的两个分量式x(t)和y(t)中消去t 即可得到．对于r、Δr、Δr、Δs 来说,物理含义不同,可根据其定义计算．其中对s的求解用到积分方法,先在轨迹上任取一段微元ds,则,最后用积分求ｓ．
解　(1) 由x(t)和y(t)中消去t 后得质点轨迹方程为

这是一个抛物线方程,轨迹如图(a)所示．
(2) 将t ＝0ｓ和t ＝2ｓ分别代入运动方程,可得相应位矢分别为
 ,
图(a)中的P、Q 两点,即为t ＝0ｓ和t ＝2ｓ时质点所在位置．
(3) 由位移表达式,得

其中位移大小
而径向增量
*(4) 如图(B)所示,所求Δs 即为图中PQ段长度,先在其间任意处取AB 微元ds,则,由轨道方程可得,代入ds,则2ｓ内路程为

 

　　1 -7　质点的运动方程为

式中x,y 的单位为m,t 的单位为ｓ．
试求：(1) 初速度的大小和方向；(2) 加速度的大小和方向．
分析　由运动方程的分量式可分别求出速度、加速度的分量,再由运动合成算出速度和加速度的大小和方向．
解　(1) 速度的分量式为

当t ＝0 时, vox ＝-10 m·ｓ-1 , voy ＝15 m·ｓ-1 ,则初速度大小为

设vo与x 轴的夹角为α,则

α＝123°41′
(2) 加速度的分量式为
 ,
则加速度的大小为

设a 与x 轴的夹角为β,则

β＝-33°41′(或326°19′)
1 -8 一升降机以加速度1.22 m·ｓ-2上升,当上升速度为2.44 m·ｓ-1时,有一螺丝自升降机的天花板上松脱,天花板与升降机的底面相距2.74 m．计算：(1)螺丝从天花板落到底面所需要的时间；(2)螺丝相对升降机外固定柱子的下降距离．
分析　在升降机与螺丝之间有相对运动的情况下,一种处理方法是取地面为参考系,分别讨论升降机竖直向上的匀加速度运动和初速不为零的螺丝的自由落体运动,列出这两种运动在同一坐标系中的运动方程y1 ＝y1(t)和y2 ＝y2(t),并考虑它们相遇,即位矢相同这一条件,问题即可解；另一种方法是取升降机(或螺丝)为参考系,这时,螺丝(或升降机)相对它作匀加速运动,但是,此加速度应该是相对加速度．升降机厢的高度就是螺丝(或升降机)运动的路程．
解1　(1) 以地面为参考系,取如图所示的坐标系,升降机与螺丝的运动方程分别为

当螺丝落至底面时,有y1 ＝y2 ,即

 (2) 螺丝相对升降机外固定柱子下降的距离为

解2　(1)以升降机为参考系,此时,螺丝相对它的加速度大小a′＝g ＋a,螺丝落至底面时,有

(2) 由于升降机在t 时间内上升的高度为

则                  

1 -9　质点沿直线运动,加速度a＝4 -t2 ,式中a的单位为m·ｓ-2 ,t的单位为ｓ．如果当t ＝3ｓ时,x＝9 m,v ＝2 m·ｓ-1 ,求质点的运动方程．
分析　本题属于运动学第二类问题,即已知加速度求速度和运动方程,必须在给定条件下用积分方法解决．由和可得和．如a＝a(t)或v ＝v(t),则可两边直接积分．如果a 或v不是时间t 的显函数,则应经过诸如分离变量或变量代换等数学操作后再做积分．
解　由分析知,应有

得                                        (1)

由                     
得                                  (2)
将t＝3ｓ时,x＝9 m,v＝2 m·ｓ-1代入(1)  (2)得v0＝-1 m·ｓ-1,x0＝0.75 m．于是可得质点运动方程为

1 -10　一石子从空中由静止下落,由于空气阻力,石子并非作自由落体运动,现测得其加速度a＝A -Bv,式中A、B 为正恒量,求石子下落的速度和运动方程．
分析　本题亦属于运动学第二类问题,与上题不同之处在于加速度是速度v的函数,因此,需将式dv ＝a(v)dt 分离变量为后再两边积分．
解　选取石子下落方向为y 轴正向,下落起点为坐标原点．
(1) 由题意知                              (1)
用分离变量法把式(1)改写为
                  (2)
将式(2)两边积分并考虑初始条件,有

得石子速度             
由此可知当,t→∞时,为一常量,通常称为极限速度或收尾速度．
(2) 再由并考虑初始条件有

得石子运动方程

1 -11　一质点具有恒定加速度a ＝6i ＋4j,式中a的单位为m·ｓ-2 ．在t＝0时,其速度为零,位置矢量r0 ＝10 mi．求：(1) 在任意时刻的速度和位置矢量；(2) 质点在Oxy 平面上的轨迹方程,并画出轨迹的示意图．

分析　与上两题不同处在于质点作平面曲线运动,根据叠加原理,求解时需根据加速度的两个分量ax 和ay分别积分,从而得到运动方程r的两个分量式x(t)和y(t)．由于本题中质点加速度为恒矢量,故两次积分后所得运动方程为固定形式,即和,两个分运动均为匀变速直线运动．读者不妨自己验证一下．
解　由加速度定义式,根据初始条件t0 ＝0时v0 ＝0,积分可得

又由及初始条件t＝0 时,r0＝(10 m)i,积分可得

由上述结果可得质点运动方程的分量式,即
x ＝10＋3t2
y ＝2t2
消去参数t,可得运动的轨迹方程
3y ＝2x -20 m
这是一个直线方程．直线斜率,α＝33°41′．轨迹如图所示．
1 -12　质点在Oxy 平面内运动,其运动方程为r＝2i ＋(19-2t2 )j,式中r 的单位为m,t的单位为s．求：(1)质点的轨迹方程；(2) 在t1＝1s 到t2 ＝2s 时间内的平均速度；(3) t1 ＝1ｓ时的速度及切向和法向加速度；(4) t ＝1s 时质点所在处轨道的曲率半径ρ．
分析　根据运动方程可直接写出其分量式x ＝x(t)和y ＝y(t),从中消去参数t,即得质点的轨迹方程．平均速度是反映质点在一段时间内位置的变化率,即,它与时间间隔Δt 的大小有关,当Δt→0 时,平均速度的极限即瞬时速度．切向和法向加速度是指在自然坐标下的分矢量aｔ 和an ,前者只反映质点在切线方向速度大小的变化率,即,后者只反映质点速度方向的变化,它可由总加速度a 和aｔ 得到．在求得t1 时刻质点的速度和法向加速度的大小后,可由公式求ρ．
解　(1) 由参数方程
x ＝2.0t,　y ＝19.0-2.0t2
消去t 得质点的轨迹方程：
y ＝19.0 -0.50x2
 (2) 在t1 ＝1.00ｓ 到t2 ＝2.0ｓ时间内的平均速度

(3) 质点在任意时刻的速度和加速度分别为

则t1 ＝1.00ｓ时的速度
v(t)｜t ＝1ｓ＝2.0i -4.0j
切向和法向加速度分别为

(4) t ＝1.0ｓ质点的速度大小为

则
1 -13　飞机以100 m·ｓ-1 的速度沿水平直线飞行,在离地面高为100 m时,驾驶员要把物品空投到前方某一地面目标处,问：(1) 此时目标在飞机正下方位置的前面多远？ (2) 投放物品时,驾驶员看目标的视线和水平线成何角度？(3) 物品投出2.0ｓ后,它的法向加速度和切向加速度各为多少？

分析　物品空投后作平抛运动．忽略空气阻力的条件下,由运动独立性原理知,物品在空中沿水平方向作匀速直线运动,在竖直方向作自由落体运动．到达地面目标时,两方向上运动时间是相同的．因此,分别列出其运动方程,运用时间相等的条件,即可求解．
此外,平抛物体在运动过程中只存在竖直向下的重力加速度．为求特定时刻t时物体的切向加速度和法向加速度,只需求出该时刻它们与重力加速度之间的夹角α或β．由图可知,在特定时刻t,物体的切向加速度和水平线之间的夹角α,可由此时刻的两速度分量vx 、vy求出,这样,也就可将重力加速度g 的切向和法向分量求得．
解　(1) 取如图所示的坐标,物品下落时在水平和竖直方向的运动方程分别为
x ＝vt,　y ＝1/2 gt2
飞机水平飞行速度v＝100 m·s-1 ,飞机离地面的高度y＝100 m,由上述两式可得目标在飞机正下方前的距离

(2) 视线和水平线的夹角为

(3) 在任意时刻物品的速度与水平轴的夹角为

取自然坐标,物品在抛出2s 时,重力加速度的切向分量与法向分量分别为

1 -16一质点沿半径为R 的圆周按规律运动,v0 、b 都是常量．(1) 求t 时刻质点的总加速度；(2) t 为何值时总加速度在数值上等于b？(3) 当加速度达到b 时,质点已沿圆周运行了多少圈？
分析　在自然坐标中,s 表示圆周上从某一点开始的曲线坐标．由给定的运动方程s ＝s(t),对时间t 求一阶、二阶导数,即是沿曲线运动的速度v 和加速度的切向分量aｔ,而加速度的法向分量为an＝v2 /R．这样,总加速度为a ＝aｔeｔ＋anen．至于质点在t 时间内通过的路程,即为曲线坐标的改变量Δs＝st -s0．因圆周长为2πR,质点所转过的圈数自然可求得．
解　(1) 质点作圆周运动的速率为

其加速度的切向分量和法向分量分别为
,
故加速度的大小为

其方向与切线之间的夹角为

(2) 要使｜a｜＝b,由可得

(3) 从t＝0 开始到t＝v0 /b 时,质点经过的路程为

因此质点运行的圈数为

1 -17　一半径为0.50 m 的飞轮在启动时的短时间内,其角速度与时间的平方成正比．在t＝2.0ｓ 时测得轮缘一点的速度值为4.0 m·ｓ-1．求：(1) 该轮在t′＝0.5ｓ的角速度,轮缘一点的切向加速度和总加速度；(2)该点在2.0ｓ内所转过的角度．
分析　首先应该确定角速度的函数关系ω＝kt2．依据角量与线量的关系由特定时刻的速度值可得相应的角速度,从而求出式中的比例系数k,ω＝ω(t)确定后,注意到运动的角量描述与线量描述的相应关系,由运动学中两类问题求解的方法(微分法和积分法),即可得到特定时刻的角加速度、切向加速度和角位移．
解　因ωR ＝v,由题意ω∝t2 得比例系数

所以                   
则t′＝0.5ｓ 时的角速度、角加速度和切向加速度分别为

 

总加速度

在2.0ｓ内该点所转过的角度

1 -18　一质点在半径为0.10 m的圆周上运动,其角位置为,式中θ 的单位为rad,t 的单位为ｓ．(1) 求在t ＝2.0ｓ时质点的法向加速度和切向加速度．(2) 当切向加速度的大小恰等于总加速度大小的一半时,θ 值为多少？(3) t 为多少时,法向加速度和切向加速度的值相等？
分析　掌握角量与线量、角位移方程与位矢方程的对应关系,应用运动学求解的方法即可得到．
解　(1) 由于,则角速度．在t ＝2 ｓ 时,法向加速度和切向加速度的数值分别为

(2) 当时,有,即

得                       
此时刻的角位置为

(3) 要使,则有

t ＝0.55ｓ