第7章 狭义相对论

狭义相对论是对经典物理的修正和完善。它的出发点是如下基本事实，即：没有物理实验可以确定惯性参考系的绝对速度。

具体做法包含两个主要的步骤，即：（1）根据光速不变原理，爱因斯坦修正了我们的时空观念；（2）利用狭义相对性原理，对所有物理概念和规律的表述形式做了简单直接的修正，以适应物理规律在所有的惯性系中具有相同形式的基本要求。

前3节复习基础物理中学过的相对论知识，并稍作扩充。

§7-1 相对论的实验基础

Michelson-Morley实验（1887）试图通过精确测定各个方向光速的差异从而确定地球在“以太绝对惯性系”中的速度。

如图6-1所示，设地球相对于“以太”的绝对速度沿的方向，则分别由和两反射镜回到目镜的两束光线时间差为

       

相应的光程差为

               

将仪器转动，应该观察到条纹移动数目为

              

但实验并没有观察到预计的结果。

§7-2 相对论的基本原理

光速不变原理：光在真空中的传播速度恒定为。

换言之，真空中的光速在一切惯性参照系中具有相同的速度，并且不依赖与光源的运动速度。

 

狭义相对性原理：物理规律在所有惯性系中具有相同的形式。

换言之，没有物理实验可以确定一个惯性参照系的绝对速度。

 

在一切惯性参照系中，任何两个物理事件的间隔

为不变量。

Lorentz变换

可以保证间隔的不变性。式中Lorentz因子定义为

 

例题2（Page198）：

 

§7-3 相对论的时空理论

以一个事件O的时空坐标为原点，根据间隔确定它与另一个事件P的关系

（1）类光间隔；

（2）类空间隔，两个事件绝对不可能互相影响；

（3）类时间隔；上半光锥内的P为绝对未来，下半光锥内的P为绝对过去。所谓“绝对”是指不依赖于具体的惯性参照系的选取。

 

    事件P能够影响事件O的必要条件是P位于O的下半光锥内；事件P能够受到事件O的影响的必要条件是P位于O的上半光锥内。

 

    由Lorentz时空变换关系可以直接推导出速度变换公式

 

例题1（Page208）真空中的光速是一切速度的极限。

 

例题2（Page208）费索（Fizeau）实验。

 

§7-4 相对论的四维时空

Lorentz变换表明物理事件在不同惯性系中的时间和空间坐标互相影响，构成一个数学意义上的四维空间，即

相对论的四维时空也称为明可夫斯基时空（Minkowski space-time）。

物理事件与原点的间隔可以改写成

Lorentz变换的一般形式为

间隔是不变量意味着Lorentz变换为Minkowski空间的转动，而式是沿轴向的特殊Lorentz变换，可写成如下矩阵形式

其中速度因子。

问题1：作为Minkowski空间的转动操作，试证明它的转置矩阵正是逆矩阵，即

严格地说，三维空间中的标量、矢量和张量是根据它们各自在转动变换下的性质来分类的。类似地，四维空间中的物理量也可以根据它们在Lorentz变换下的性质分为标量、四维矢量和四维张量，即

（1）在Lorentz变换下不变的物理量称为Lorentz标量或不变量。例如两个物理事件的间隔

和固有时

都是Lorentz标量。

    （2）具有四个分量，且满足变换关系

的物理量为四维矢量。

（3）具有共16个分量，且满足变换关系

的物理量为（2阶）四维张量。

在Lorentz变换下具有确定的变换性质的这些物理量，称为协变量。

 

问题2：试证明四维速度

为四维矢量。它与通常意义上的速度

的关系为

 

问题3：讨论平面电磁波相位的标量特性，并论证波矢和频率构成四维波矢量

再由此讨论光的Doppler效应和光行差现象（Bradley，1728）。

 

注：相对性原理要求一切物理规律的方程具有协变性。

§7-5 电磁规律的协变性

为了确保电磁规律的协变性，要求深入讨论Maxwell方程组所涉及的物理量，例如，，和的变换性质。

 

（1）四维电流密度矢量

电子的电量是不变量，即基本电荷，所以电荷密度的变化反比于微分体积元的变化，即

电流密度的变化为

可以定义四维电流密度矢量

它与四维速度矢量具有相同的变换性质，因为根据和两式，我们有

由四维电流密度矢量和四维空间矢量可以将电荷守恒的连续性方程表示为协变方程，即

 

（2）四维势矢量

第5章已经证明，在Lorentz规范下

矢势和标势的Maxwell方程组为也称为d’Alembert方程，即非齐次波动方程

定义算符

可以紧凑地写作

若定义四维势矢量

可以得到协变方程

 

问题1：试证明如下四维Laplace算符为是Lorentz标量

 

（3）电磁场张量

定义反对称2阶四维张量

直接计算可以证明

Maxwell方程组的四个方程可以写成更加明显的协变形式

问题2：验算式中的各个方程。

 

问题3：利用张量变换关系

可以导出沿轴以速度运动的令一个惯性系中的电磁场

 

问题4：电磁场的变换关系式可以改写为更紧凑、更普遍的形式

 

问题5：讨论非相对论极限下电磁场变换关系

的物理意义。

 

问题6：（例题P221）确定匀速运动的带电粒子产生的磁场。

 

问题7：（Q F Sun et al, Phys. Rev. B 69, 054409 (2004)）确定匀速运动的磁偶极子产生的电场。

 

§7-6 相对论力学

如何修正粒子的质量、能量和动量等经典物理概念，才能保证力学规律的协变性，即动力学方程在Lorentz变换下的不变性？

 

能量-动量四维矢量

其中为粒子的静止质量，为粒子的固有速度，是典型的四维矢量。上式又可以改写为

其中三个空间分量简单地定义为

第四分量涉及粒子的总能量

利用能量-动量四维矢量可以构造不变量，给出我们在基础物理课程中讨论Computon效应时已经应用过的能量-动量关系

即

 

作用力四维矢量

其中

动力学运动方程的相对论修正形式为

其中作用力与四维矢量的三个空间分量的关系为

 

Lorentz力四维矢量

    利用电磁张量和四维速度矢量可以为带电粒子（荷电量）构造一个新的四维矢量

它的三个空间分量为

所以带电粒子在电磁场中的动力学方程为

适用于任何惯性参考系。

 

【例】（Page230）在忽略电磁辐射的近似下，讨论带电粒子在均匀恒定外磁场中的运动规律。

 

注：本教材第7章将考虑运动粒子的辐射场对其机械运动的影响。

§7-7* 电磁系统的拉格朗日量和哈密顿量

    引入电磁规律的拉格朗日形式（Lagrangian）和哈密顿形式（Hamiltonian）的两点主要理由：（1）可以在广义坐标下讨论问题，得到更普遍的结论；（2）可以直接推广过度到量子力学形式，用于研究量子力学问题。

注：参见朗道的《理论力学》，开始第1章就以力学规律的拉格朗日形式处理和讨论典型的力学问题。

 

拉格朗日形式

    分析力学已经证明可以将描述质点动力学过程的Newton第二定律改写为更加普遍的数学形式

其中和分别为描述粒子运动的广义坐标和广义动量，它们是Lagrangian中的独立变量。以保守力场中的质点为例，

若取，则动能函数和势能函数分别写作

拉格朗日方程式给出运动方程

正是牛顿第二定律直接给出的结果。

    考虑在电磁场中运动的粒子，可以推导出相应的Lagrangian为

并且

为Lorentz不变量。所以作用量

也是不变量。

 

问题8：试由的Lorentz不变性确定带电粒子Lagrangian的形式。

 

哈密顿形式

独立于拉格朗日形式，分析力学的另外一个普遍形式为哈密顿力学。与广义坐标对应，可以定义广义动量

它也称为广义坐标的正则动量。可以定义系统的Hamiltonian如下

规定它为和的函数，即，则与拉格朗日运动方程对应的正则方程为

    根据式可以推导出电磁场中带电粒子与坐标共轭的正则动量为

此处需要特别注意正则动量不同于它的机械动量。还可以推导出四维正则动量

其中Hamiltonian满足

其非相对论极限正是我们在量子力学Schrodinger方程中熟知的

量子力学的坐标-动量对易关系是广义坐标与其共厄正则动量的对易关系，即