解放军文职招聘考试第二章 质点动力学

 第二章  质点动力学

一、基本要求
1、进一步全面深入地理解牛顿运动定律的内容，明确牛顿运动定律的适用范围；
2、确切理解力和惯性这两个重要概念，掌握分析物体受力的方法和隔离物体法；
3、弄清运动学与动力学的相互依赖性，并能熟练地应用牛顿运动定律解答质点动力学问题。
二、基本概念和规律
1、牛顿运动定律
牛顿第一定律：任何物体都保持静止或匀速直线运动状态，直到其他物体作用的力迫使它改变这种状态为止。
牛顿第二定律：在受到外力作用时，物体获得的加速度与合外力的大小成正比，与物体的质量成反比，加速度的方向与合外力的方向相同。即

牛顿第三定律：两个物体间的作用力和反作用力总是大小相等，方向相反，且沿同一直线上。即

值得指出的是：
1）牛顿第一定律科学地说明了力学中的两个重要概念：
一个是惯性：它是指任何物体都具有保持原来运动状态不变的特性。惯性是物体的固有属性，它的存在与物体的运动状态无关。物体的质量是物体平动惯性的量度。
一个是力：力是物体间相互作用，它是改变物体运动状态（即产生加速度）的原因。这从力的起源和力的效果上肯定了力的概念。而牛顿第三定律又进一步阐明了力的性质，即力总是成对出现的，作用力和反作用力是同一性质的力。因牛顿运动定律分别从力的起源、效果（产生加速度或形变）和性质几个方面给力以科学的概念。
2）牛顿第二定律用数学语言这下量地描述了物体的加速度与其所受外力和质量之间的关系。同时说明了物体所受的合外力与其加速度是一种瞬时关系，而加速度正是质点动力学和运动学之间联系的桥梁。
3）牛顿第三定律更加明确地说明了力的起源和性质。力就是两个物体之间的相互作用。在谈到相互作用力的性质时，有作用力必有反作用力，且大小相等，方向相反，且属于同一性质的力。作用力和反作用力分别作用在两个不同的物体，不能互相抵消，能够相互抵消的一定是作用在同一物体，且沿同一直线上的等值，反向的两个力。作用力和反作用力无先后之分，它们总是同时产生，同时消失。
4）牛顿运动定律适用于作低速运动的宏观物体，这里的宏观物体实际上指的是质点。并且只在惯性系中成立。
2、物体的受力分析
1）力学中常见的力
a、万有引力：任何两个物体间都存在着相互作用的引力，力的方向是沿两个物体的连线方向，力的大小与两个物体的质量m1和m2的乘积成正比，与两物体之间的距离r的平方成反比。即

式中G0为万有引力常数，其值G0=6·67×10-11  N·m2·kg-2
上式中的“物体”，实际上指的是质点，即只有当两物体本身的大小比它们之间的距离r小得多时，万有引力定律才成立。
地面或地面附近物体的所受的地球引力称为重力mg，其中称为重力加速度，重力是已知恒力。
b、弹性力：两个相互接触的物体彼此发生相对形变时产生的力秒为弹性力。
弹性力产生的条件是：两上物体一要接触，二要看形变。
弹性力的方向永远垂直于两物体接触切面。
绳中张力，弹簧的弹力，接触物体互施的正压力，支持力都是弹性力。
c、摩擦力；相互接触的两物体有相对运动或相对运动趋势时，在接触面出现阻碍相对运动或相对运动趋势的力称为摩擦力。
摩擦力有三种：静摩擦力、滑动摩擦力和滚动摩擦力。我们只考虑静摩擦力和滑动摩擦力。
产生摩擦力的条件是：一要接触，二要有相对或相对运动趋势。
摩擦力的方向总是在两接触面的切线方向上，且总是跟物体相对运动的方向相反。
静摩擦力：相互接触的两物体相对运动趋势时所产生的摩擦力，记为f。
最大静座摩擦力，物体从静到动一刹那的静摩擦力，亦即静摩擦力的最大值。记为fmax。
0≤f0≤fmax
fmax＝μ0N
式中μ0是静摩擦系数，N为正压力。
滑动摩擦力：相互接触的物体有相对运动时，所产生的摩擦力。记为f
f＝μN
式中μ是滑动摩擦系数，在未特别指出时可认为μ0＝μ。
2）物体的受力分析
分析物体受力是研究力学问题之关键，亦是运用牛顿运动定律求解问题的基础。所谓分析物体的受力，就是分析所研究的物体都受到周围其他物体哪些力的作用。通常用“隔离法”，就是把所研究对象从周围物体中“隔离”出来，把周围物体作用在它上的力毫无遗漏地逐个画出来，作出受力分析图，画物体的受力分析图有四不准：不准不画、不准乱画、不准漏画、不准多画。
分析物体受力时，应从力的概念入手，明确是哪个物体作用在被研究的物体上，是什么性质的力。另外，还应结合物体的运动状态，即加速度进行分析，如物体的加速度为零，则物体所受的合外力也必为零。反之亦然，从而也可检验物体受力分析的正确与否，总之在受力分析图上正确地画出各力的大小、方向和作用点。
3、惯性系和非惯性系
1）惯性系：凡是牛顿定律成立的参照系称为惯性系。
2）非惯性系：凡是牛顿定律不成立的参照系，称为非惯性系。
在非惯性系中应用牛顿第二定律时，应引用惯性力的概念，即，此时牛顿第二定律为
式中m为研究对象（物体）的质量，是物体所受的牛顿力的合外力。是物体相对于非惯性的加速度。
在作匀变速直线运动的非惯性系中

式中为非惯性系相对于惯性系的加速度
在作为速转动的非惯性系中，物体相对于非惯性系静止时，

式中为物体所在位置时的向心加速度
an＝wr2
w为非惯性相对于惯性系转动的角速度，r为物体到转轴间的距离。
由此可见：
a、在惯性系中物体只受到牛顿力，在非惯性系中物体除受牛顿力外还受到非惯性力。在不同的非惯性系中，同一物体所受的非惯性力不同，而不同物体在同一非惯性系中所受的惯性力不同。
B、惯性力既是假设的力，又是真实的力。说惯性力是假想的力，这是根据牛顿运动定律中的力（即亦）的定义：力的产生、效果、性质三个方面来说的，惯性力只有受者，无施主；它也不属于力学中常见的弹性力、重力、摩擦力。说惯性力是真实的力，只是力产生的效果，即使物体获得加速度或产生形变来说的。
总之，从力的严格定义来看，惯性力是假想的力。引入惯性力只是为在非惯性系中求在质点动力学问题带来方便而已。
三、解题方法
1、质点动力学问题的分类
根据问题的性质（即已知量和未知量的关系）质点动力学问题可分为三类：
1）已知物体的质量和运动规律，求作用在物体上的力。
若直接给出物体的加速度，直接应用公式求作用力。若给出的是物体的运动规律，只需将运动方程微分，求出加速度，再应用牛顿第二定律，求作用力。
2）已知物体的质量和作用在物体上的力，求物体的运动规律：如物体在某时刻的位置、速度、加速度等。
这首先应根据牛顿第二定律列出运动微分方程，若求加速度直接对应运动微分方程进行代数运算即可求之。若求位置、速度，还要根据初始条件对运动微分方程积分。若力是恒力，易于积分，我们经常遇到的是这种情况。若力是位置或是时间或是的函数积分就比较复杂，需要较多的数字知识。
37、已知物体的运动规律和所受的力，求物体的质量。
这是求质量的一种方法，如求粒子的荷质的问题就属于此类问题。
求解质点的动力学问题。无外乎首先列出运动微分方程，解运动方程，而列出运动微分方程是物理问题，是问题的核心。解运动方程是数学问题，但也不容忽视，否则“为山九仞，功亏一簧”，不然问题终究不能彻底解决。
2、运动牛顿定律的解题步骤
1）弄清题意，明确问题
根据问题的性质和计算方便，确定研究对象分析其物理过程的特点，即有无加速度。明确哪些是已知量待求量。
2）隔离物体、分析受力
必须正确地画出受力分析图，这一步是解题的关键是应用牛顿第二定律列方程的依据。
3、建立坐标，列出方程
牛顿第二定律是矢量式，在具体运算中应建立坐标系将矢量的运算变成标量运算。如在二维直角坐标系中

变为
Fx＝max
Fy＝may
在自然坐标系中变为
FV＝mav
FN＝man
坐标系应建立在惯性系上，其选取要根据问题的性质和计算方便来考虑。常将坐标系一轴选在所研究物体的加速度方向上。
应用牛顿第二定律，根据受力分析图列方程时，有多少个未知数量，就应列多少个方程。若所列出的方程数目少于未知数量的数目，则可由运动学和几何学的知识列出补充方程。
4）解方程组，求未知量，必要时进行讨论。
四、解题示例
例1、如图所示，质量分别为m1=100千克，m2=60千克的两个物体用绳跨过一滑轮，将它们联接，分别放在倾角а=30°、β=60°的三角形光滑斜面上，滑轮和绳的质量忽略不计。求：
（1）两个物体的加速度和绳中的张力；
（2）若两个物体与斜面间的摩擦系数μ均为0.25，求两个物体的加速度。
解：（1）分别取物体m1和m2为研究对象，所画受力分析图如例1图a所求。由于绳和滑轮的质量忽略，所以绳中的张力大小均为T，即T1＝T，又由于两个物体与斜面间无摩擦，所以可以事先假定两个物体的运动方向。设物体m1沿它的斜面向上，物体m2沿它的斜面向下运动，其加速度的方向与其它们的运动方向同，且它们加速度的大小均为a。
取加速度的方向为正方向，根据牛顿第二定律由受力分析图，可分别得
T－m1gsinа=m1a  （1）
Tm2g sinβ－T =m2a （2）
联它求解得

代入数据得
a＝0.12m·s-2
T＝502N
加速度a>0，表示我们假设的两个物体运动的方向与实际运动方向同反之则相反
（2）在有摩擦存在时，应首先制定两个物体的运动方向，由(1)间的结果可知，在有摩擦存在时，若两个物体运动，只可能是m1沿它的斜面向上，而m2沿它的斜面向下运动，其加速度设为a‘。
取加速度的方向为正方向，根据牛顿第二定律，由受力分析图C可得。
T－m1gsinа－Mm1gcosа=m1a‘
m2g sinβ－T －Mm2gcosβ =m2a‘
解得

代入数据得
a‘＝－1.8 m·s－2
加速度a‘<0表示两个物体不可能按我们假设的方向运动，但又不可能产生m1沿斜面向下m2沿斜面向上运动。数两个物体只有保持静止。
例2，在水平的桌面上有一质量M=1千克的板，板上放一质量m=2千克的物体。物体和板之间，板和桌面之间的滑动摩擦系数均为u=0.25，静摩擦系数均为u0=0.30。
(1) 以水平力拉板，物体与板一起以加速度a＝1m·s-2运动，计算物体和板以及板和桌面的相互作用力；
(2) 欲将板从物体下抽出，至少需用多大的力？
解：依题意作图如例2图所示
现分别将物体的m和板M取为研究对象，所画受力分析图如例2图a所示。
建立如图所示的坐标系，根据牛顿第二定律，由受力分析图，可分别得
(1) 物体m与板M间的相互作用力

板与桌面间的相互作用力f2=MN2
N2 = Mg＋
代入数据解得
f2 = 7.35N   N2 = 29.4N
(2) 欲使板从物体下抽出，必须使物体与板间产生相对滑动，为此，就必须克服物体与板间的最大静摩擦力fm，此时物体的加速度am为
fm=u0N1=u0mg=mam
2、将例2图b中的f1以fm，F以F1表示，由牛顿第二定律得
F`－fm－f2＝Mam
f2－uN2
N2－N1－Mg＝0 （N1=）
N1－Mg＝0
联它求解得
F`=(u+M1)(m+M)g
代入数据解得
F`＝16·17N
即要使板从物体下面抽出，须至少用的水平拒力F≥16·17N。
从解题中可看出：
在(1)间中求物体与板间的静擦力时，我们用公式f1=ma，而不是f1=M0N1，因此时的静摩擦力f1，并不是最大静摩擦力。另外，摩擦力的方向不是与物体运动方向相反，而是与物体相对运动或相对运动趋势的方向相反。
如果用水平外力拉板板未拉动，或物体和板一起作均速直线运动时，此时物体与板间的静摩擦力当然为零，而板与桌而的静摩擦与水平外力等值反向。
例3，如图所示，A为定滑轮，B为动滑轮，它们和绳的质量及滑轮轴上摩擦，均可忽略不计，m1=2千克，m2=1千克，m3=0.5千克。求：
(1) 每个物体的加速度；
(2) 每条绳上的张力。
解：分别取物体m1，m2，m3和动滑轮B为研究对象，画出受力分析图，如例3图(a)所示。建立铅直向下为其正方向，坐标原点取在定滑轮中心O点的直线坐标系，各物体的加速度均设铅向下，如例3图所示。
根据牛顿第二定律，由受力分析图可得：
m1g－T1＝m1a1  ①
m2g－T2＝m2a2  ②
m3g－T2＝m3a3  ③
T1＝2T2   ④
显然方程组中有5未知量，而只有4个方程，不能求得唯一的解，因此必须寻找其隔离体的其他物理量之间的关系。一般说来，对于多个隔离体问题，通常是找出它们加速度之间的关系。为此我们运动学的知识得出补充方程。
设在时刻t时，物体m1，m2，m3及动滑轮的坐标分别为x1，x2，x3及xB。令定滑轮A和动滑轮B的半径分别为R和r、m1到动滑轮中心的绳长为l1，m2和m3之间的绳长为l2。由例3图(a)不难得出
x1＝l1－πR－xB
x2＋x3＝2 xB＋l2－πr
由此得
x2＋x3＝2 l1＋l2－2πR－πr－2x1
两边同时对时间t求二阶导数得

即 
与方程组①、②、③、④联求解⑤，并代入数据计算，得
a1＝1.96 m·s－2 a2＝1.96 m·s－2  a3＝－5.58 m·s－2
T1＝15.68N  T2＝7.84N
a3<0，表示物体m3的运动方向铅直向上。
例4、质量各M的木块放在光滑水平面上，另一质量为m的物体沿斜面无摩擦地下滑，如图所示，斜面的倾角θ已知，求在下滑过程中：
(1) 两物体的加速度；
(2) 物体m对木块M所施的正压力。
解：解一，在惯性系中求解，分别将m、M取为研究对象，作受力分析图，如例4图a所示。坐标系建立在光滑水平面上。
根据牛顿第二定律，由受力分析图可得
－N1sinθ＝ma2x   ①
N1cos－mg＝ma2y   ②
N1sinθ＝ma1 （＝N1） ③
式中，为M的加速度设其方向为水平向右，为m的加速度方向未知，用其分量a2x、a2y表示。
以上方程组有四个未知量，但只有三个方程，不能求出结果。另一个方程可从运动学知识得到。
因物体m沿斜面下滑，m相对于M的加速度始终沿斜面方向，如例4图b所示，从图中可得
根据加速度的相对性，有
a2x=a1+a12x
a2y=a12y
由此可求得m和Ｍ之间加速度的关系
  ④
联求解方程①－④，可得

 

解法二：在非惯性中求解，设M的加速度，为水平向右运动，取M为参照系，m相对于M的加速度沿斜面向下，在非惯性系中，m和M除受牛顿力作用外，还受到惯性力作用，其受力分析图和所建立的坐标系如例4图C所示。
根据牛顿第二定律，由受力分析图可得

 

由以上方程组可求得和N1。
根据加速度的相对性，有

可得m的加速度，即绝对加速度
以上所得结果与解法一相同
分析N1的表达式，可以看出：
1）m对斜面的压力N1不等于mgcosθ。只有当时，N1=mgcosθ，这相当于M不动的情况。
2）当θ=0时，N1=mg，这相当于物体静止于光滑水平面的情况。
3）当时，N1=0，这相当于物体沿光滑铅直平下滑的情况。
例5，有一质量为m=4千克的物体以二轻绳系结在一竖直杆上，当物体以杆为轴旋转时，绳的状态如图所示。
(1) 欲使上方的绳有60N的张力，则此系统应以每分钟多少转旋转？
(2) 此时下方绳的张力是多少？
解：当物体以杆为轴旋转时，物体在水平面上作圆周运动。取物体m为研究对象，其受力分析图如例5图为a所示。在T1=60N时，系统的角速度为w。选取自然坐标系，并又规定竖直向上为正方向。
根据牛顿第二定律，由受力分析图可得
 ①
 ②
而 

由以上方程组联立解得
 （只取正值）

代入数据计算得
转
T2=11N
讨论：
1）当下方的绳刚伸直时，示T2=0时，从T2的表达式可知，此时的角速度。
2）当w=0时，相当于物体m静止时，从w的表达式可知，，而不等于mg，何故？其原因是当w=0时，T2=0，时，由②式可得T1=mg。
由此可见，成立的条件是：。而在时，由于 T2=0，由①式得。