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解放军文职招聘考试牛顿力学基本理论

来源: 2017-05-30 17:31
 第二章 质点动力学
    现在我们知道,我们可以用位置矢量来描述和确定质点的位置,用位置矢量的时间变化率即速度来描述质点的运动状态,用速度的时间变化率即加速度来描述质点运动状态变化的激烈程度。接下来的问题就是:物体为什么会运动?物体运动的原因是什么?物体运动有什么样的动力学规律?如何描述?在第一节,我们将介绍牛顿对物体运动动力学规律的总结,并给出数学处理解决物体动力学问题的途径;而在接下来的第二节,我们给出几种牛顿运动定律的运用实例;在第三节,我们将介绍力学中几种常见的力的作用形式;在第四节,我们还将专题性的初步讨论一类质点运动的问题,即质点的约束运动问题;第五、六、七节,我们将进一步研究物体运动过程中,诸如能量、动量、角动量等物理量所遵循的动力学规律,以完整地搭建起质点运动的动力学理论体系;在最后一节,我们将专题性的讨论有心力场中物体运动的动力学问题,这将涉及到万有引力场中行星运动的问题和α粒子的散射问题。
§2.1  牛顿力学基本理论
牛顿力学的基本理论是由牛顿的三个运动学定律组成的。
    10、牛顿第一定律
任何质点在不受外力作用时都将保持其运动状态不变,即质点将保持匀速直线运动状态或静止状态。
    20、牛顿第二定律
质点运动状态的改变所获得的加速度与其所受到的外力成正比,与其质量成反比。如以F代表质点所受到的外力,m代表质点所具有的质量,a代表质点运动状态的改变所获得的加速度,则即有
    F = ma                                                                      (2.1.1)
亦即                                                                       (2.1.2)
    30、牛顿第三定律
物体之间的作用总是相互的,其相互作用力总是大小相等,方向相反,处于物体间的连线上。
应用举例:P40例题1
    40、惯性参照系
      z       z’
                      S’
   S             
           o’    r’       P
         r0         r        y’
      o
          x’                 y
 x
图2.1,参照系S’相对于惯性系S作匀速直线运动,则系也是惯性系。
   能使牛顿运动定律成立的参照系称之为惯性参照系。理论和实验都可表明:任何相对于惯性系作匀速直线运动的参照系也是惯性系。这就是所谓的伽利略相对性原理。
    如图2.1,设有惯性系S,若另一参照系S’相对于S作匀速直线运动,则意味着组成S’系所有的点均相对于S系作匀速直线运动,S’系的坐标轴其方向不变。这样,可取两参照系的坐标轴如图2.1所示,而S’系的坐标原点o’相对于S系坐标原点o的位矢r0就有
          为常量                          (2.1.3)
相应地                                                                     (2.1.4)
现考虑一质点P受力F的作用,t时刻的位置如图1所示,相对于S系的位矢为r,相对于S’系的位矢为r’,有
        r = r0 + r’                                                                             (2.1.5)
这就是著名的伽利略变换。若质点的质量为m,则在S系中有牛顿第二定律
                                                       
而由(4)及(3)式,有
                                                                      (2.1.6)
这样代入(5)式就得
                                                                              (2.1.7)
(7)式正是在S’系质点所满足力学定律,其形式也就是牛顿第二定律的形式。这说明了S’系也能使牛顿第二定律成立,即任何相对于惯性系作匀速直线运动的参照系也是惯性系。
50、运动微分方程
质点所受到的作用力F一般是质点位矢r、速度和时间t的函数,即
                                                                (2.1.9)
由牛顿第二定律,质点的运动微分方程就为
                                                                       (2.1.10)
在笛卡尔直角坐标系下,质点的运动微分方程为
                                                            (2.1.11)

                                                             (2.1.12)
在平面极坐标系下,质点的运动微分方程为
                                                                (2.1.13)

                                                        (2.1.14)
在平面自然坐标系下,质点的运动微分方程为
                                                                (2.1.15)

                                                                          (2.1.16)
别的坐标系下的运动微分方程可类推出来。
§2.2 牛顿运动定律应用实例
10、力只是时间t的函数的问题
P31(周)
20、力只是坐标的函数的问题
P40(陕西),P35(周)
30、力只是速度的函数的问题
P32(周),P42(陕西)
40、一般性问题
阻尼振动P53(陕西)
§2.3  力学中常见的几种力
    10、万有引力
任意两个物体间总存在相互作用的引力,力的方向沿物体间的连线,大小与两物体质量的乘积成正比,与两物体间距离的平方成反比,即
                                                                    (2.3.1)
     m1
    r1
                r = r12
               F12
 
  o        r2          m2
  图2.2,质点m1对质点m2的万有引力为F12。
其中, (m3·kg-1·s-2),称为万有引力常数。若写成矢量形式,则质点m1对质点m2的万有引力F12为
                                     (2.3.2)
式中r12表示质点m2相对于质点m1的位置矢量(如图2.2),而负号表示F12的方向与r12的相反。
    20、重力
    重力是地球表面附近的物体由于地球的吸引而受到的竖直向下的力,其大小为
    F =mg                                         (2.3.3)
其中g称为重力加速度,与质量无关。在地球表面不同的区域,量值有点差异。一般大小约为9.8米/秒2。
由于物体所受到的重力主要是地球的吸引力,若物体的质量为m,地球的质量为M,地球的半径为R,则物体所受到的重力有
     
故重力加速度有
                                                                             (2.3.4)
由此可见,物体的重力加速度其数值与物体自身的质量无关。
例1,假设质点在地球的引力作用下运动,设地球的质量为、半径为,如果不计大气的阻力和地球自转的影响,求质点自地球外距地心处,沿质点与地心的连线方向以初速度离开地心的运动规律。
     M        m
     o        x        v       x
例1示意图
解:取地心为坐标原点,地心到质点的连线方向为轴的方向,质点受到的万有引力在质点与地心的连线上,在处的大小为
   
在地球表面有,
从而   
其中,负号说明质点受到的万有引力方向与的方向相反。由题意,显然质点只在地心到质点的连线方向上运动。设质点在处的速度为v,由牛顿第二定律就有
       
亦即   
   
于是可积分
       
就得到质点在位置时的运动速度关系
       
应用举例:P47例题2
    30、弹性力
两个物体直接接触时,如果物体发生形变,物体之间就产生一种相互作用力,并且在一定限度内,形变越大,力也越大,形变消失,力也随之消失。这种与物体形变大小有关的力,称为弹性力。弹性力的方向垂直于过两物体接触点的切面。
                                   x
             O       x
  图2.3,在弹性限度内,弹簧产生的弹性力与弹簧的形变量成正比。
物体受力的作用,必定要发生弹性形变。当把力撤出后,若物体能完全恢复到原来的形状,则这样的形变称为弹性形变。如果作用在物体上的力超过一定限度,物体就不能完全恢复到原来的形状,则这个限度称为弹性限度。
如图2.3,将弹簧水平放置,其一端固定,另一端连接物体。O点处为弹簧未发生形变时的位置,通常称为平衡位置。实验表明:在弹性限度内,弹簧产生的弹性力与弹簧的形变量成正比,即
                                 (2.3.4)
其中,k为弹簧的弹性系数,或称为倔强系数,x为弹簧的形变量,负号表明弹力的方向与形变的方向相反。
    40、摩擦力
当一个物体在另一个物体的表面上滑动或有滑动趋势时,两个物体的接触面上就会产生阻碍物体作相对运动的力,这种力就是众所周知的摩擦力。一般的摩擦力有下列几种类型:
          N
                    F
   f

图2.4,当静摩擦力增大到一定数值时,再增大拉力,物体将发生滑动,此时的静摩擦力为最大。
1、静摩擦力
    当物体有滑动趋势但商未滑动时的摩擦力称为静摩擦力。如图2.4,静摩擦力的大小与外力的大小相同,但方向相反。如果增大拉力F,静摩擦力f也增大。当静摩擦力增大到一定数值时,再增大拉力,物体将发生滑动,此时的静摩擦力为最大,且有
                                           (2.3.5)
其中,μ0称为静摩擦系数。
2、滑动摩擦力
当相互接触的两物体有相对滑动时,物体接触面间的摩擦力就称之为滑动摩擦力。实验表明:滑动摩擦力f的大小与物体间的相互压力N的大小成正比,即
  f                                f
 图2.8, 纯滚动时,轮缘与地面的接触点是不动点。
                             (2.3.6)
其中,μ为滑动摩擦系数。一般滑动摩擦系数要比静摩擦系数小一点。
3、滚动摩擦
当圆形的物体在一物体表面滚动时,其接触点处会有一种阻碍物体滚动的力,这种力就称为滚动摩擦力。一般滚动摩擦力要比滑动摩擦力小得多。
无滑动的滚动摩擦力实际上是静摩擦力。如考虑骑行自行车的前后轮运动,在纯滚动的情况下,轮子与地面的接触点既在轮缘上的,也在地面上。地面没动,该接触点也就速度为零静止。但对于后轮,它是主动轮。主动的转动使得轮缘与地面的接触点相对于地面有向后运动的趋势,从而地面对该接触点就有一个向前的作用力,这个作用力显然正好就是静摩擦力。
对于前轮,它是从动轮,整体被车身推着向前。在纯滚动的情况下,轮缘上与地面的接触点虽然速度为零静止,但相对于地面有向前运动的趋势,从而地面对该接触点就有一个向后的作用力,这个作用力显然也正好就是静摩擦力。
                   NB
             a
                  T           fB
     NA     T
          A    fA
                       mBg
           mAg
例2题图
例2,如图,物体和的质量分别为和,他们之间用轻绳连接,放在倾角为的斜面上,物体和与斜面间的滑动摩擦系数分别为和,且。试求两物体运动的加速度和绳中的张力。
解:如图,对于物体,在沿斜面和垂直于斜面的方向上,由牛顿第二定律,应分别有
                   (1)
                                                             (2)
同样对于物体,在沿斜面和垂直于斜面的方向上,应分别有
                                                        (3)
                                                                  (4)
由题意知,不可能大过,显然只有。而当时,应有。此时由(1)和(3)有
       
       
时,即为
       
于是    ,
而这与题设矛盾,故只能是=。这样,联立上述4个方程就可解得
       
        。
应用举例:P51例题3
§2.4 质点的约束运动
10、约束运动的基本概念
质点运动时,如果其位置或速度受到其它物体的限制和约束,则质点这时的运动称之为约束运动,限制或约束质点运动自由的物体称为约束物,而约束物体对质点运动自由的限制条件称为约束,其数学表示即为约束方程。如小金属环被穿在一根细铁丝上运动,小金属环的运动自由就被限制住了,被约束得只能在这根细铁丝上运动,而细铁丝的曲线方程即为约束方程。又如在某个固定曲面f(x, y, z) = 0上运动的质点,其运动自由被限制在该曲面上。该曲面方程f(x, y, z) = 0,即为约束方程。
毫无疑问,约束物对质点运动自由的限制是限制了质点沿某个向运动,因此,约束物体必然要受到质点对这个方向的作用力。反之,约束物体也要对质点施加反作用力,这种反作用力即称之为约束反力,简称约束力。
除了约束反力,一般的力对质点运动方向的自由没有限制,这种力就称为主动力
20、约束运动的动力学方程
一般质点运动所受到的外力可分为主动力F和约束反力R,故由牛顿第二定律,质点约束运动的动力学方程就为
                                                                      (2.4.1)
如前面具有阻力的媒质中作抛射运动,其运动微分方程就是这样的动力学方程。
在很多情况下,在自然坐标系中求解质点约束运动的动力学方程要容易些。此时,
                                                                 (2.4.2)
通常,在光滑曲面或曲线约束的情况下,,这样,问题就大大地简化了。(例,P62,陕西)
30、拉格朗日未定乘数法
如果质点受约束而平衡,那在很多情况下,可以用拉格朗日未定乘数法来确定质点所受到的约束反力。
1、设一质点被约束在一光滑曲面
                                                                    (2.4.3)
运动方程为
                                                                          (2.4.4)

                                                                       (2.4.5)
由于的方向为曲面的法线方向,则应有
                                                    (2.4.6)
若令比例常数为λ,则
                                                                          (2.4.7)
这样,约束反力就可表为
                                                                           (2.4.8)
故运动方程为
                                                                     (2.4.9)
如果质点由于约束而处于平衡状态,有
                                                                          (2.4.10)
即有
                                                                      (2.4.11)
从而联立方程(3)和(11),即可确定质点所处的平衡位置和待定常数λ。进而由(7)或(8),即可确定约束反力。这就是所谓的拉格朗日未定乘数法。
2、设质点光滑曲线的约束,曲线方程为
                                                                     (2.4.12)
其运动方程为
                                                                   (2.4.13)
其中和分别为曲面和对质点的约束反力,并分别沿曲面和的法线方向,应有
                                         (2.4.14)
于是质点的运动方程就为
                                                            (2.4.15)
其约束反力就为
                                                                        (2.4.16)
同样如果质点由于约束而平衡状态,有
                 
即有
                                                         (2.4.17)
则由曲线方程(12)和(17),可确定质点的平衡位置(x, y, z)和待定常数λ1及λ2五个量。进而由(16),可确定质点所受到的约束反力。
§2.5  功和能
    10、功和功率
为衡量力对质点移动的作用效果,可设t时刻质点所受到的力为F,dt时间内质点的位移为dr,则t时刻的dt时间内力F对质点移动的作用效果可由如下的点积衡量:
                                                                     (2.5.1)
并将之称为dt时间内,力F对质点所做的功。
若t时刻质点所受到的力为F,则质点从t1时刻的A(x1,y1,z1)点处运动到t2时刻B(x2,y2,z2)点处的过程中,力F对质点所做的功为
                                                (2.5.2)
同样的道理,t时刻瞬间力F对质点做功的快慢程度由如下所谓的功率来衡量:
                                                                        (2.5.3)
若将(1)式代入(3)式可得
       
即                                                                          (2.5.4)
应用举例:P61例题1
    20、能量
质点(物体)本身所具有的做功的能力称为质点(物体)所具有的能量。
    30、动能
          v
                f
          m

图2.5,质点受到一个与其运动相反恒定不变的阻力f的作用。
考虑一质量为m速度为v的质点受到一个与其运动相反恒定不变的阻力f的作用(如图2.5),质点将克服阻力作匀减速直线运动,其加速度为
   
从速度v到运动停下来,质点克服阻力所运动的路程为
       
         
而     
所用的时间就为
       
这样,质点克服阻力所做的功就为
     
这说明质量为m、速度为v质点具有做功的能力,也就是说具有的能量,这样的能量就称为动能,并记为
                                                                           (2.5.5)
    40、动能定理
我们知道,若t时刻质量为m的质点所受到的力为F,则质点从t1时刻的A(x1,y1,z1)点处运动到t2时刻B(x2,y2,z2)点处的过程中,力F对质点所做的功为
        
而由牛顿第二定律
       
这样   
注意到,并且,于是
       
即                                                        (2.5.6)
其中v1和v2分别是A、B两处质点运动的速度。这表明:外力对质点(物体)做的功,等于质点动能的变化,这就是所谓的动能定理。
    或者考虑t时刻的dt时间内,外力对质点所做的功为
       
即      dW=dT                                                                       (2.5.7)
这样动能定理就是:外力对质点所做的功等于质点动能的增量。
应用举例:P64例题2。
    50、势能的概念
考虑质量为m的质点,置于距地面高h的地方。今让其克服空气阻力下落至地面,则质点(在重力的作用下)将克服空气阻力做mgh的功。这说明,距地面高h地方的质点,本身在这个位置就具有了做功的趋势,具有了做功的能力,这种做功的能力称之为势能-重力势能,并记为
    V=mgh                                                                      (2.5.8)
          A
                    dr
       rA    r
               r+dr
                            B
     O                     rB
图2.6,物体在地球引力的作用下,沿任意曲线移动到B点。
一般来讲,如果质点(物体)处于一定的位置就具有一定做功的能力,则这种能力就叫做势能。
从势能的意义看,势能的大小与质点所处的位置有关。如前面所讲的重力势能,位于距地面高为h的质点,若要向地面下落,所具有的重力势能就为mgh,高度不同,重力势能就不同。不过若只向高为h’的桌面下落,所具有的做功的能力就只有mg( h-h’),这说明质点重力势能的大小不但与质点所处的位置有关,还与质点所要下落的那个位置有关,这个所要下落的位置叫做重力势能的参考位置。如倒过来,处于地面的质点,相对于高h地方的重力势能为-mgh。
常见的势能除了上面所讲的重力势能外,还有下列几种:
1、引力势能
设地球的质量为M,半径为R,在地球的表面外A点处有一质量为m的物体。若这物体在地球引力的作用下,沿任意曲线移动到B点(如图2.6),则地球引力对物体所做的功就为
                              (2.5.9)
这说明,处于A点的物体,本身就具有向B点移动做功的能力,这种能力称之为相对于B点的引力势能,而B点就是这引力势能的参考位置。若将参考位置B点选在无限远,即,则质量为m,位置为rB的物体所具有的引力势能就为
                                                                 (2.5.10)
                       xA        A
         x
              O   xB   B     
  图2.7, 处于A点的物体具有克服阻力向B点移动做功的能力。
2、弹性势能
如图2.7所示的弹簧,一端固定,另一端连接一质量为m的物体,其平衡位置取为坐标原点O。今将物体拉至位置A,让其在弹力的作用下向位置B运动,则物体在弹力的作用下将做功
       
                                    (2.5.11)
这说明,处于A点的物体,本身就具有向B点移动做功的能力,这种能力称之为相对于B点的弹性势能,而B点就是这弹性势能的参考位置。若将参考位置B点选在平衡位置,即xB=0,则质量为m,位置为x的物体所具有的弹性势能就为
                                                                           (2.5.12)
    60、力场和力函数
并不是每一种力都能使处于一定位置的物体就具有一定的势能,为了更严谨地研究这种与位置相关的势能和力的关系,我们先从力场的概念开始。所谓的力场就是:如果质点在某一空间区域的每一点均受到一定力的作用,则这样的空间区域就称之为力场。如果场力不但与质点所处的位置(r)有关,而且还与时间t有关,则这样的力场称为非稳定力场,此时
                                                                     (2.5.13)
    如果场力只与质点所处的位置(r)有关,则这样的力场称为稳定力场,此时
                                                                           (2.5.14)
在一稳定力场中,若存在一单值有限函数,使得
                                                     (2.5.15)

                                                                           (2.5.16)
则此单值有限函数u(x, y, z)称为该力场的力函数,此时
       
即                                            (2.5.17)
为一恰当微分,即全微分的形式。这样,
                                         (2.5.18)
即此时场力对质点所做的功只与质点所处的位置有关,而与质点所移动的路径无关。而这样的场力称为保守力,否则就是耗散力。相应地,这时的力场称为保守力场。
存在力函数的力场具有如下的性质:若一稳定的力场存在力函数,则在力场中,场力对任一闭合路径的积分一定为零,即
                                                                     (2.5.19)
这是因为如果力场存在力函数,则必有(17)式,即
       
对这存在单值有限力函数的力场中的任意两定点A和B,可有
       
或     
从而对任一过A和B两点的闭合路径,总有
       
反之,一稳定力场存在力函数的充要条件就是:对力场中任一闭合路径的积分为零,即
   
此时,由斯托克斯定理,
       
必有                                                                       (2.5.20)
也即,如果对一稳定力场中的任意一点,均有
       
则此力场必定存在力函数,使得
       
而此时的力函数为
                           (2.5.21)
其中,为力场中的某一定点。
    70、势能的定义
我们知道对于保守力场,一定存在力函数。若取一函数,使得
                                                           (2.5.22)
则在力场中,假定克服某种阻力将质点从A点移动到B点,则质点克服阻力所做的功为
                                           (2.5.23)
即                                                                        (2.5.24)
这表明质点对外做了的功,消耗了自己的能量,使得自身的能量减少,这种能量就是,我们称之为势能。
    80、机械能与机械能守恒定律
质点的动能和势能统称为机械能,即
                                                                  (2.5.25)
如果只有保守力对质点做功,一方面考虑到动能定理,保守力对质点所做的功为
   
另一方面,我们知道保守力对质点所做的功等于质点势能的减少,即
       
这样两式联立就有
                                                                        (2.5.26)
亦即                                                                          (2.5.27)
从而     E=常量
这说明:如果只有保守力对质点做功,则质点的机械能守恒,保持不变,这就是众所周知的机械能守恒定律。
也可以假设t1时刻质量为m的质点其速度为v1,势能为V1,位于A点处。经过一段时间后的t2时刻,速度为v2,势能为V2,运动到B点。如果在这运动过程中只有保守力做功,则由于机械能守恒,有
                                                         (2.5.28)
    90、功能原理
如果作用在质点上的外力有保守力和非保守力,则保守力所做的功为
   
而非保守力所做的功为设为,但由动能定理,外力对质点所做的功为
       
这样,非保守力所做的功就为
       
即                                                             (2.5.29)
这表明:非保守力对质点所做的功,等于质点机械能的增量。这就是所谓的功能原理。
同样假设t1时刻质量为m的质点其速度为v1,势能为V1,位于A点处。经过一段时间后的t2时刻,速度为v2,势能为V2,运动到B点。则在这运动过程中,非保守力对质点所做的功就为
                                                   (2.5.30)
§2.6  动量与动量定理
    10、冲量、动量与动量定理
为了衡量力F在dt时间内对质点的作用效果,可以用上一节所讲的功。但在撞击过程中,撞击力F在短促撞击时间dt内对被撞击物的作用效果,用功来衡量就意义不大了。为此,可考虑如下简单的物理量
    I = Fdt                                                                       (2.6.1)
作为衡量撞击力F在短促撞击时间dt内对被撞击物的作用效果。利用牛顿第二定律,(1)式就可化为
                                                               (2.6.2)
可取                                                                          (2.6.3)
这样我们发现:I这个物理量与p这个物理量直接相关。若以I=Fdt这个物理量来衡量力F在短促撞击时间dt内对被撞击物的作用效果,则这个作用效果等于p这个物理量在dt时间内的增量。注意到p=mv这个物理量直接与运动相关,所以我们可称之为动量,而I=Fdt物理量被称之为力F在dt时间内对质点的冲量。这样,而(2)式就称之为动量定理,即力F在dt时间内对质点的冲量等于质点在dt时间内动量的增量。
    实际上,上一节所讲述的功和动能等物理量以及动能定理,也是在如何衡量力F在dt时间内使质点有dr位移的作用效果所获得的,这里就不再回过头去赘述了。
    20、动量守恒定律
由动量定理(2)式可知:如果质点所受到的外力为零,则
    d(mv)=0
    mv=C  为常量
即如果质点所受到的外力为零,则质点的动量保持守恒不变,这就是质点的动量守恒定律。
对于单个质点来讲,动量守恒定律的意义不大。但如果考虑由若干质点组成的质点系,那整个体系动量守恒定律的意义就非同一般了,这可以参见下第四章,质点系动力学。
§2.7  角动量与角动量定理
    10、矢量矩、力矩和动量矩(角动量)
对于一空间矢量A,其大小、方向、起始点(作用点)为这矢量的三要素。为了能更完整地描述空间矢量及其效应,我们可定义如下的矢量矩:若矢量A的起始点相对于参考原点O的位置矢量为r,则定义A对O点的矢量矩为
                                                                       (2.7.1)
如力矩
                                                                            (2.7.2)
动量矩(角动量)
                                                                           (2.7.3)
    20、角动量定理
对于牛顿第二定律
   
以r叉乘之可得
       
注意到
     
故有
                                                                     (2.7.4)
即                                                                         (2.7.5)
这表明:质点对参考原点的角动量其时间的微商,等于质点所受到的外力对参考原点的力矩。这就是所谓的角动量定理。
30、角动量守恒定律
由质点的角动量定理可知:如果质点所受到的外力对参考原点的力矩为零,即
   
则                                                                     (2.7.6)
即此时质点对参考原点的角动量保持为常量,这就是所谓的角动量守恒定律。
§2.8  有心力与有心运动
10、有心力
若质点所受到的外力其作用线恒通过一定点,则这样的力称之为有心力,此定点称为力心。若有心力的方向恒指向力心,则为引力;若有心力的方向恒背离力心,则为斥力。
一般情况下,取力心为参考原点,在多数时候,有心力的大小是矢径的函数,即
   
或者
                                                                 (2.8.1)
而满足(1)式的空间区域称之为有心力场。
20、有心力的基本性质
(1)、只在有心力作用下的质点其角动量守恒。实际上由角动量定理
   
由于   
故质点的角动量,即守恒。
(2)、在有心力的作用下,质点恒在一平面内运动。这是由于质点的角动量守恒,即有
   
展开   
就有
       
分别以x,y,z乘之得
       
三式相加得
       
这表明质点运动的坐标保持在一平面上,即质点保持在一平面上运动。
(3)、有心力为保守力,质点的机械能守恒。实际上可以证明
当     
则必有 
即F为保守力,质点的机械能守恒。
    30、有心运动
取质点在有心力作用下运动的所在平面为xoy平面,力心为原点,并建立平面极坐标系,则由牛顿第二定律
(1)、质点运动的微分方程就为
                                                            
(2)、质点运动的角动量
                                        (2.8.4)
为常量,此时可令
                                                                              (2.8.5)
h也为常数,而
                                                                             (2.8.6)
称为速度矩。同样地由(2)式
                                                         (2.8.7)
也可以得到角动量守恒。
(3)、质点运动的轨道微分方程-比耐公式
令                                                                          (2.8.8)
则     
而由   
有     
注意到 
和     
代入到(1)式就得
       
即                                                          (2.8.9)
这就是质点运动轨道所满足的微分方程—比耐公式。
(4)、质点运动的机械能
势能:由于有心力场为保守力场,故可由
   
其势能为
                                                                   (2.8.10)
而其机械能
                                                           (2.8.11)
守恒。
    40、平方反比律有心引力
1、平方反比引力
取力心为参考原点,质量为m,距力心为r的质点所受到的平方反比引力可表为
                                                        (2.8.12)
其量值为
                                                                         (2.8.13)
其中k为常数。
2、质点运动的能量
若取无穷远处为零势能参考点,则由
   
积分   
得     
即质量为m,距力心为r远处的质点其势能为
                                                                     (2.8.14)
相应地,质点运动的机械能就为
                                                                    (2.8.15)
3、质点运动的轨道
若令
         
则     
代入比耐公式
       
得                                                                     (2.8.16)
其通解为
                                                            (2.8.17)
其中,A和为积分常数。若选取一定的基线,使得,则(6)式可化为
                                                         (2.8.19)
这就是质点运动的轨道方程。这说明在平方反比有心引力的作用下,质点的运动轨迹为圆锥曲线。其中

               b         r
         a         c      θ
                        o

图 2.8,椭圆的长短半轴长分别为a和b,焦点到中心的距离为c。
                                                     (2.8.19)
4、质点运动的轨道类型
(1)、e<1时,质点运动的轨道为椭圆。设椭圆的长短半轴长分别为a和b,焦点到中心的距离为c(如图7),则在近日点
 
            (2.8.21)
于是得
                                                                 
(2)、而
故                                                                   (2.8.20)
又在近日点
                                                                (2.8.21)
故质点的机械能
       
利用,就有
       
从而
                                                                       (2.8.22)
即质点的运动轨迹为椭圆时,e<1,E<0。反之,若E<0,则质点的运动轨迹为椭圆。
                       准
                       线
             r
               θ
           o   q             x

图2.9,质点运动的轨迹为抛物线的情形。
(2)、e=1时,质点运动的轨迹为抛物线。如图8,在近日点
                                  (2.8.23)
也即                
于是                           (2.8.24)
从而                                (2.8.25)
这样,质点的总能量
       
代入(1)和(3)就得
                                                                      (2.8.26)

         r                c       
           θ   
       o         a
 
图2.10,质点运动的轨迹为双曲线的一支的情形。
这说明,质点运动的轨迹为抛物线时,e=1,E=0,总能量为零。反之,若E=0,则质点的运动轨迹为抛物线。
(3)、e>1时,质点运动的轨迹为双曲线的一支。设该双曲线的实半轴长为a,焦点到中心的距离为c。如图9,在近日点

即                                                                 (2.8.27)
得                                                               (2.8.28)
从而                                                                  (2.8.29)
这样,总能量就为
       
         
即                                                                      (2.8.30)
这说明质点运动的轨迹为双曲线的一支时,e>1,E>0。反之,若E>0,则质点运动的轨迹为双曲线。
    50、牛顿万有引力定律的导出
1、开普勒行星运动三定律
开普勒在第谷和他自己多年对太阳系的行星观测数据的基础上,归纳
出了太阳系的行星运动三定律。
第一定律:行星绕太阳作椭圆运动,太阳位于椭圆的一个焦点上。即行星运动的轨道方程为
    .    e<1                                                       (2.8.31)
第二定律:行星和太阳之间的联线(即矢径)在相等的时间内扫过相等的面积。即
                                                                      (2.8.32)

           dθ    r
    o      θ
  M                    x
图2.11, 矢径r在dt时间内所扫过的面积为。
第三定律:所有行星绕太阳作椭圆运动周期的平方与轨道半长轴的立方成正比。即
  (对所有的行星,常数都相同)              (2.8.33)
2、牛顿万有引力定律的导出
牛顿考虑到:对一颗绕太阳运行的行星m,
若取太阳的位置为原点o,则矢径r在dt时间内所扫过的面积为
                                                                  (2.8.34)
而由开普勒第二定律,有
           为常量不变。                                          (2.8.35)
故此行星的角动量也为常量不变,保持守恒。由有心力的性质,这说明该行星所受之力无横向分量,作用线恒通过太阳,为有心力,力心为太阳。
又由开普勒第一定律,行星的运动轨迹为椭圆,应有
   
若令   
并代入比耐公式就可得
                                                                          (2.8.36)
其中,这说明行星所受之力为平方反比有心引力,方向恒指向太阳,其来源只可能来自太阳,即太阳对行星有平方反比有心引力的作用。
现假设该行星椭圆轨道的半长轴长为a,半短轴长为b,焦距为c,由开普勒第二定律
   
积分一周得
       
从而
       
          
而由开普勒第三定律,所有行星的与成正比,比例系数为常数,对所有的行星该常数都一样。因此,这常数对所有的行星都相同。进一步考虑,由于所有的行星所受到的平方反比有心引力来自太阳,自然这个常数就只与太阳本身有关,所以可令
                                                                           (2.8.37)
其中,M为太阳的质量。这样,行星所受到的太阳引力就为
                                                                        (2.8.38)
其中,常数G对所有的行星都一样。更进一步地推论:相距为r,质量分别为m1和m2的两物体之间也存在这样的引力,其大小为
        
其中,引力常数G对所有的物体都一样,这样就导出了万有引力定律。后来,卡文迪什用扭称测出的引力常数为
                                                      (2.8.39)
    60、人造天体的运动
从地球上抛射出去运动的物体,如果不回落到地面,这样的物体称为人造天体,通常称之为卫星。卫星要不回落到地面,有三个运动速度可以使之做到这一点。首先考虑受地球引力作运动的物体m,其能量守恒为
                                                                  (1)
其中,M为地球的质量。
若卫星在地球表面附近绕地球作近似的圆周运动(椭圆运动的一种),则其能量为
                                                                (2)
其中,R为地球的半径。若假设卫星作这样运动的速度为,则有
                                                                   (3)
考虑到在地球表面附近,有
                                                                      (4)
则(3)式可化为
       
从而得到从地球表面发射,能绕地球运转的人造卫星所需要的速度-第一宇宙速度
                                                               (5)
若需卫星刚能脱离地球的吸引,可认为卫星对地球作抛物运动,总能量为零。又考虑到卫星是从地面发射的,故可假设卫星在地球表面附近的运动速度为,于是有
   
从而得到从地球表面发射,能摆脱地球的吸引,成为一颗绕太阳运转的人造行星所需要的速度-第二宇宙速度
                                                            (6)
这说明,卫星在地球表面附近得以以上的速度,才能摆脱地球的吸引,成为太阳系内的一颗人造行星。
最后考虑太阳对一颗在地球公转轨道附近的人造天体m的作用。假设此人造天体相对于太阳的运动速度为v,则其能量为
                                                                  (7)
其中,,M0为太阳的质量,r为地球的公转轨道半径。若需该人造天体刚能脱离太阳的吸引,则可认为该人造天体相对于太阳作抛物运动,其总能量为零守恒,有
                                                                     (8)
利用(4)及(5)式就有
       
从而由(8)式得
                                               (9)
即在地球公转轨道附近的人造天体,得以此相对于太阳以上的速度运动才能摆托太阳的吸引。但考虑到这人造天体是从地球出来的,而地球本身已经具有了的速度,故可假设该人造天体从地球出来的速度为,应有
       
于是                                                         (10)
而实际上该人造天体是从地球表面发射的,发射时还得克服地球的引力使之达到的速度,以摆脱地球。若假设从地球表面发射的速度为,则在地球表面附近,由于能量守恒,应有
                                                                  (11)
利用(6)式的推导可得
       
从而得到从地球表面发射,不但能摆脱地球的引力,还能摆脱太阳的引力所需要的速度―第三宇宙速度
                                                        (12)
    70、平方反比有心斥力与α粒子的散射
如果质点受到的是平方反比有心斥力的作用,即
                                                                          (1)
则可令,代入到比耐公式
       
得                                                                        (2)
其通解为
                                                             (3)
或                                                              (4)
            r
          θ
   F                       x

图2.12,力心位于焦点处,而质点的运动轨迹为双曲线的另一支。
对于表达式(4),可化为
                          (5)
若令              (6)
并选取一定的基线使得,则(5)式可化为
                                   (7)
这也是一支双曲线,说明质点在平方反比有心引力的作用下,也作双曲线的运动,不过焦点在另一侧。
                             α
 
                           r
  v∞
       b                   φ θ
                       +Ze
图 2.13,换个角度来看粒子的散射。其中,b为原子核Ze到粒子入射线的距离。
现在我们考虑一带电量为+2e的α粒子(氦原子核)从很远的地方以速度射向一原子序数为Z、带电量为+Ze的某种原子核。取较重的原子核+Ze固定不动,α粒子所受到的库仑排斥力为
                          (8)
与(1)式比较,
                               (9)
现按图13中坐标系的选择,重新考虑比耐方程的解(3)式。
       
当时,,,则
                                                                              (10)
又取直角坐标系时,
                                                                             (11)
于是                                                     (12)
当时,设y=b,称b为瞄准距离。此时由于
       
从而                                                                              (13)
又α粒子经原子核+Ze散射远离后,可设此时的散射角为,相应地,,u=0。故此时
       
于是解的散射角为
                                                                 (14)
而由于角动量守恒,有
       
得     
这样,α粒子的散射角就为
                                                              (15)

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