解放军文职招聘考试第五章          刚 体 力 学(一）

 第五章          刚 体 力 学(一）
第五章 
  刚体是由许许多多质点组成的，可以说是质点组．但刚体又是一种特殊的质点组，它的特点在于：刚体的大小与形状始终不变，也即是刚体内任意两质点之间的距离保持不变．
    一个自由的质点有三个自由度，N个质点所组成的质点组，如果没有什么约束，显然有3N个自由度．而刚体由于内部任意两质点间的距离保持不变，却只有六个自由度：三个移动自由度，三个转动自由度．刚体还常受到一些约束条件的限制，例如转动轴是固定不变的等等．这样，它的自由度还会少于六个．
    刚体既然有六个自由度，它的一般运动就可以归结为六个运动方程．
刚体的质心遵守质心运动定理，这归结为三个分量方程
            （5. 1）
式中 是刚体受到的 方向的外力的和， 是整个刚体的质量． 是刚体的质心在 方向的加速度。 是质心在 方向的运动方程，同理，另外二个式子是 ， 方向的质心运动方程．
    除质心的运动以外，刚体还可以绕质心转动，这包括转轴通过质心而平行于 轴， 轴， 轴三个自由度．刚体的任意运动，可以看成是整个刚体随质心平动和绕质心转动的合成．
    刚体的转动遵守绕 ， ， 轴的动量矩定理
          （5. 2）
（5．2）式也可以用单个矢量式表示，即
      
其中力矩 ，动量矩 。
  这样，六个运动方程对应于刚体的六个自由度，刚体的运动情况就可以完全确定了．
  质心是刚体上很重要的一点，质心的质量就等于整个刚体的质量．质心的位置可用下面的积分式来求：
               （5. 3）
如果刚体有对称中心，则质心就在刚体的对称中心．
刚体的一般运动是很复杂的，我们限于讨论几种简单的运动。
（一）刚体的平衡
刚体处在平衡状态时,它既不平动又不转动。刚体的质心始终是静止的，加速度为零，刚体不转动，也就是它不论对那一轴线的动量矩都为零．所以以上六个方程成为
， ，      （5．4）
及    ， ，    （5．5）
也就是刚体所受的外力矢量和为零，外力的力矩和为零．
    有时，刚体的运动受到某些限制，也即是受有约束．这时，刚体的自由度小于六，解决这类刚体的平衡问题时，所需的方程数也少于六，只需用以上方程中的几个就能解决．但如要求出约束处的反作用力，则需应用全套六个方程才可解出．
    （二）刚体的平动
    刚体平动时，刚体中的任一根直线在运动过程中始终保持与自身平行．这时，刚体各质点的运动情况完全相同，任意取一质点研究，其运动就可以代表整个刚体的运动．显然，

图5-1
我们可以用质心的运动来代   表整个刚体的运动．
质心有三个自由度，它的运动
由质心运动定理确定，
       （5．6）
所以只要能肯定刚体作平动，刚体的运动也就归结为质心的运动．质点力学所研究的质点其实就是作平动的刚体的质心．

(a) 
(b)
 图5-2
 
 
 
 
 
 
 
    刚体在什么情况下作平动，可以用一个简单的实验来说明．有一根棒开始时静止在光滑水平桌面上，如果外力作用在棒的质心上，则这棒只做平动．如外力作用在棒的一端，则棒一面平动一面绕着质心在转动．类似的实验还很多，由实验结果知道，如果刚体原来静止，它所受外力有一合力，且合力的作用线通过质心，则刚体作平动，否则刚体一面平动一面绕质心转动．
    （三）刚体的定轴转动

图5－3
刚体作定轴转动时，整个刚体绕一固定的轴转动．在刚体作定轴转动时，其上各点的位移、速度和加速度是不相同的．但各点转过的角度却相同．所以在定轴转动中，应当用角度来描述刚体的运动．作定轴转动的刚体只有一个自由度．
    设刚体的角位移为 ，则角速度 ，角加速度为 。刚体上各点的速度与角速度的关系为
                  （5. 7）
切向加速度为
                  （5. 8）
法向加速度为
          （5. 9）
1．定轴转动的运动学
    刚体作定轴转动时，用微分法运算，可以从各时刻的角坐标求得角速度．再从角速度求出角加速度．反之，运用积分法运算，可以从各时刻的角加速度求得角速度，再从角速度求出角坐标．即
         （5. 10）
         （5. 11）
如果角加速度不随时间而变，是一个常数，则是匀变速转动．从式（5．10）及（5．11）可以积分求得 及 ，为了简单起见，可以令 ，则得
                （5. 12）
          （5. 13）
这就是大家所熟知的匀变速转动的表达式．
    2．转动惯量
    转动惯量是转动时惯性大小的量度，记为I，对于质点组 ，对于质量连续分布的刚体，上式变为下列积分，
                （5．14）
    平行抽定理
    刚体对某一轴线的转动惯量I，等于质心对于该轴线的转动惯量I0，再加上刚体对于通过质心而与前轴线平行的轴的转动惯量I ’，即
        （5．15）
它和质点组动量矩的式( 3．36）  对应，质点组的动量矩 也等于质心对该轴的动量矩 ，再加上质点组对于通过质心的平行轴的动量矩 ．
垂直轴定理
设有一平面物体，此平面取为 平面，过物体上任一点O作X，Y，Z轴，Z轴垂直此平面．相对Z轴的转动惯量 等于相对于X轴的转动惯量 与相对于Y轴的转动惯量 之和，
           （5．16）