解放军文职招聘考试相对论力学原理

 相对论

1 相对论力学原理

1.1时空

假设我在火车上，以速度U 相对你运动，你有你的参照系 (X, Y, Z) 和时钟记录的时间 t, 我有我的参照系(X’, Y’, Z’) 和时钟记录的时间t’，你的 XYZ 轴方向与我的 X’Y’Z’轴方向一致，速度 U沿Z-方向。我们都没加速，所以都是惯性参照系。

一事件(比如你打开门，你边上的人打了你一下，等等) 发生了。根据你的参照系和时钟，事件是在某地点(x, y, z) 和时间t发生的。根据我的参照系和时钟，该事件的地点为(x’, y’, z’) ，时间为t’.

为方便起见，让我们把事件的时间和地点用一个量来表述。
事件的时空矢定义为：在你的参照系, 在我的参照系。 c 真空中的光速，i为虚数，其平方为-1。
(时空矢的形式在不同的书里有些不同。ict 项有时以ct代替。)

根据经典物理，对于同一事件我俩的时空矢的关系如下 (Galileo变换)
.  (1)

例-1 你我测到的粒子速度

你测到一粒子的速度为V ，沿Z方向。求我测到该粒子的速度。

解:

考虑两个事件。你看到:
事件-1: 粒子在t = 0时位置在z = 0。
事件-2: 粒子在t = T 时位置在z = VT 。你测到的速度为 (VT – 0)/T = V。

根据Galileo变换，同样两个事件我看到的是
事件-1: 粒子在t’ = 0时位置在z’ = 0。(方便起见)
事件-2: 粒子在t’ = t = T 时的位置是z’ = z – ut。我测到的速度为
V’ = (z’ – 0)/t’ = (z – uT)/T = V – u。这就是通常见到的相对速度关系。

根据Einstein的相对论，时空矢的变换为：

  (2)

其中         (3)
用矩阵形式表达:

   (4)

简写为 , 其中  是 Lorentz变换矩阵，时空矢以四维矢量表示。

例-2 重返例-1，用Lorentz变换

用式(2) 经过一些简单代数运算的：。当 V 和 u << c时结果和例-1一致。

如果V = c，得V’ = c ，即光速不随参照系而变。

Einstein的两个假设:

The principle of relativity. The laws of physics apply in all inertial reference systems.相对性原理：所有物理原理在任何惯性参照系都成立。

The universal speed of light. The speed of light in vacuum is the same for all inertial observers, regardless of the motion of the source. 真空里的光速不随惯性参照系而变。

从式（2） 可导出一些有趣的相对论效应。其中之一是 t’ 与 x3有关，即时间与空间有关。比如在S有两个事件(x1, ict1) 和 (x2, ict2) 。 事件-2 在事件-1之后发生，因此 t2 > t1。在 S’, 该两事件发生的时间差为：.
如果, 则 为负数，即在S’看来, 事件-1在事件-2之后发生。

现在我们来看 x2 – x1 要多大才能使 S’里两事件的先后次序颠倒。既然 u 最大可到c, 可见如果 x2 – x1 > c(t2 – t1) 则两事件的先后次序可颠倒。 由于满足这一条件的两事件不可能有逻辑关联，即事件-2是由事件-1引发，因为两事件间的距离太大而相隔时间太短，就算事件-1发生后立刻发出光信号，在光信号到达事件-2的地点前事件-2已经发生了。而无逻辑关联的两个事件，哪个先发生也就无关紧要了。

1.2 原时

不变量：，即：
(练习: 利用Lorentz变换验证，只需代数运算即可。) 此结果可理解为Lorentz变换只是把时空矢量转了一下，矢量的模（’长度’）不变。
考虑一以速度 u 相对你和实验室（惯性参照系S）运动的粒子。 在和粒子一起运动的惯性参照系S0，粒子的时空矢为X = (0, ic), 你看到的时空矢为。 X 与 以 Lorentz变换相连。 并有

现考虑过了一极小段时间时空矢的变化。在S0 里为dX = (0, icd), 在S里为 。
  (5)
原时的定义为。
从式(5)得 ,  (6)
实验室参照系中粒子的通常速度为。 原时d 是不变量。如果我在惯性参照系S’相对你和实验室S运动，我得到粒子的原时d 与你得到的是一样的。

Einstein的相对性原理要求所有物理原理在任何惯性参照系都成立。例如，如果在S里, 则在S’必须有。

如果有些物理定律，比如牛顿定律，不符合上述原理，则需将定律修改。但首先我们要确定除了时空外，其它物理量怎样转换。比如磁场，在S里看到，在S’里看到。 和 怎样转换?

1.3 其它4-矢

要转换物理量，一个方法是将它们造成4-矢，并令所有4-矢和时空矢一样跟从Lorentz变换。
速度4-矢  (7)

 是4-矢，因为 是4-矢，而d 是不变量。

动量 4-矢, 其中 m 粒子的静止质量。 静止质量是不变量。W 是 (被说成是) 粒子的总能量， =  mc2 （自己验证）。这就是有名的公式
能量 = Mc2
其中 M =  m是运动质量， 是修正后的动量。和经典的动量相比多了个因子 ，或可理解为动量仍是质量乘速度 ，但运动质量M =  m。

在粒子的参照系里，粒子一直是静止的，所以它的动量 4-矢为
, 粒子的静止能量为 W0 = mc2。
既然 是粒子在粒子的参照系里的动量 4-矢，是它在实验室参照系的动量 4-矢, 所以 。代入各量后可得：

W2 = (pc)2 + m2c4  (8)
其中 p 是粒子的动量。

粒子的动能为粒子运动时的能量与静止时的能量之差， KE = W(p) – W(p=0)。用式 (8) 得

KE =   (9).

当 pc << mc2, 式(9) 简化成 KE = 0.5p2/m, 回到经典力学的结果。

光子无静止质量，所以 W = pc。因光子的能量 W = hf, 其中 h Planck常数， f 是频率，因此光子的动量为 hf/c。

Lorentz变换 

事实上，所有4-矢都跟从Lorentz 变换。

例-3 有若干个粒子，它们的动量为{pj}，全沿Z方向，能量为 {Ej} 。 求粒子的总质心的速度。

解: 粒子的总动-能量4-矢为。 在总质心  参照系S’里粒子的总动量为0。因此的。现要找一Lorentz变换，使。由式(4) 将 x 和 ct 用和代替，我们得到, 即总质心的速度除c。

守恒定律：孤立系统的动能量守恒。

例-4 两粒子静止质量为 m 以速度 0.6c 迎头相撞。 撞后粘在一起。求撞后总质量 M。

解: 碰撞前后动量均为0。

碰撞前粒子能量为, 其中.
有能量守恒的，代入得 M = 2.5 m，多了0.5 m的质量由动能转化而来。

例 5 如图，一能量为 E0 的光子和一质量为m的静止粒子 (电子) 碰撞。碰撞后光子一偏角 射出，求光子能量E。

解: 设碰撞后电子的动量为 pe, 光子动量为 pp。利用动量能量守恒定律

沿Y-方向,  (i)
  (ii)
沿X-方向,  (iii)
碰撞前能量= E0 + mc2
碰撞后能量 =
能量守恒= E0 + mc2.  (iv)
上面四等式里有四个未知量: E, , pp, and pe，可解。用 (ii) 代掉(i) 和 (iii)中的 pp, 由 (i) 和 (iii) 去掉，最后代掉 pe 得
.
转化成波长E = hc/，得 。
这就是有名的Compton 散射实验， 波长 ~ Å (X-光波段)。

动力学

, 其中   (10)

2  Doppler 效应

考虑平面波：在S里其表达式为
在S’里其表达式为，

相位因子必须是不变量， 因为如果在S里的某一时间地点 达到极大，则在S’里相应的时间地点  必须也是极大。注意与以Lorentz变换相连。

所以     (11)

这里是时空矢， 是新定义的波矢4-矢。由于式（11）要求为不变量，因此必须跟从Lorentz变换。这就是相对论Doppler 效应的来源。

.  (12)

相对速度 沿Z 方向。

由式(12)得： 
令  其中, e1, 2, 3 = cos(θ1, 2, 3) ，θ1, 2, 3 为  与 X, Y, Z 轴的夹角。特别注意：。

得： 

i)Doppler 效应  
 (13)
因此： 

ii)运动介质 (折射率 n 与速度有关)

由于     
在 S里： ,  在S’里： .
因此     (14),

其中  由Doppler效应式( 12)确定, 与 有关。

真空里, n = 1, 得 n’ = 1  => 真空里光速c 不变。

3 相对论电动力学

电流密度4-矢

  (15)
 是静止电荷密度。
 ，原因是Lorentz 长度缩短以及电荷守恒。

      (16)

例 6 在S里有一长直中性导线载有电流 I。 求在沿导线以速度u运动的 S’ 里导线上的电流和电荷密度。

解: 取适当坐标轴，在S里导线的电流密度4-矢为：。
在S’ 里导线的电流密度4-矢为：
可见在S’ 里导线带负电, 并产生电场。

例 7 匀速运动的点电荷
 在点电荷静止的S里，, 
在沿  方向运动的S’ 里， 
, ,
还要把  变成 , 
,  ,  (在 t = 0时刻)
因此 
另外：
得  。
注意要将场和坐标时间都转换。
, 

例 8 运动的均匀带电长直线
在直线静止的S里，, , 
在沿导线以速度u运动的 S’ 里，（因与运动方向垂直）。
 
但得， 和从安培定理得到的结果一致。