解放军文职招聘考试第一章 静电场的基本规律 本章导学

 第一章 静电场的基本规律
本章导学
（一）要求
  l、掌握静电场的基本概念，基本规律；掌握描述“场”和解决“场”问题的方法和途径
  2、明确电荷是物质的一种属性，阐明电荷的量子性和守恒定律：掌握电荷之间的相互作用规律
  3、掌握电场强度、电位这两个重要概念以及它们所遵循的叠加原理
  4、能熟练地计算有关静电学的有关问题
  5、演示实验：
（1）摩擦起电，电荷之间的相互作用，电荷的检验
（2）电力线的分布
（二）要点
  l、电荷
（1）摩擦起电
（2）电荷的相互作用
（3）电荷守恒定律
（4）电荷的量子性
  2、库仑定律
（l）点电荷
（2）库仑定律
（3）带电体之间的相互作用
  3、电场 电场强度
（1）电场
（2）电场强度
（3）电场强度的计算
（4）电力线
  4、静电场的高斯定理
（1）电通量
（2）静电场的高斯定理
（3）静电场的高斯定理的应用
  5、电位 电位差 静电场的环路定理
（1）静电场力的功
（2）电位能
（3）电位与电位差
（4）静电场的环路定理
（5）等位面
 *6、电场强度与电位的微分关系
（三）难点
  1、电场、电位和电能量等概念
  2、求解电场、电位分布的方法  

§1-1 电荷
一、静电现象
    物体有吸引轻小物体的性质叫带电，或说有了电荷。用摩擦的方法使物体带电叫摩擦起电。人们对电的认识是从摩擦起电开始的。
    自然界有两种电荷：正电荷和负电荷。由富兰克林提出，一直沿用至今的命名方法是：用丝绸摩擦过的玻璃棒所带的电荷叫正电荷，用毛皮摩擦过的橡胶棒所带的电荷叫负电荷。同种电荷相互排斥，异种电荷相互吸引。物体所带电荷数量的多少叫电量。
二、电荷守恒定律     
    电荷既不能创造，也不能被消灭，它们只能从一个物体转移到另一个物体，或者从物体的一部分转移到另一部分。即在一个与外界无电荷交换的系统内，正负电荷的代数和在任何物理过程中始终保持不变。这个规律叫电荷守恒定律，它是自然界的基本守恒律之一，也是物理学的一条基本定律。
三、电荷与物质结构
    物体是由分子、原子组成，而在正常状态下，原子中的质子数等于电子数，所以原子在电的方面呈中性。由中性原子组成的物体对外不显电性。原子失去电子就成为带正电的正离子，获得电子就成为带负电的负离子。当物体比正常状态获得更多的一些电子时，物体带负电；当物体比正常状态失去一些电子时，物体带正电。所以，从物质的微观结构来看，物体的带电过程，就是使物体中的正、负电荷分离、迁移的过程。

四、电荷的量子化
    密立根油滴实验发现，任何物体所带的电量都是某一个基本电荷量的整数倍，这种电量以一份份不连续方式存在的性质叫电荷的量子化。带有基本负电荷的粒子叫电子，它是自然界存在的最小的负电荷。带有基本正电荷的粒子叫质子（氢原子核），它是最小的正电荷。
    在今后的各章节中，我们只讨论宏观的电现象，而不涉及其微观本质。例如，我们把许多带电粒子组成的物体简单认为是带电体，而不涉及它们的结构。当我们说带电体带电量多少时，也不用去讨论电荷的量子化。
    当我们讨论静止带电体时，也不用去考虑其中带电粒子的微观运动情况。正如在力学中讨论物体的机械运动一样，不必涉及物体的微观
§ 1-2 库仑定律
 电荷最基本的性质就是它们之间有相互作用力（静止电荷之间的相互作用力叫静电力）。电荷之间相互作用力的基本规律叫库仑定律，它是法国物理学家库仑在1785年通过实际总结出来的点电荷之间相互作用的规律。
一、点电荷
    当带电体的线度比起它与其它带电体之间的距离小得多时，则称该带电体为点带电体，简称点电荷。它是一个抽象出来的理想模型，类似于力学中的质点、刚体。
二、库仑定律  库仑扭秤
    两个点电荷之间的相互作用力的大小与它们所带的电量和的乘积成正比，与它们之间的距离的平方成反比；作用力的方向沿它们的联线，同种电荷相斥，异种电荷相吸。

    设有电量为和的两个点电荷，它们之间的距离为。则两个点电荷之间有相互作用力，若对的作用力为，则对的作用力为，这是一对作用力和反作用力。由库仑定律，得

写成等式，得

    若以表示由指向的单位矢量，则库仑定律写成矢量形式

其中为比例系数，实验可得

令 ，称为真空中的介电常数。由上式可得

这样，库仑定律的矢量式可以写成

    若同号， ，与同向，为斥力；
    若异号， ，与反向，为引力。
   库仑定律是通过对宏观带电体的实验研究总结出来的规律，但它对质子、电子等微观粒子也适用。它是整个电磁学的基本规律，其地位作用非常重要。
三、静电力的叠加原理
1、点电荷情形
    设空间有三个点电荷，当 单独存在时，它对的静电力为；当 单独存在时，它对的静电力为。实验表明， 受到静电力的合力为
即：当几个点电荷同时存在时，它们对某一电荷的静电力，等于各点电荷单独存在时分别对该电荷静电力的矢量和，这一结论叫做静电力的叠加原理。它是独立于库仑定律的实验定律，因为它证明了两个点电荷之间的相互作用力不受周围电荷的影响。 
2、连续分布带电体情形
    设有一连续分布带电体

    因为我们可以把带电体分成许多足够小的小块，以致每一小块都可以看成是点电荷。这样，整个带电体就可以看成是许多点电荷的集合体。带电体中一点电荷元与另一点电荷的作用力为

整个带电体与点电荷的作用力为

§1-3 电场强度
一、电场
   存在于电荷周围的特殊物质叫电场。凡是有电荷的地方，周围就存在，即任何电荷都在自己的周围空间激发电场；而电场的基本性质是，它对处于其中的任何其它电荷都有力的作用，这个力叫电场力。

因此，电荷与电荷之间是通过电场相互作用的。
    电场虽然不象原子、分子组成的实物那样看得见，摸得着，但近代物理的发展证明，它具有一系列物质的属性，如具有能量、动量，能施于电荷的作用力等等，因而能被我们所感觉。因此，电场是一种客观存在，是物质存在的一种形式。电场只是普遍存在的电磁场的一种形式。电磁场的物质性在它处于迅速变化的情况下才能更明显地表现出来，这个问题到了电动力学才进行详细的讨论。本章只讨论相对于观察者静止的电荷在其周围空间激发的电场，即静电场。
二、电场强度矢量

1、定义
    对于电场中任一固定点，检验电荷所受电场力与检验电荷的电量的比值与无关，它反映了电场在点的性质。我们把它定义为电场强度矢量，简称场强，用 表示，即

定义：电场任一点的电场强度是一矢量，其大小是单位电荷在该点所受电场力的大小，其方向与正电荷在该点所受的电场力的方向一致。
    单位：牛顿/库仑（N/C)，伏特/米（V/m）。
    如果电场中各点场强的大小和方向均相同，这样的电场称为均匀场，其场强矢量是相互平行的直线
2、点电荷的场强
    在处有一点电荷 ，在 处放一检验电荷，点电荷 之间的相互作用力为

根据场强的定义, 点的场强为 
    当 时,点的场强沿矢径方向背离源点 ;当 时, 点的场强 沿矢径方向指向源点。
三、场强叠加原理
    设空间有一组点电荷，它们单独存在时对检验电荷 的电场力分别为 ， 则

根据场强的定义，得

式中 分别代表 单独存在时所激发的电场在点的场强。
结论：一组点电荷所激发的电场在任一点的场强，等于各个点电荷单独存在时所激发的电场在该点场强的矢量和。这个结论叫电场强度矢量叠加原理，简称场强叠加原理。
四、场强的计算
1、点电荷和点电荷系的场强
    点电荷     
    点电荷系    

例：求电偶极子的场强。
（1）连线延长线上点的场强
点电荷和 存在时在 点产生的场强大小为
(方向向右）
（方向向左)

合场强的大小为

因为 ，所以
(方向向右)
（2）中垂线上点的场强
     点电荷和 存在时在点产生的场强大小为

 

合场强的大小为

而
所以，合场强的大小为

由于 ，那么

    电偶极子的场强只与和的乘积有关，这一乘积反映电偶极子的基本性质，它是一个描述电偶极子属性的物理量。我们将 定义为电偶极矩，其中的方向是由指向。这样，电偶极子的场强公式可以写为:
    在延长线上：
在中垂线上：

2、电荷连续分布带电体的场强
（1）电荷的体分布
    设有一电荷连续分布的带电体，电荷体密度为,在带电体中取一体积元 ，则该体积元中的体电荷元为 ，它产生的场强为

由场强叠加原理，得整个带电体产生的场强为

（2）电荷的面分布
    设有一电荷连续分布的带电面，电荷面密度为 。在带电面中取一面积元，则该面积元中的面电荷元为 ，它产生的场强为

由场强叠加原理，得整个带电面产生的场强为

（3）电荷的线分布
    有一电荷连续分布的带电导线，电荷线密度为 ,在带电导线中取一线段元，则该线段元中的电荷元为 ，它产生的场强为

由场强叠加原理，得整根带电导线产生的场强为

 

§1-4 高斯定理
一、电通量
    设电场中某一点的场强为 ，取一面元 。 为面元法线方向的单位矢量， 为场强 与 之间的夹角。定义通过面元 的电通量为

    电通量的直观意义是： 表示穿过面元 的电力线的根数。
   当时， ，电力线从面元背面穿过 ；
   当 时， ，电力线从面元正面穿过 ；
   当 时， ，没有电力线穿过面元。
    对于任意曲面，其电通量为所有面元电通量的叠加，即
2
    对于闭合曲面，其电通量为

    闭合曲面整个空间分为两部分：内空间和外空间。指向曲面外空间的法线矢量称作外法线矢量，指向曲面内空间的法线矢量称作内法线矢量。规定外法线矢量为正。在电力线由里向外穿出曲面的地方，,在电力线穿入曲面的地方， 。 对于一个闭合曲面，往往既有穿进去的电力线，也有穿出来的电力线，穿进去的电通量与穿出来的电通量的代数和就是穿过整个闭合曲面的电通量。 
 
二、立体角
1、平面角
    任一平面角的大小都可以用"弧度"来量度，有
  

    当以不同的半径作圆时，角所对的弧长 与半径成正比，即
 
2、立体角
    在球面上取一面元 ，由它的边缘上各点引直线到球心，这样就构成一个锥面。这个锥面的顶角是立体的，称为立体角，用 表示。即
 
    因为整个球面的面积是，所以它所张的立体角是球面度。当以不同的半径作同心球面时，角所对的面元与半径的平方成反比，即
 

三、高斯定理
1、高斯定理的内容
    通过任意一个闭合曲面的电通量等于包围在该闭合面内所有电荷电量的代数和除以，与闭合面外的电荷无关。用公式表示，得

这个闭合面习惯上叫高斯面。闭合面内的电荷可能有正有负，电量的代数和指的是正负电荷电量的代数和。
2、高斯定理的证明
（1）单个点电荷包围在同心球面内
   设空间有一点电荷，其周围激发电场。以为球心，为半径作一球面为高斯面。则高斯面上各点场强的大小相等，方向沿矢径方向向外。在高斯面上取一面元，则通过的电通量为

通过整个高斯面的电通量为

（2）单个点电荷包围在任意闭合曲面内
    在闭合曲面内以为球心，为半径作一任意球面为高斯面。在面上取一面元 ，则通过 的电通量为

通过整个闭合曲面的电通量为

（3）单个点电荷在任意闭合曲面外
    以为顶点作一锥面，立体角为。锥面在闭合曲面上截取了两个面元, ，它们到顶点的距离分别为 ，则通过和的电通量为

即和的数值相等，符号相反，它们的代数和为零。而通过整个闭合曲面的电通量 是通过这样一对对面元的电通量之和，因而也等于零。

（4）多个点电荷的情形
     设空间同时存在个点电荷，其中在高斯面 之内，在高斯面之外。设面上任一点的场强为，由场强叠加原理，得

式中 是各点电荷单独存在时的场强。穿过面的电通量为

高斯定理是静电场的两条基本定理之一，它反映了静电场的基本性质：静电场是有源场，"源"即电荷。此外高斯定理不仅对静电场适用，对变化的电场也适用，它是电磁场理论的基本方程之一。

四、应用高斯定理求场强
1、均匀带电球壳的场强
    设有一半径为的球壳均匀带电，其所带电量为，求球壳内外的电场强度。
    解：（1）、球壳外的场强
    通过点以为球心、为半径作一封闭球面为高斯面。由于对称性，该面上场强的数值都相同，方向沿半径向外。应用高斯定理，得

所以

   （2）、球壳内的场强
    通过点以为球心、为半径作一封闭球面为高斯面。由于对称性，该面上场强的数值都相同，方向沿半径向外。应用高斯定理，得

所以

2、均匀带电球体的场强
    设有一半径为的均匀带电球体，其所带电荷的体密度为 ，求球体内外的电场强度。
    解：（1）、球体外的场强
    通过点以为球心、为半径作一封闭球面为高斯面。由于对称性，该面上场强的数值都相同，方向沿半径向外。应用高斯定理，得

所以

   （2）、球体内的场强
    通过点以为球心、为半径作一封闭球面为高斯面。由于对称性，该面上场强的数值都相同，方向沿半径向外。应用高斯定理，得

所以

3、无限大均匀带电平面的场强
    设有一无限大均匀带电平面，其所带电荷的面密度为 ，求带电平面的电场强度。
    解：经过平面中部作一封闭圆柱面为高斯面，其轴线与平面正交，底面积为 。令为两底面上的场强，则通过的电通量为 ，由高斯定理，得

所以

    若有两平行无限大均匀带电平面，其所带电荷的面密度为。可以证明，在两平行板中间，电场强度为

    在两平行板外侧，电场强度为

4、无限长均匀带电直导线的场强
    设有一无限长均匀带电直导线，其所带电荷的线密度为，求带电导线周围的电场强度。
    解：过直导线作一高为、截面半径为r 的封闭圆柱面为高斯面。根据电场轴的对称性，通过圆柱侧面的电通量为，通过圆柱底面的电通量为0。由高斯定理，得

所以

§1-5 电力线
一、电力线的定义

     在电场中描绘一些曲线，使曲线上每一点的切线方向与该点的场强方向一致，这样的曲线就叫电力线。
     为了既能表示场强的方向，又能表示场强的大小，在画电力线时，规定：使穿过垂直于场强方向面元的电力线的根数与该面元的比值（即电力线密度），跟该面元上的场强大小成正比，即

写成等式，得

     这样，我们就可以用电力线的疏密来形象表示电场中场强的大小，电力线密的地方场强大，电力线疏的地方场强小。通过垂直于场强方向面元的电力线根数为

由此可见，通过面元的电力线根数等于该面元的电通量。

二、电力线的性质

    1、电力线起于正电荷（或无限远处），终止于负电荷（或无限远处），在无电荷处不中断。
    2、电力线不会形成闭合曲线。
    3、任何两条电力线不会相交。
三、几种简单的电场的电力线
一、静电场力的功
1、单个点电荷的电场
    静止的点电荷位于点，在产生的电场中，把一检验电荷从点沿任意路径移到点，当移动一位移元时，电场力所作的元功为

总功为

    可见，电场力对检验电荷所作的功与路径无关，只与起点和终点的位置有关，并与检验电荷的电量成正比。
2、任意带电体系的电场
    设有一组点电荷，在它们所激发的电场中，将检验电荷由点移动到点，在此过程中电场力所作的功为

根据场强叠加原理

其中是单独存在时所激发的场强，所以

    结论：电荷在静电场中移动时，电场力所作的功只与该电荷的起点和终点位置有关，而与路径无关。

二、静电场的环路定理
    在静电场中取一任意闭合环路，将检验电荷从环路上任一点出发，沿移动一周又回到，电场力作功为

所以

即静电场中场强沿任意闭合环路的线积分恒等于零。这个结论叫静电场的环路定理，它说明静电场是保守力场（位场）。它是反映静电场规律的两条基本定理之一。

三、带电粒子在电场中运动时的功能关系

    若带电粒子在电场中运动时，除电场力外没有其它外力的作用，这时电场力使带电粒子加速（或减速），速度发生变化，因而动能发生变化。根据动能定理，电量为的带电粒子，从电位为的点移到电位为的点时，电场力作功为

而电场力作功等于动能的增量，即

即电位能的减少量等于动能的增量。上式可改写为

    这说明，带电粒子在电场中运动时，若除电场力外没有其它外力作用，则电位能和动能之和保持不变。这是涉及电位能时能量守恒定律的一种表现形式。

§1-7 电位 电位差
一、电位能
    静电场与重力场相似，是保守力场，所以可以在静电场中引入电位能的概念。当检验电荷在静电场中的一定位置时，具有一定的电位能；当检验电荷的位置改变时，电场力作功，电位能也随着改变。我们可用电场力所作的功来量度电位能的改变。
    设在静电场中，把一检验电荷从点沿任意路径移到点，电场力所作的功为。定义：电位能的减少量等于电场力所作的功。即

    其中，是在点时，与静电场所组成的系统的电位能；是在点时，与静电场所组成的系统的电位。电场力作正功，电位能减少；电场力作负功，电位能增加。
    若选点为参考点，即在点处电位能，则

    若选无限远处为参考点，在点处电位能为

二、电位
    检验电荷在静电场中点的电位能与成正比，但比值是一个与无关的恒量，它反映了静电场中点的性质，我们把它定义为电场中点的电位。
    若选点为参考点，即点处的电位，则

    若选无限远处为参考点，则点处的电位为

    电场中任一点的电位等于把单位正电荷从该点沿任意路径移动到无限远处时电场力所作的功。电场中任一点的电位也等于单位正电荷在该点的电位能。单位：伏特 。
    电位是一个标量，也是一个相对量，只有先规定某一参考点的电位为零，才能确定其它位置的电位。理论计算上通常取无限远处为参考点，令其电位为零；在实用中通常取大地的电位为零；在电子仪器中常取机壳或公共地线的电位为零。
    若电场中点的电位为，则在点的电荷的电位能为

三、电位差
    在电场中，当电荷从一点移动到另一点时，电场力所作的功决定于这两点的电位之差。电场中任意两点的电位之差叫电位差（电压）。两点的电位差为

上式表明，电场中任意两点间的电位差，等于把单位正电荷从点沿任意路径移动到点时，电场力所作的功。两点间的电位差也就等于单位正电荷在的电位能之差。单位：伏特 。
    在电场中把点电荷从点移动到点时电场力所作的功为

四、电位的计算

1、点电荷电场的电位分布

    点电荷产生的场强为

    根据电位的定义，电场中任一点P 的电位为

所以

    若q为正电荷，电位处处为正 ，距q 越近处电位U 越大；若q为负电荷，电位处处为负，距q 越近处电位U 越小。

2、均匀带电球面内、外的电位分布

    均匀带电球面内、外的场强分布为

        
    根据电位的定义，球面外一点P 的电位为

所以
    
    球面内一点的电位为

所以

五、电位叠加原理
1、电位叠加原理
    设空间有一组点电荷，其中有的是正电荷，有的是负电荷。电场中任一点P的电位为

由场强叠加原理，得

所以

    结论：一组点电荷在某点产生的电位等于各个点电荷单独作用时在该点产生电位的代数和。

2、点电荷系的电位

    由电位叠加原理，得点电荷系的电位为

3、电荷连续分布的带电体的电位
    将带电体分割成无限多个电荷元，每个电荷元产生的电位为

根据电位叠加原理，整个带电体产生的电位为

 

§1-8 带电粒子在电场中的运动
一、带电粒子在电场中的运动
    带电粒子在匀强电场中运动时，若初速度与场强方向平行，它的运动是匀加速直线运动，其加速度大小为 。若初速度与场强方向成某一角度，它的运动是类似于物体在重力场中的斜抛运动。若初速度与场强方向垂直，它的运动是类似于物体在重力场中的平抛运动，是x 轴方向的匀速直线运动和 y 轴方向的初速度为零的匀加速直线运动的叠加，在任一时刻，x 轴方向和y 轴方向的速度分别为

位置坐标分别为

    从上两式中消去t，得带电粒子在电场中的轨迹方程

    若带电粒子在离开匀强电场区域时，它在x轴方向移动了距离l，它在y轴方向偏移的距离为

    这个偏移距离h与场强E成正比，因此只要改变电场强度的大小，就可以调节偏移距离。带电粒子进入无电场区域后，将在与原来运动方向偏离某一角度的方向作匀速直线运动。可知

而

所以偏转角为

    示波管中，就是利用上下、左右两对平行板（偏转电极）产生的匀强电场，使阴极射出的电子发生上下、左右偏转。改变平行板间的电压，就能改变平行板间的场强，使电子的运动发生相应的变化，从而改变荧光屏上亮点的位置。
二、带电粒子在电场中运动时的功能关系
    若带电粒子在电场中运动时，除电场力外没有其它外力的作用，这时电场力使带电粒子加速（或减速），速度发生变化，因而动能发生变化。根据动能定理，电量为q的带电粒子，从电位为的a点移到电位为的b点时，电场力作功为

而电场力作功等于动能的增量，即

即电位能的减少量等于动能的增量。上式可改写为

    这说明，带电粒子在电场中运动时，若除电场力外没有其它外力作用，则电位能和动能之和保持不变。这是涉及电位能时能量守恒定律的一种表现形式。