解放军文职招聘考试玻尔兹曼分布律 - 物理应用

 玻尔兹曼分布律 - 物理应用
玻尔兹曼分布形成了分子运动论的基础，它解释了许多基本的气体性质，包括压强和扩散。玻尔兹曼分布通常指气体中分子的速率的分布，但它还可以指分子的速度、动量，以及动量的大小的分布，每一个都有不同的概率分布函数，而它们都是联系在一起的。

玻尔兹曼分布可以用统计力学来推导。它对应于由大量不相互作用的粒子所组成、以碰撞为主的系统中最有可能的速率分布，其中量子效应可以忽略。由于气体中分子的相互作用一般都是相当小的，因此玻尔兹曼分布提供了气体状态的非常好的近似。

在许多情况下（例如非弹性碰撞），这些条件不适用。例如，在电离层和空间等离子体的物理学中，特别对电子而言，重组和碰撞激发（也就是辐射过程）是重要的。如果在这个情况下应用玻尔兹曼分布，就会得到错误的结果。另外一个不适用玻尔兹曼分布的情况，就是当气体的量子热波长与粒子之间的距离相比不够小时，由于有显著的量子效应也不能使用玻尔兹曼分布。另外，由于它是基于非相对论的假设，因此玻尔兹曼分布不能做出分子的速度大于光速的概率为零的预言。

玻尔兹曼分布律 - 推导
麦克斯韦速度分布律是讨论理想气体在平衡状态中在没有外力场作用下分子按速度分布的情况。这时分子在空间分布是均匀的，气体分子在空间各处的密度是一样的。如果气体分子处于外力场(如重力场、电场或磁场)中，分子按空间位置的分布又将遵守什么规律呢？能有关。实际上，麦克斯韦已导出了理想气体分子按速度的分布，即在速度区间dvxdvydvz的分子数与该区间内分子的平动动能εk有关，而且与e－εk/kT成正比。据(9.29)式可得
玻耳兹曼把麦克斯韦速度分布律推广到气体分子在任意力场中运动的情形。在这种情况下，应考虑到分子的总能量ε＝εk＋εp，这里εk是分子的动能，εp是分子在力场中的势能。同时，由于一般说来势能随位置而定，分子在空间的分布是不均匀的，需要指明分子按空间位置的分布，即要指出位置坐标分别在x到x＋dx，y到y＋dy，z到z＋dz区间内的分子数或百分比，这里dxdydz叫位置区间，而dvxdvydvz叫速度区间。这样，一般讲来，从微观上统计地说明理想气体的状态时，以速度和位置表示一个分子的状态就需要指出其分子在dvxdvydvzdxdydz所限定的各个状态区间分子数或百分比。于是，玻耳兹曼得到理想气体在平衡态下的状态区间内分子的百分比为：

 

此式表明了在温度为T的平衡态下任何系统的微观粒子按状态的分布。显然，在某一状态区间的分子数与该状态区间的一个分子的能量ε有关，而且与e－ε/kT成正比。这个结论叫玻耳兹曼分布定律(又称玻耳兹曼分子按能量分布律)。e－ε/kT叫玻耳兹曼因子，是决定各区间内分子数的重要因素。在能量越大的状态区间内的分子数越小，而且随着能量的增大按指数规律急剧地减小。也就是说，据统计分布来看，分子总是优先占据低能量状态。这是玻耳兹曼分子按能量分布律的一个要点。
上式就是玻尔兹曼分布律的一种常用形式，它是分子按势能的分布律。 玻耳兹曼分布律是一个普遍的规律，它对任何物质的微粒(气体、液体、固体的原子和分子、布朗粒子)在任何保守力场中运动的情形都成立。[1]