解放军文职招聘考试狭义相对论（三）

                 

 

 

 

狭义相对论（三）

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

回顾：上节课的重点放在相对论长度收缩，相对论时钟延缓。固有长度最长，固有时间最短。
三、相对论动力学
相对论动力学的主要内容有：相对论动力学的基本概念—相对论质量、相对论动量以及相对论动力学运动方程。这部分还要推出一个重要的关系式——相对论质能关系。这是Einstein从狭义相对论获得的最大成就。
1、相对论质量表达式
在经典力学中，对不同惯性系，有三个绝对的物理量——。在任何参照系中对这三个物理量的测量值都是相同的。在狭义相对论中，对不同惯性系，也有两个绝对的观念：一是光速不变；二是物理定律形式不变。正是在这两个概念下，基本物理量长度和时间的度量变成了与惯性系有关的相对量了，固有长度最长，固有时间最短。那么另一个基本量物理量——质量又怎样呢？
两个静止的球，放到天平上称，具有相同的质量，现将其分别交给相对S系和S'系静止的两个观察者，对每一个观察者来说，这两个球的质量还相同吗？
根据Einstein相对性原理，物理定律在所有参照系中成立是确信无疑的，且具有相同的表现形式。那么动量守恒定律用不同惯性系中的时空坐标表达形式也不变；另：由物质不灭定律，一个孤立系统的总质量守恒也是无疑的。现设两观察者沿X方向的相对速度为，若S系观察者沿X方向以速度朝系投出球A，此时A球相对于S运动而相对于S'为静止。另一方面系的观察者沿-的方向以-的速度朝S投出球B，B球相对于S静止，而相对于运动。我们约定动球质量为，静球质量为，这样在两球碰撞前，S系的观察者看到的是动球A（）去碰静球B（）；而系的观察者看到的是动球B（-）去碰静球A（）。假定碰撞是完全非弹性的，碰撞后S系的观察者看粘连体的速度为，系的

观察者看粘连体的速度为。
取A、B小球为研究对象，碰撞前后总质量应守恒：
S系：(粘连体总质量)=（B球）+（A球）
碰撞前后动量也应守恒： （1）
即： （1）*
S '系：（粘连体总质量）=（A球）+（B球）（2）
        （2）
由（1）、（2）式知： 
由相对论速度变换式： （赵书P100—3.9）
 将式代入有：
     ,两边同除，再将（3）式代入，整理后得：
    =   （3）      
（3）式便是相对论质量的一般表达式。式中是两惯性系之间的相对运动（也是观察者相对于被测物体的运动），为物体相对观察者为静止时测得的质量，为物体相对观察者以速度运动时观察者测得的质量。
讨论：（1）在狭义相对论中，物体的质量不再是一个不变量，而是随速度的增加而增大。即质量与惯性系有关，它同长度和时间一样，也变成一个相对的物理量了。越大，越大，越大。
（2）当物体相对于观察者运动时，其质量随的增大而增大。我们用表示物体由于运动而增加的质量，称为动质量。称为静质量，是总质量。
（3）在经典极限下，，（3）式变成（即在任何参照系中测得物体的质量均相同），相对论质量表达式近似地过渡为经典力学中的质量，即：物体的质量与惯性系无关了。
（4）由（3）式知，对静止质量不为0的物体，当时，；当，变为虚数，所以静止质量不为0的物体速度不可能等于或超过光速。对于运动速度等于光速的粒子，如光子、中微子等，它们的静止质量只能是0（0/0在数学上是一个不定式）。
2、相对论动量表达式
实际计算表明，在狭义相对论中，如果动量仍然保留它在经典力学中的定义（质量不随物体的运动状态改变），那么动量守恒定律在Lorentz变换下就不能对一切惯性系都成立（程守珠教材122页有证明）。动量守恒定律是力学中的一个重要的基本定律，却不能与Einstein相对性原理相容，这表明在相对论中，或者是动量的经典定义必须修改，或者是中的“不随运动状态改变”的看法必须更改。理论分析和观察实验都证明，可以在形式上仍把动量写成，但考虑到相对论质量表达式（3），于是动量为：
          （4）
在（4）式定义下的动量，就可得到在相对论中满足相对性原理的动量守恒定律。这样得到的动量守恒定律在Lorentz变换下是保持不变的，且在的情况下，动量及动量守恒定律就还原为经典力学中的形式。（4）式表明，在狭义相对论中，物体平动运动量的大小与u不是简单的成正比的关系了。
3、相对论动力学的基本方程
与相对论中的质量与动量对应，相对论动力学基本方程——牛顿第二定律不能再取的形式，而必须按相对论质量或动量表达式，把牛顿定律写成：   (5)
（5）式中：因为合外力的变化可引起的变化，的变化又可导致的变化，对的求导实际上是复合函数的求导。可证明：（5）式满足相对性原理，即在Lorentz变换下是不变的。
对（5）式的讨论：
1）、（5）式应理解成：在狭义相对论中，物体所受的合外力等于相对论动量的时间变化率。
2）、在经典极限下，，相对论运动方程可过渡到经典运动方程。即：。
思考题：为什么无论使用多大的力，也不能把一个粒子从静止加速到等于或大于光速？（在经典力学中，力与加速度成正比， ，一个恒定的力会产生恒定的加速度，但是按（3）式，因为质量随速度增大而增大，所以一个物体在恒力作用下，不会有恒定的加速度，随着粒子速度的增加，不断减小，当，。因此无论使用多大的力，也不能把一个粒子从静止加速到等于或大于光速.
4、相对论质能关系
在经典力学中，一个速度为u的物体，其动能，按动能定理，物体的动能是使物体从静止开始运动到速度达到时合外力所作的功。即：。
在狭义相对论中，物体的动能怎么计算呢？
由Einstein相对性原理，动能定理在任何惯性系都成立。注意到相对论质量，有

 因为：，所以：由此得：
，代入
  最后得： = （6）
由（6）式知：也具有能量的含义（能量量纲）。其中为物体的静止能——它实际上是物体内能的总和，包括分子运动的动能、分子间相互作用的势能、分子内部各原子的动能和相互作用的势能，以及原子内部原子核内部和质子、中子内部各组成粒子间的相互作用能量等；称为物体的总能量，它是物体静能和动能之和。即

由此知：物体的相对论总能量E与物体的总质量成正比。即：
          （7）          
（7）式称为质能关系式，它是Einstein从狭义相对论获得的最大成就。对（7）式的讨论：
1）、质能关系式充分反映出物质的两个基本属性——质量和能量之间不可分割的联系。两者之间的关系只是相差一个常数因子。如果对（7）式微分：
即：如果一个物体的质量发生的变化，由上式知，物体能量也一定有相应的变化：。反过来，如物体的能量发生变化，那么它的质量也一定发生相应的变化。它说明：世界上没有脱离质量的能量，也没有无能量的质量。
2）、一个孤立系统的总能量是守恒的。（7）式告诉我们：总能量守恒也意味着总质量守恒，但不是静止质量守恒。物体系的总质量是相对于惯性系运动物体的质量与静止物体的质量之和。因为在总质量守恒的条件下，在系统内部进行的反应可以使静质量转化为动质量，静止能转化为动能，或者进行相反的转化，但孤立系统的总质量及总能量却是守恒的。
3）在经典极限下，相对论动能的过渡形式是：
，在经典极限下,当时，可有如下形式的级数展开式：，代入上式有：

由此知：经典动能表达式是相对论动能在经典极限条件下取的初级近似（第一项），所以经典动能定理只是在经典极限条件下的近似成立，而在一般情况下，应该用相对论质能关系。
例：静质量为M的静止粒子自发地分裂成三个静质量均为的碎片，它们的速度分别为和0，按照相对论，M与的关系为     。
解：取M为研究对象(即系统)，并以M为参照系，因为是自发地裂变，总能量守恒，由质能关系式，总质量也守恒：
（裂变前的质量）（裂变后的总质量）  
其中：，。
M与的关系为：
 
粒子高速运动时，其能量较高，在能量较高的情况下，微观粒子（如原子核、基本粒子）相互作用，导致分裂、聚合反应过程。反应前粒子的静质量和反应后生成物的总静质量之差，称为能量亏损。是例中能量亏损为：，能量亏损对应的能量叫结合能，也称原子能。原子能的利用使人类进入原子时代，导致了核电站的建立，原子弹的诞生。所以，建立质能关系式被认为是一个具有划时代意义的理论公式。