解放军文职招聘考试第七章 振动和波动

 第七章 振动和波动
§7-1简谐振动
简谐振动是最简单、最基本的振动，任何复杂的振动都可由两个或多个简谐振动合成而得到。我们的讨论就从简谐振动开始。
一、简谐振动的基本特征
1、平衡位置 在一个光滑的水平面上，有一个一端被固定的轻弹簧，弹簧的另一端系一小球，如图7-1所示。当弹簧呈松弛状态时，小球在水平方向不受力的作用，此时小球处于点o，该点称为平衡位置。若将小球向右移至点m，弹簧被拉长，这时小球受到弹簧所产生的、方向指向点o的弹性力f的作用。将小球释放后，小球就在弹性力f的作用下左右往返振动起来，并永远振动下去。
2、运动方程 为了描述小球的这种运动，我们取小球的平衡位置o为坐标原点，取通过点o的水平线为x轴。如果小球的位移为x，它所受弹性力f可以表示为
                                   (7-1)
式中k为所取轻弹簧的劲度系数，负号表示弹性力f的方向与位移的方向相反。如果小球的质量为m，根据牛顿第二定律，小球的运动方程可以表示为
                               (7-2)
将式(7-1)代入式(7-2)，得

或者改写为
                             (7-3)
式中                                                                      (7-4)
式(7-3)是小球的运动方程。这个方程显示了小球受力的基本特征，即在运动过程中，小球所受力的大小与它的位移的大小成正比，而力的方向与位移的方向相反。具有这种性质的力称为线性回复力。
 3、简谐振动 由运动方程可以解得小球在振动过程中位移x与时间t的关系。式(7-3)的解可以写为以下两种形式
                              (7-5)
或                                                               (7-6)
式中a和都是积分常量，在振动中它们都具有明确的物理意义，对此我们以后再作讨论。式(7-5)和式(7-6)在物理上具有同样的意义，以后我们只取式(7-5)的形式。
上面我们分析了由轻弹簧和小球所组成的振动系统作无摩擦振动的例子，这样的振动系统称为弹簧振子。弹簧振子的振动是典型的简谐振动，它表明了简谐振动的基本特征。从分析中可以看出，物体只要在形如 f = -kx的线性回复力的作用下运动，其位移必定满足微分方程式(7-3)，而这个方程的解就一定是时间的余弦(或正弦)函数。简谐振动的这些基本特征在机械运动范围内是等价的，其中的任何一项都可以作为判断物体是否作简谐振动的依据。但是，由于振动的概念已经扩展到了物理学的各个领域，任何一个物理量在某定值附近作往返变化的过程，都属于振动，于是我们可对简谐振动作如下的普遍定义：任何物理量x的变化规律若满足方程式

并且是决定于系统自身的常量，则该物理量的变化过程就是简谐振动。
二、描述简谐振动的特征量
振幅、周期(或频率)和相位是描述简谐振动的三个重要物理量，若知道了某简谐振动的这三个量，该简谐振动就完全被确定了，故称描述简谐振动的特征量。
1. 振幅 振动物体离开平衡位置的最大幅度称为振幅。在简谐振动

中，a就是振幅。在国际单位制中，机械振动振幅的单位是m (米)。
2. 周期
振动物体完成一次振动所需要的时间, 称为振动周期, 常用t表示；在1秒时间内所完成振动的次数, 称为振动频率, 常用表示。振动物体在2秒内所完成振动的次数, 称为振动角频率, 就是式(7-5)中的。显然角频率、频率和周期t三者的关系为
                               (7-7)
在国际单位制中，周期t、频率和角频率的单位分别是s(秒)、Hz(赫兹)和rad  s1(弧度/秒)。
3. 相位和初相位
在式(7-5)中的 t+称为简谐振动的相位，单位是rad (弧度)。在振幅一定、角频率已知的情况下，振动物体在任意时刻的运动状态(位置和速度)完全取决于相位 t+。这从下面的分析中会看得更清楚。将式(7-5)两边对时间求一阶导数，可以得到物体振动的速度
                         (7-8)
由式(7-5)和式(7-8)两式可以看出，在振幅a和角频率已知的情况下，振动物体的位置和速度完全由相位 t+所决定。我们已经知道，位置和速度是表示一个质点在任意时刻运动状态的充分而必要的两个物理量。相位中的称为初相位，在振幅a和角频率已知的情况下，振动物体在初始时刻的运动状态完全取决于初相位。在式(7-5)和式(7-8)中令t = 0, 则分别成为下面的形式
                                 (7-9)
式中x0和v0分别是振动物体在初始时刻的位移和速度, 这两个量表示了振动物体在初始时刻的运动状态, 也就是振动物体的初始条件。
4、振幅和初相位是初始条件决定的：振幅a和初相位，在数学上它们是在求解微分方程(7-3)时引入的两个积分常量，而在物理上，它们是由振动系统的初始状态所决定的两个描述简谐振动的特征量, 这是因为由初始条件(7-9)可以求得
                              (7-10)
例题：1、一个运动质点的位移与时间的关系为 m ,其中x的单位是m，t的单位是s。试求：(1)周期、角频率、频率、振幅和初相位；     (2)  t = 2 s时质点的位移、速度和加速度。

解 (1)将位移与时间的关系与简谐振动的一般形式
相比较，可以得到
角频率 s1, 频率 , 周期 , 振幅 ,
初相位 .
(2)  t = 2 s时质点的位移

t = 2 s时质点的速度

t = 2 s时质点的加速度

2、求图6-6所示振动装置的振动频率，已知物体的质量为m，两个轻弹簧的劲度系数分别为k1 和k2。
解 以平衡位置O为坐标原点，建立如图6-6所示的坐标系。当物体由原点O向右移动x时，弹簧1伸长了x1 ，弹簧2伸长了x2 ，并有

物体所受的力为

式中k是两个弹簧串联后的劲度系数。由上式可得
       
于是，物体所受的力可另写为

由上式可得
 
所以

装置的振动角频率为

装置的振动频率为
 
三、简谐振动的矢量图解法和复数解法
简谐振动可以用一个旋转矢量来描绘。在坐标系o-xy中，以Ｏ为始端画一矢量a，末端为Ｍ点，如图6-2所示。若矢量a以匀角速度绕坐标原点Ｏ作逆时针方向转动时，则矢量末端m在x轴上的投影点p就在x轴上于点o两侧往返运动。如果在t=0时刻，矢量a与x轴的夹角为，那么这时投影点p相对于坐标原点o的位移可以表示为

式中a为矢量a的长度。在任意时刻t , 矢量a与x轴的夹角变为t+, 则投影点p相对于坐标原点o的位移为

所以, 当矢量a绕其始点(即坐标原点)以匀角速度旋转时，其末端在x轴上的投影点的运动, 必定是简谐振动。图6-2(b)所描绘的曲线，是点p的位移与时间的关系曲线，称为简谐振动曲线。

 

 

 

 

 

 

以上是用一个旋转矢量末端在一条轴线上的投影点的运动来表示简谐振动，这种方法称为简谐振动的矢量图解法。这种方法以后在电学和光学中都要用到。
简谐量x还可以用复数来代表：若把一个复数表示为

              (7-11)

显然，简谐量x就是这个复数的实部，并且简谐量的振幅与复数的模相对应，简谐量的相位与复数的辐角相对应。若要对多个简谐量进行某种运算, 可以对代表这些简谐量的复数进行相同的运算, 在运算过程中，实部和虚部、模和辐角总是分别运算而不会相混，所得复数的实部就是这些简谐量进行该运算的最后结果。因此，简谐量的复数表示法也是常用方法。
例如，求振动速度和加速度，可以用复数进行运算。取位移的复数形式为

振动速度的复数则为

取速度复数的实部，就是振动速度的真正表示式

用同样的方法可以计算振动加速度

加速度的真正表示式为

由上面的计算可见，用复数来代表简谐量，运算过程也是十分简便的。
四、简谐振动的能量
从机械运动的观点看，在振动过程中，若振动系统不受外力和非保守内力的作用，则其动能和势能的总和是恒定的。现在让我们以弹簧振子为例，研究简谐振动中能量的转换和守恒问题。
弹簧振子的位移和速度分别由下式给出
x = a cos ( t+)  v = a sin ( t+)
在任意时刻，系统的动能为
                    (7-12)
除了动能以外，振动系统还具有势能。对于弹簧振子来说，系统的势能就是弹力势能，并可表示为
                     (7-13)
由式(7-12)和式(7-13)可见，弹簧振子的动能和势能都随时间作周期性变化。当位移最大时，速度为零，动能也为零，而势能达到最大值；当在平衡位置时，势能为零，而速度为最大值，所以动能也达到最大值。
弹簧振子的总能量为动能和势能之和，即

因为, 所以上式可化为
                          (7-14)
由上式可见, 尽管在振动中弹簧振子的动能和势能都在随时间作周期性变化, 但总能量是恒定不变的，并与振幅的平方成正比。
由公式

可以得到
                    (7-15)
上式明确地表示了弹簧振子中物体的速度与位移的关系： 在平衡位置处， x = 0, 速度为最大；在最大位移处，x = a, 速度为零。
例题3、长度为l的弹簧，上端被固定，下端挂一重物后长度变为l + s，并仍在弹性限度之内。若将重物向上托起，使弹簧缩回到原来的长度，然后放手，重物将作上下运动。
(1)证明重物的运动是简谐振动；
图6-7
(2)求此简谐振动的振幅、角频率和频率；
(3)若从放手时开始计时，求此振动的位移与时间的关系(向下为正)。
解

(1)以悬挂了重物后的平衡位置O为坐标原点，建立如图6-7所示的坐标系。因为当重物处于坐标原点O时重力与弹力相平衡，即

(1)
当重物向下移动x时，弹簧的形变量为(s + x )，物体的运动方程可以写为

将式(1)代入上式，得

即
. (2)
重物的运动满足这样的微分方程式，所以必定是简谐振动。
(2)令
, (3)
方程式(2)的解为
.  (4)
振幅可以根据初始条件求得：当t = 0 时，x0 = s，v0 = 0，于是

角频率和频率可以根据式(3)求得：

(3)位移与时间的关系：由 , 以及当t = 0 时，x0 = s，v0 = 0，根据式(4)，可以得到

由以上两式可解得

故有

例题4、量为10 g的物体作简谐振动，其振幅为24 cm，周期为1.0 s，当t = 0时，位移为+24 cm，求：
(1) 时物体的位置以及所受力的大小和方向；
(2)由起始位置运动到x = 12 cm处所需要的最少时间；
(3)在x = 12 cm处物体的速度、动能、势能和总能量。

解 首先根据已知条件得出位移与时间关系的具体形式。一般形式为

将 , , , 各量代入上式，同时，根据 时 ，求得 , ，于是得到简谐振动的具体形式为

(1) 物体的位置为

所受力的大小为

方向沿x轴的反方向。
(2)由起始位置运动到x = 12 cm处所需要的最少时间

题目要求最少时间，上式中应取正号。所以

(3)在x = 12 cm处

物体的速度为

物体的动能为

物体的势能为

所以物体的总能量

例题5、（6-9） 一个物体放在一块水平木板上，此板在水平方向上以频率作简谐振动。若物体与木板之间的静摩擦系数为0 ，试求使物体随木板一起振动的最大振幅。
解 设物体的质量为m，以平衡位置O为坐标原点建立如图6-8所示的坐标系。

图6-8
由于物体与木板之间存在静摩擦力，使物体跟随木板一起在水平方向上作频率为的简谐振动。
振动系统的加速度为

可见，加速度a的大小正比与振幅A，在最大位移处加速度为最大值

最大加速度amax对应于最大振幅Amax，而与此最大加速度所对应的力应小于或等于重物与木板之间的最大静摩擦力，物体才能跟随木板一起振动。所以可以列出下面的方程式

由以上两式可以解得使物体随木板一起振动的最大振幅，为

思考：若木板是在竖直方向以频率作简谐振动，则物体与木板一起振动的最大振幅为多少？

§7-2 简谐振动的叠加
 基本要求：
1、掌握在同一直线上的两个简谐振动合成的一般规律，特别是对于两个同频率简谐振动合成的物理图象和所得结论应熟练掌握，了解拍现象的成因和应用；
2、掌握两个互相垂直的简谐振动合成的一般规律，特别是对于两个同频率简谐振动合成的物理图象和所得结论应熟练掌握；

简谐振动是最简单也是最基本的振动形式，任何一个复杂的振动都可以由多个不同频率的简谐振动叠加而成。那么几个简谐振动是怎样合成一个复杂的振动的呢？一般的振动合成问题是比较复杂的，我们的讨论只限于简谐振动合成的几种简单情况。
在讨论了简谐振动的合成之后，将简要介绍一个复杂的周期振动是如何表示为多个简谐振动的叠加的，也就是振动的分解问题。
一、同一直线上两个同频率简谐振动的合成
设一个物体同时参与了在同一直线(如x轴)上的两个频率相同的简谐振动，并且这两个简谐振动分别表示为 x1 = a1 cos ( t+1)   x2 = a2 cos ( t+2)
既然两个简谐振动处于同一条直线上，我们可以认为x1和x2是相对同一平衡位置的位移，于是，物体所参与的合振动就一定也处于这同一条直线上，合位移x应等于两个分位移x1和x2的代数和，
即x = x1+x2 = a1 cos ( t+1) + a2 cos ( t+2)
现在让我们根据简谐振动的矢量图解法求物体所参与的合振动。上述两个分振动分别与旋转矢量a1和a2相对应，如图6-5所示。在初始时刻，这两个矢量与x轴的夹角分别为1和2。两个振动的合成反映在矢量图上应该是两个矢量的合成。所以，合成的振动应该是矢量a1和a2的合矢量a的末端在x轴上的投影点沿x轴的振动。因为矢量a1和a2都以角速度绕点o作逆时针方向旋转，因而它们的夹角是不变的，始终等于(21)。合矢量a的长度也必定是恒定的，并以同样的角速度绕点o作逆时针方向旋转。矢量a的末端在x轴上的投影点的位移一定可以表示为
x= a cos ( t+ )                              (7-16)
这显然就是物体所参与的合振动的位移。此式表示，在同一条直线上两个频率相同的简谐振动的合振动，是一个同频率的简谐振动。由图6-5可以求得合振动的振幅和初相位。合振动的振幅为
                       (7-17)
合振动的初相位为
                           (7-18)
由式(7-17)可见，合振动的振幅不仅取决于两个分振动的振幅，而且与它们的相位差(21)有关。下面根据相位差(21)的数值，讨论两种特殊情况。
(1) 如果分振动的相位差 21 = 2k，k = 0, 1, 2, …，那么从式(7-17)可得

这表示，当两个分振动相位相等或相位差为的偶数倍时，合振动的振幅等于两个分振动的振幅之和，这种情形称为振动互相加强，如图7-6(a)中的虚线所示；
(2) 如果分振动的相位差 21 = (2k+1)， k= 0, 1, 2, …，那么从式(7-17)可得

这表示，当两个分振动相位相反或相位差为的奇数倍时，合振动的振幅等于两个分振动振幅之差的绝对值，这种情形称为振动互相减弱，如图7-6(b)中虚线所示。
在一般情况下，相位差(21)不一定是的整数倍，合振动的振幅a则处于a1+a2 和 a1a2之间的某一确定值。
二、同一直线上两个频率相近的简谐振动的合成
设某物体同时参与了在同一直线(x轴)上的两个频率相近的简谐振动，并且这两个简谐振动分别为
x1 = a1 cos (1t +1 )
x2 = a2 cos (2t +2)
与上一种情况相同，物体所参与的合振动必然在同一直线上，合位移x应等于两个分位移x1和x2的代数和，即
x= a1 cos (1t+1) +a2 cos (2 t+2 )                    (7-21)
但是与上一种情况所不同的是，这时的合振动不再是简谐振动了，而是一种复杂的振动。

合振动的大致情况可以由图7-7产生：首先，我们用简谐振动的矢量图解法看一下这种振动的大致情况。两个分振动分别对应于旋转矢量a1和a2。由于这两个旋转矢量绕点o转动的角速度不同，所以它们之间的夹角随时间而变化。假如在某一瞬间，旋转矢量a1、a2和它们的合矢量a处于图7-7中细实线所示的位置，而在以后的某一瞬间，旋转矢量a1和a2分别到达a1和a2的位置，它们的合矢量变为a，如图7-7中粗实线所示。在这两个任意时刻，由于两个分振动所对应的旋转矢量的夹角不同，合矢量a和a的长度也不同，由合矢量所对应的合振动的振幅自然也不一样。由此我们可以断定，合振动是振幅随时间变化的振动。

 

 

 

 

 

在t时刻，旋转矢量a1和a2之间的夹角为[(21)t+(21)]，合矢量a的长度即为合振动的振幅，可以表示为
              (7-22)
由上式可见，合振动的振幅随时间在最大值 (a1+a2) 和最小值 a1a2之间变化。如果2>1，或者分振动的频率2>1，那么每秒钟旋转矢量a2绕点o转2圈，旋转矢量a1绕点o转1圈，a2比a1多转(21)圈。a2比a1每多转一圈，就会出现一次两者方向相同的机会和一次两者方向相反的机会，所以在1s内应出现(21)次同方向的机会和(21)次反方向的机会。a1与a2同方向时，合振动的振幅为(a1+a2)；a1与a2反方向时，合振动的振幅为a1 a2。这样便形成了由于两个分振动的频率的微小差异而产生的合振动振幅时而加强、时而减弱的所谓拍现象。合振动在1 s 内加强或减弱的次数称为拍频。显然拍频为
 = 21                                      (7-23)
另外，由三角函数的和差化积也可以求出相频：另外，我们还可以利用三角函数的和差化积，求出拍频。为简便起见，假定两个简谐振动的振幅和初相位分别相同，为a和 ，则式(7-21)可化为
                         (7-24)
在上式中，当1 和2相差很小时，(21)比1和2都小得多，因而是随时间缓慢变化的量，可以把它的绝对值看作合振动的振幅，这样，式(7-24)就是此合振动，即拍的数学表达式。由此式可见，合振动的振幅是时间的周期性函数。由于余弦函数的绝对值是以为周期的，所以振幅的周期是

故拍频为
                             (7-25)
与式(7-23)相同。
根据上面的分析所画出的拍现象的振动曲线，表示在图7-8中。
用两个频率相同的音叉可以很容易地演示拍现象：
三、两个互相垂直的简谐振动的合成
我们先来讨论两个互相垂直并具有相同频率的简谐振动的合成。设两个振动的方向分别沿着x轴和y轴，并表示为
                                  (7-26)
由以上两式消去t ，就得到合振动的轨迹方程。为此，先将式(7-26)改写成下面的形式
                            (7-27)
                            (7-28)
以cos 乘以式(7-27)，以cos乘以式(7-28)，并将所得两式相减，得
                        (7-29)
以sin乘以式(7-27)，以sin乘以式(7-28)，并将所得两式相减，得
                         (7-30)
将式(7-29)和式(7-30)分别平方，然后相加，就得到合振动的轨迹方程
                     (7-31)
式(7-31)是椭圆方程，所以在一般情况下，两个互相垂直的、频率相同的简谐振动合成，其合振动的轨迹为一椭圆，而椭圆的形状决定于分振动的相位差( )。下面分析几种特殊情形。
1. 或，即两分振动的相位相同或相反
这时，式(7-31)变为

即                                       (7-32)
在式(7-32)中，当 ，即两分振动的相位相同时，取正号；当，即两分振动的相位相反时，取负号。式(7-32)表示，合振动的轨迹是通过坐标原点的直线，如图7-9所示。当时，此直线的斜率为B/A (图中直线a)；当时，此直线的斜率为B/A (图中直线b)。显然，在这两种情况下，合振动都仍然是简谐振动，合振动的频率与分振动相同，而合振动的振幅为

2. ，即两个分振动的相位相差为/2或/2
这时式(7-31)变为
                                  (7-33)
此式表示，合振动的轨迹是以坐标轴为主轴的正椭圆，如图7-10所示。当= /2时，振动沿顺时针方向进行；当= /2时，振动沿逆时
针方向进行。如果两个分振动的振幅相等，即A=B ，椭圆变为圆，如图7-11所示。
3.两分振动的相位差不为上述数值
如果两个分振动的相位差()不为上述数值，那么合振动的轨迹为处于边长分别为2A(x方向)和2B(y方向)的矩形范围内的任意确定的椭圆。图7-12画出了几种不同相位差所对应的合振动的轨迹图形。
现在简略讨论一下两个互相垂直的、具有不同频率的简谐振动的合成情况。如果两个分振动的频率接近，其相位差将随时间变化，合振动的轨迹将不断按图7-12所示的顺序，在上述矩形范围内由直线逐渐变为椭圆，又由椭圆逐渐变为直线，并不断重复进行下去。
4.如果两个分振动的频率相差较大，但有简单的整数比关系
如果两个分振动的频率相差较大，但有简单的整数比关系，这时合振动为有一定规则的稳定的闭合曲线，这种曲线称为利萨如图形。图7-13表 示了两个分振动的频率之比为1:2、1:3和2:3情况下的利萨如图形。利用利萨如图形的特点，可以由一个频率已知的振动，求得另一个振动的频率。这是无线电技术中常用来测定振荡频率的方法。
5.如果两个互相垂直的简谐振动的频率之比是无理数
如果两个互相垂直的简谐振动的频率之比是无理数，那么合振动的轨迹将不重复地扫过整个由振幅所限定的矩形(2A2B)范围。这种非周期性运动称为准周期运动。
*四、振动的分解
从上节对两个简谐振动的合成的讨论中，已经看到，合成后的振动可能是简谐振动，而一般情况下则是复杂的振动。这就清楚地表明了，一个复杂的振动是由两个或两个以上的简谐振动所合成。由此，我们可以断定，一个复杂的振动必定包含了两个或两个以上的简谐振动。
先让我们看一个简单的例子。图6-14是周期分别为t和t/2 (或角频率分别为和2)的两个简谐振动合成的情形；图6-15是周期分别为t、t/2和t/3 (或角频率分别为、2和3)的三个简谐振动合成的情形。由合成的结果可见，在这两种情形下所得合振动都是周期为t的周期性振动。由此可以推断，若把有限个或无限个周期分别为t、t/2、t/3、… (或角频率分别为、2、3、…)的简谐振动合成起来，所得合振动也一定是周期为t的周期性振动。这就意味着一个周期为t的
任意周期性振动，必定包含了周期分别为t、t/2、t/3、… (或角频率分别为、2、3、… )的一系列简谐振动。既然如此，一个周期为t的任意周期性振动一定可以分解为周期分别为t、t/2、t/3、… (或角频率分别为、2、3、… )的一系列简谐振动，其中角频率为的简谐振动称为基频振动，角频率为n的简谐振动称为n次谐频振动。数学上的傅里叶级数理论确保了这种分解的可行性。傅里叶级数理论表示，一个以t为周期的周期性函数f(t) 可以展开为正弦或余弦函数的级数
                              (7-34)
式中= 2/t是函数f(t)的角频率，级数的各项系数an就是各简谐振动的振幅，而各n值就是各简谐振动的初相位，它们都可以由函数f(t)的积分求得。
将复杂的周期性振动分解为一系列简谐振动的操作，称为频谱分析：
例题1、(6-14) 一个质点同时参与两个在同一直线上的简谐振动： 和(式中x的单位是m，t的单位是s)，求合振动的振幅和初相位。
解 已知A1 = 0.05 m、 =  / 3、A2 = 0.06 m和2 = 2 / 3，故合振动的振幅为

合振动的初相位为
  
但是不能取 / 3，这是因为x1和x2是两个相位相反的振动，如果它们的振幅相等，则合振动是静止状态，如果它们的振幅不等，则合振动与振幅较大的那个振动同相位。在我们的问题中， ，所以合振动与x2同相位。于是，在上面的结果中，合振动得初相位只能取 ，即.
例题2、（6-16 在同一直线上的两个同频率的简谐振动的振幅分别为0.04 m和0.03 m，当它们的合振动振幅为0.06 m时，两个分振动的相位差为多大？

解 合振动的振幅平方可以表示为

所以

 

 

§7-3阻尼振动、受迫振动和共振
基本要求：理解阻尼振动、受迫振动和共振的一般规律
一、阻尼振动
以上我们所讨论的简谐振动是严格的周期性振动，即振动的位移、速度和加速度等每经过一个周期就完全恢复原值，但这毕竟只是一种理想情况。任何实际的振动都必然要受到摩擦和阻力的影响，振动系统必须克服摩擦和阻力而作功，外界若不持续地提供能量，振动系统自身的能量将不断减少。振动能量减小的另一种途径是由于振动物体引起邻近介质质点的振动，并不断向外传播，振动系统的能量逐渐向四周辐射出去。由于振动能量正比于振幅的平方，所以随着能量的减少，振幅也逐渐减小。
振幅随时间减小的振动称为阻尼振动。在以下的讨论中，我们只考虑由于摩擦和阻力引起的阻尼振动。
当物体在流体中以不太大的速率作相对运动时，物体所受流体的阻力主要是黏性阻力。黏性阻力的大小与物体运动的速率v成正比，方向与运动方向相反，可以表示为
                                   (7-35)
式中称为阻力系数，负号表示黏性阻力的方向总是与物体在流体中的运动方向相反。考虑了黏性阻力，物体的振动方程可以写为
                               (7-36)
令式(7-36)可以改写为
                            (7-37)
式中0称为振动系统的固有角频率，称为阻尼常量，它取决于阻力系数。上式阻尼振动满足的方程式。由于阻尼大小的不同，阻尼振动有三种情形：
在阻尼较小的情况下，2 02，式(7-37)的解可以表示为
                                    (7-38)
其中
                                        (7-39)
A0和为积分常量，可由初始条件决定。式(7-38)所表示的位移与时间的关系，可描绘成图7-17中曲线a所示的情形。由图可以看出，阻尼振动不是严格的周期运动，因为位移不能在每一个周期后恢复原值，也是一种准周期性运动。若与无阻尼的情况相比较，阻尼振动的周期可表示为
                                    (7-40)
可见，由于阻尼的存在，周期变长了，频率变小了，即振动变慢了。

a、欠阻尼
b、过阻尼
c、临界阻尼

 

二、受迫振动
在周期性外力作用下发生的振动，称为受迫振动。如机器运转时所引起的机架、机壳和基础的振动，扬声器纸盆在音圈的带动下所发生的振动，都属于受迫振动。引起受迫振动的周期性外力称为驱动力，它可以是简谐力，也可以是非简谐力。我们这里所要讨论的是在简谐力的作用下发生的受迫振动。
一个振动系统由于不可避免地要受到阻尼作用，振动能量不断减小，若没有能量补充，系统的运动将以阻尼振动的形式，逐渐衰减并停止下来。现通过驱动力对振动系统作功，不断对系统补充能量，如果补充的能量正好弥补了由于阻尼所引起的振动能量的损失，振动就得以维持并会达到稳定状态。设驱动力为 f cos t，则振动方程可写为

或者
                           (7-41)
式中，而和0的定义同前所述。方程(7-41)的解可以写为
                       (7-42)
式(7-42)表示, 受迫振动是由阻尼振动和简谐振动两项叠加而成的。第一项随时间逐渐衰减，经过足够长时间后将不起作用，所以它对受迫振动的影响是短暂的。第二项体现了简谐驱动力对受迫振动的影响。当受迫振动达到稳定状态时，位移与时间的关系可以表示为
x = a cos ( t)                            (7-43)
可见，稳定状态的受迫振动是一个与简谐驱动力同频率的简谐振动。
三、共振
式(7-47)表明，稳定状态的受迫振动振幅a与驱动力的角频率 有关，图7-18画出了与不同阻尼常量相对应的a- 曲线。由此曲线可以看出，当驱动力的角频率 与振动系统的固有角频率 0相差较大时，受迫振动的振幅a是很小的；当 接近0时，a迅速增大；当 为某确定值时，a达到最大值。当驱动力角频率接近系统的固有角频率时，受迫振动振幅急剧增大的现象，称为共振。振幅达到最大值时的角频率称为共振角频率。利用式(7-47)求振幅的极大值，并令变量 等于共振角频率r，可求得
图18
.(7-48)
可见，系统的共振角频率既与系统自身的性质有关，也与阻尼常量有关。
从图7-18还可以看出，阻尼常量越大，共振时振幅的峰值越低，共振角频率越小；阻尼常量越小，共振时振幅的峰值越高，共振角频率越接近系统的固有角频率；当阻尼常量趋于零时，共振时振幅的峰值趋于无限大，共振角频率趋于系统的固有角频率。图7-18所表示的共振角频率随阻尼常量的变化规律，都已包含在式(7-48)中；而共振时振幅的峰值随阻尼常量的变化情形，可以由式(7-47)和式(7-48)求得。在式(7-47)中令r，并将式(7-48)代入，可求得共振时振幅的峰值ar与阻尼常量的关系
                                  (7-49)
共振现象的研究，无论在理论上还是在实践上都有重要意义：共振现象的研究，无论在理论上还是在实践上都有重要意义。我们知道，构成物质的分子、原子和原子核，都具有一定的电结构，并存在振动。当外加交变电磁场作用于这些微观结构并恰好引起共振时，物质将表现出对交变电磁场能量的强烈吸收。从不同方面研究这种共振吸收，如顺磁共振、核磁共振和铁磁共振等，已经成为现今研究物质结构的重要手段。收音机、电视接收机的调谐，就是利用共振来接收空间某一频率的电磁波的。在设计桥梁和其他建筑物时，必须避免由于车辆行驶、风浪袭击等周期性力的冲击而引起的共振现象。当这种共振现象发生时，振幅可能达到使桥梁和建筑物破坏的程度。
例题1、试证明受迫振动的共振频率和共振时振幅的峰值分别为
和式中是振动系统的固有角频率，是阻尼常量。

 

§7-4关于波动的基本概念
基本要求：
1、在明确关于波动的几个基本概念的基础上，熟练掌握平面简谐波波函数的几种表示，并明确其物理意义；理解波的叠加原理和惠更斯原理的基本内容；

一、波的产生和传播
当用手拿着绳子的一端并作上下振动时，绳子上将形成一个接着一个的凸起和凹陷，并由近及远地沿着绳子传播开去，对这一现象我们一定不感到陌生。这一个接一个的凸起和凹陷沿绳子的传播，就是一种波动。显然，绳子上的这种波动，是由于绳子上手拿着的那一点上下振动所引起的，对于波动而言，这一点就称为波源。绳子就是传播这种振动的弹性介质。
我们可以把绳子看作为一维的弹性介质，组成这种介质的各质点之间都以弹性力相联系，一旦某质点离开其平衡位置，则这个质点与邻近质点之间必然产生弹性力的作用，此弹性力既迫使这个质点返回其平衡位置，同时也迫使此邻近质点偏离其平衡位置而参与振动。另外，组成弹性介质的质点都具有一定的惯性，当质点在弹性力的作用下返回平衡位置时，质点不可能突然停止在平衡位置上，而要越过平衡位置继续运动。所以说，弹性介质的弹性和惯性决定了机械波的产生和传播过程。
在波的传播过程中，虽然波形沿介质由近及远地传播着，而参与波动的质点并没有随之远离，只是在自己的平衡位置附近振动。所以，波动是介质整体所表现的运动状态，对于介质的任何单个质点，只有振动可言。
弹性介质是产生和传播机械波的必要条件：弹性介质是产生和传播机械波的必要条件，而对于其他类型的波并不一定需要这个条件。光波和无线电波都属于电磁波，是变化的电场和变化的磁场互相激发而产生的波，可以在真空中产生和传播。实物波或德布罗意波反映了微观粒子的一种属性，即波动性，代表了粒子在空间存在的概率分布，并非某种振动的传播，更无需弹性介质的存在。
二、横波和纵波
在波动中，如果参与波动的质点的振动方向与波的传播方向相垂直，这种波称为横波；如果参与波动的质点的振动方向与波的传播方向相平行，这种波称为纵波。
上面所说的凸起(称为波峰)和凹陷(称为波谷)沿绳子的传播，就是横波。纵波的产生和传播可以通过下面的实验来观察。将一根长弹簧水平悬挂起来，在其一端用手压缩或拉伸一下，使其端部沿弹簧的长度方向振动。由于弹簧各部分之间弹性力的作用，端部的振动带动了其相邻部分的振动，而相邻部分又带动它附近部分的振动，因而弹簧各部分将相继振动起来。弹簧上的纵波波形不再像绳子上的横波波形那样表现为绳子的凸起和凹陷，而表现为弹簧圈的稠密和稀疏，如图7-19所示。图中每一根竖直线代表一个弹簧圈，弹簧圈的振动方向与波的传播方向相平行。对于纵波，除了质点的振动方向平行于波的传播方向这一点与横波不同外，其他性质与横波无根本性差异，所以对横波的讨论也适用于纵波，对纵波的讨论当然也适用于横波。
有的波既不是纯粹的纵波，也不是纯粹的横波，如液体的表面波。当波通过液体表面时，该处液体质点的运动是相当复杂的，既有与波的传播方向相垂直的方向上的运动，也有与波的传播方向相平行的方向上的运动。这种运动的复杂性，是由于液面上液体质点受到重力和表面张力共同作用的结果。
介质的弹性和惯性决定了机械波的产生和传播过程：弹性介质是产生和传播机械波的必要条件，而对于其他类型的波并不一定需要这个条件。光波和无线电波都属于电磁波，是变化的电场和变化的磁场互相激发而产生的波，可以在真空中产生和传播。实物波或德布罗意波反映了微观粒子的一种属性，即波动性，代表了粒子在空间存在的概率分布，并非某种振动的传播，更无需弹性介质的存在。
三、波线和波面
波线和波面都是为了形象地描述波在空间的传播而引入的概念。

图7－20（a）（b）
从波源沿各传播方向所画的带箭头的线，称为波线，用以表示波的传播路径和传播方向。波在传播过程中，所有振动相位相同的点连成的面，称为波面。显然，波在传播过程中波面有无穷多个。在各向同性的均匀介质中，波线与波面相垂直。
波面有不同的形状。一个点波源在各向同性的均匀介质中激发的波，
其波面是一系列同心球面。波面为球面的波，称为球面波；波面为平面的波，称为平面波。当球面波传播到足够远处，若观察的范围不大，波面近似为平面，可以认为是平面波。图6-20(a)和(b)分别表示了球面波的波面和平面波的波面，图中带箭头的直线表示波线。在二维空间，波面退化为线：球面波的波面退化为一系列同心圆，平面波的波面退化为一系列直线。
四、波速、波长以及波的周期和频率
波速u、波长、波的周期t和频率是描述波动的四个重要物理量。这四个物理量之间存在一定的联系。
波速是单位时间内振动传播的距离。波速也就是波面向前推进的速率。在固体中横波的波速为
                                     (7-50)
式中g是固体材料的剪切模量，是固体材料的密度。纵波在固体中的传播速率为
                                     (7-51)
式中y是固体材料的杨氏模量。在流体中只能形成和传播纵波，其传播速率可以表示为
                                      (7-52)
式中b是流体的体变模量，定义为流体发生单位体变需要增加的压强，即
                                     (7-53)
式中负号是由于当压强增大时体积缩小，即v为负值。
式(7-50)、(7-51)和式(7-52)表明，波在弹性介质中的传播速率决定于弹性介质的弹性和惯性，弹性模量是介质弹性的反映，密度则是介质质点惯性的反映。
波在传播过程中，沿同一波线上相位差为2的两个相邻质点的运动状态必定相同，它们之间的距离为一个波长。在横波的情况下，波长等于两相邻波峰之间或两相邻波谷之间的距离；在纵波的情况下，波长等于两相邻密部中心之间或两相邻疏部中心之间的距离。
一个完整的波(即一个波长的波)通过波线上某点所需要的时间，称为波的周期。周期的倒数等于波的频率，即
                                      (7-54)
波的频率表示在单位时间内通过波线上某点的完整波的数目。根据波速、波长、波的周期和频率的上述定义，我们不难想象，每经过一个周期，介质质点完成一次完全的振动，同时振动状态沿波线向前传播了一个波长的距离；在1 s内，质点振动了次，振动状态沿波线向前传播了个波长的距离，即波速，所以
u =  =                             (7-55)
因为在一定的介质中波速是恒定的，所以波长完全由波源的频率决定：频率越高，波长越短；频率越低，波长越长。而对于频率或周期恒定的波源，因为波速与介质有关，则此波源在不同介质中激发的波的波长又由介质的波速决定。
五、波动所遵从的基本原理
1. 波的叠加原理
大量实验表明：两列或两列以上的波可以互不影响地同时通过某一区域；在相遇区域内共同在某质点引起的振动，是各列波单独在该质点所引起的振动的合成。这一规律称为波的叠加原理。
在我们的日常生活中经常可以看到波动遵从叠加原理的例子。当水面上出现几个水面波时，我们可以看到它们总是互不干扰地互相贯穿，然后继续按照各自原先的方式传播；我们能分辨包含在噪杂声中的熟人的声音；收音机的天线通常有许多频率不同的讯号同时通过，它们在天线上产生了复杂的电流，然而我们可以接收到其中任意一频率的讯号，并与其他频率的讯号不存在时的情形大体相同。
也正是由于波动遵从叠加原理，我们可以根据傅里叶分析把一列复杂的周期波表示为若干个简谐波的合成。
2. 惠更斯原理
惠更斯(c.huygens, 16291695)原理是这样表述的：波所到之处各点，都可以看作是发射子波的波源，在以后任一时刻，这些子波的包络就是波在该时刻的波面。利用惠更斯原理，可以由t时刻的波面求得t+t时刻的波面。在图7-21中，波从波源o发出，以速率u向四周传播，在t时刻的波面是半径为r1的球面s1。根据惠更斯原理，t时刻的波面s1上的各点，都可以看作为发射子波的波源。所以，我们可以s1上的各点为中心、以r = ut为半径，画许多半球面形的子波，再作这些半球面的包络面s2，s2就
是t+t时刻的波面。显然，s2是以波源o为中心、以r2= r1 + ut为半径
的球面。对于平面波，如图7-22所示，t时刻的波面为s1，以s1面上各点为中心、以r=ut为半径，画许多半球面形的子波，再作这些半球面的包络面s2，s2就是t+t时刻的波面。显然，s2也是平面。由惠更斯原理可以推知，当波在各向同性的均匀介质中传播时，波面的几何形状不变；当波在各向异性或不均匀介质中传播时，由于不同方向上波速不同，波面的形状会发生变化。
惠更斯原理不仅适用于机械波，也适用于电磁波。它在广泛的范围内解释了波的传播问题。在波动光学中我们将进一步讨论这个原理。
例题1、（6-21） 某一声波在空气中的波长为0.30 m，波速为340 ms1 。当它进入第二种介质后，波长变为0.81 m。求它在第二种介质中的波速。
解 由于波速u、波长和波的频率之间存在下面的关系
 
当声波从一种介质进入另一种介质时，频率不会改变，所以

于是可以求得声波在第二种介质中的波速，为
 

§6-5简谐波
一般情况下的波是很复杂的，但存在一种最简单也是最基本的波，这就是当波源作简谐振动时，所引起的介质各点也作简谐振动而形成的波，这种波称为简谐波。任何一种复杂的波都可以表示为若干不同频率、不同振幅的简谐波的合成。波面为平面的简谐波称为平面简谐波，以下所讨论的就是这种波。
假设在各向同性的均匀介质中沿x轴方向无吸收地传播着一列平面简谐波，在波线上取一点o作为坐标原点，该波线就是x轴。假设在t时刻处于原点o的质点的位移可以表示为
y0 = a cos  t
式中a为振幅，为角频率。这样的振动沿着x轴方向传播，每传到一处，那里的质点将以同样的振幅和频率重复着原点o的振动。现在来考察x轴上任意一点p的振动情况，这点位于x处。振动从原点o传播到点p所需要的时间为，在这段时间内点o振动了次，每振动一次相位改变2，所以点o在这段时间内振动相位共改变了2。这就是说，点p的振动比点o的振动落后了2 的相位，于是点p的相位应是( t2)。故点p的振动应写为
                          (7-56)
上式就是沿x轴正方向传播的平面简谐波的表示式，称为平面简谐波波函数。由、、t、和u诸量之间的关系，平面简谐波波函数还可以表示成另一些形式，如
                               (7-57)
等，式中称为波数，表示在2米内所包含的完整波的数目。
在简谐波函数数中包含了两个自变量，x和t，当它们都在变化时，表示了波形沿波线的传播：在简谐波波函数中，包含了两个自变量，即x和t。当x一定时，就是对于波线上一个确定点，位移y是t的余弦函数，式(7-56)表示了该确定点作简谐振动的情形。当t一定时，即对于某一确定瞬间，位移y是x的余弦函数，式(7-56)表示了在该瞬间介质中各质点的位移分布。当选择一定的y值时，式(7-56)表示了x与t的函数关系。例如，在t时刻，x处质点的位移为y，经过了t时间，位移y出现在x+x处，由式(7-56)可得

上式要成立，必定有
 x = u t
这表示，振动状态y以波速u沿波的传播方向移动。于是可以得出这样的结论：当x和t都在变化时，式(7-56)表示整个波形以波速u沿波线传播，这就是行波。
式(7-56)中x前的负号表示距离坐标原点越远的地方，质点振动的相位越落后，因而表示波是沿x轴正方向传播的。假如波是沿x轴负方向传播的，考察点p的振动相位比坐标原点的振动相位超前，式(7-56)中的负号应改为正号。式(7-57)也是如此。另外，上面在推导平面简谐波波函数时，为简便起见，假定坐标原点的初相位为零，而在一般情况下坐标原点的振动应写为

这时，平面简谐波波函数中也必须考虑初相位，如写为
                             (7-58)

与简谐振动可以用复数表示一样，平面简谐波波函数也可以用复数来表示

或者
                                   (7-59)
该复数的实部才是我们关心的平面简谐波波函数。
例题1、6-27 波源作简谐振动，位移与时间的关系为 y = (4.00103 ) cos 240 t  m，它所激发的波以30.0 ms1 的速率沿一直线传播。求波的周期和波长，并写出波函数。

解 设波函数为
 
已知, , , 根据这些数据可以分别求得波的周期和波长。
波的频率为

波的周期和波长分别为

于是，波函数可以表示为
 

§7-6波动方程和波的能量
基本要求：掌握一维波动方程的推导过程及其解的一般形式；

*一、一维波动方程
1、纵波 为了从动力学角度研究波的传播规律，这里假设一列平面纵波沿横截面为s、密度为的均匀直棒无吸收地传播，取棒沿x轴，并将此波的波函数一般地表示为

在棒上任取一棒元x，
图23
如图7-23中AB所示。当波尚未到时，截面A和截面B分别处于x和x+x的位置。当波到达时，棒元所发生的形变是长变(或被拉伸，或被压缩)，并且各处的长变不同，截面A处的位移为y，截面B处的位移为y+y，因而分别到达图中的A和B的位置。棒元若被拉伸，则两端面受到的弹性力分别为f1和f2，如图6-23所示。于是可以列出棒元的运动方程
             (7-60)
棒元原长为x，当波传到时，棒元的长变为(y+ y) y = y，所以拉伸应变为，当所取棒元无限缩小时，拉伸应变可写为 。正如前面所说，当波传到时，各处的拉伸应变是不同的，我们把x处的拉伸应变记为。根据胡克定律，作用于棒元x处的弹性力f1的大小可以表示为

式中Y是直棒材料的杨氏模量。我们把x+x处的拉伸应变记为 ，该处弹性力f2的大小则为

棒元所受合力为
                      (7-61)
因为棒元x很小，所以在上式中略去了x的高次方项。将式(7-61)代入式(7-60)，得
                                     (7-62)
这就是纵波的波动方程。这个方程式虽然是从均匀直棒中推出的，但适用于一般的固体弹性介质。
2、横波 对于横波来说，剪应力提供了恢复力，因为只有固体在发生剪切时能够产生剪应力。当横波沿横截面积为S、密度为的均匀直棒无吸收地传播时，直棒各处将发生剪切，并且不同位置上剪应变的量不同，因而产生或剪应力也不同。图7－24画出了棒元发生剪切的示意图，由图可见，棒元的剪应变可表示为，当所取棒元无限缩小时，剪应变可写为。处的剪应变为，该处所受弹性力的大小应表示为

式中G是直棒材料的剪切模量，同样，处的剪应变为，该处所受弹性力的大小表示为

于是棒元所受合力为

根据牛顿第二定律，列出该棒元的运动方程

即        
由此可得                                                                   (7-64)
上式就是横波的波动方程，它适用于能够传播横波的一切弹性介质。
在推导波动方程(7-62)和(7-64)时，只是区别了波速不同的纵波和横波，至于方程(7-62)适用于何种纵波，方程(7-64)适用于何种横波，振幅多大、频率多高，均未涉及。所以，我们可以断定，各种可能的纵波波函数都是波动方程(7-62)的解，各种可能的横波波函数都是波动方程(7-64)的解。
既然如此，平面简谐波波函数

必定是波动方程(7-62)和(7-64)的解。先看一下平面简谐纵波的情况。将该波函数对时间t求二阶偏导数，得

再将同一波函数对坐标x求二阶偏导数，得

将以上两式代入波动方程(7-62)，即得

考虑到2 = k2 u2，于是就得到纵波波速u的表达式

这正是在§6-4中给出的纵波波速公式(7-51)，这里从波动方程中得到了证明。
用同样的方法可以从波动方程(7-64)中证明横波波速公式(7-50)。
从上面的讨论中我们已经看到，在波动方程 (7-62)和(7-64)中，项前的系数就是波速的平方，于是我们可以将波动方程(7-62)和(7-64)统一而写为
                               (7-65)
这就是波动方程的一般形式。
二、波的能量
当波传播到介质中的某个质点上，这个质点将发生振动，因而具有了动能；同时由于该处介质发生弹性形变，因而也就具有了势能。原来静止的质点，动能和势能都为零，由于波的到来，质点发生振动，于是具有了一定的能量。此能量显然是来自波源。所以，我们可以说，波源的能量随着波传播到波所到达的各处。
波源能量随波动的传播，可以用平面简谐纵波沿直棒传播为例来加以说明
为此仍然借助于图7-23所示棒元的情形来讨论。波尚未到达时，截面A和截面B分别处于x和x+x的位置。当波到达时，截面A的位移为y，截面B的位移为y+y，因而分别到达图中A和B处。如果棒的密度为，截面积为S，该棒元的质量为m =  Sx，它所具有的动能为

式中v是波传到时在所考察的瞬间棒元的振动速度。如果棒中所传播的简谐波的波函数为

则振动速度为

于是棒元的动能可以表示为
                         (7-66)
棒元的原长为x，当波传到时棒元的形变为(y+y) y=y，所以应变为

棒元由于形变而产生的弹性力的大小为

式中k是把棒看作为弹簧时棒的劲度系数，并可表示为
.
棒元的势能可由下式表示
                (7-67)
根据波函数的表示式和波速，可以求得

将上式代入式(7-67)，得
                           (7-68)
可见，势能的表示式与动能的表示式完全相同，都是时间的周期函数，并且大小相等，相位相同。这种情况与单个简谐振子的情况完全不同。
当波传到棒元AB时，棒元的总机械能为
                      (7-69)
由上式可见，在行波的传播过程中，介质中给定质点的总能量不是常量，而是随时间作周期性变化的变量。这表明，介质中所有参与波动的质点都在不断地接受来自波源的能量，又不断把能量释放出去。在这方面波动与振动的情况是完全不同的，对于振动系统，总能量是恒定的，因而不传播能量。而振动能量的辐射，实际上是依靠波动把能量传播出去的。
介质中单位体积的波动能量，称为波的能量密度，可以表示为
                         (7-70)
显然，波的能量密度是随时间作周期性变化的，通常取其在一个周期内的平均值，这个平均值称为平均能量密度。因为正弦函数的平方在一个周期内的平均值是1/2，所以波的平均能量密度可以表示为
                                       (7-71)
上式表示，波的平均能量密度与振幅的平方、频率的平方和介质密度的乘积成正比。这个公式虽然是从平面简谐纵波在棒中的传播导出的，但是对于所有机械波都是适用的。
三、波的能流和能流密度

图6-25
能量随着波的传播在介质中流动，
因而可以引入能流的概念。单位时间内通过介质中某面积的能量，称为通过该面积的能流。在介质中取垂直于波线的面积s，则在单位时间内通过s面的能量等于体积us内的能量，如图7-25所示。显然，通过s面的能流是随时间作周期性变化的，通常也取其在一个周期内的平均值，这个平均值称为通过s面的平均能流，并表示为
                               (7-72)
单位时间内通过垂直于波线的单位面积的平均能流，称为能流密度，也称波强度，由下式表示
                             (7-73)
例题1、（6-31） 用横波的波动方程 和纵波的波动方程 证明横波的波速和纵波的波速分别为 和 。

解 将平面简谐波波函数

分别对x和t求二阶偏导数：
(1)
(2)
将以上两式同时代入纵波波动方程[即教材中第167页式(7-62)]，得

所以

将式(1)和式(2)同时代入横波波动方程[即教材中第169页式(6-64)]，得

所以
 

例题2、6-33 频率为300 Hz、波速为330 ms1的平面简谐声波在直径为16.0 cm的管道中传播，能流密度为10.0103Js1 m2 。求：
(1)平均能量密度；
(2)最大能量密度；
(3)两相邻同相位波面之间的总能量。

解 (1)平均能量密度 ：根据

将已知量 和 代入上式，就可以求得平均能量密度，得
(2)最大能量密度wmax：

(3)两相邻同相位波面之间的总能量W：将已知量

代入下式得

 

§7-7波的干涉
基本要求：掌握相干波条件以及干涉加强和干涉减弱的条件、驻波的形成和规律，初步懂得千涉现象是波独具的重要特征之一；

一、波的干涉现象和规律
波的叠加原理告诉我们，两列或两列以上的波相遇时，相遇区质点的振动应是各列波单独引起的振动的合成。如果两列频率相同、振动方向相同并且相位差恒定的波相遇，我们会观察到，在交叠区域的某些位置上，振动始终加强，而在另一些位置上，振动始终减弱或抵消，这种现象称为波的干涉。能够产生干涉现象的波，称为相干波，它们是频率相同、振动方向相同并且相位差恒定的波，这些条件称为相干条件。激发相干波的波源，称为相干波源。

图6-26
图7-26中的s1和s2是两个相干波源，它们发出的两列相干波在空间的点p相遇，点p到s1和s2的距离分别为r1和r2。下面来分析点p的振动情形。为了保证相干条件的满足，我们假设波源s1和s2的振动方向垂直于s1、s2和点p所在的平面。两个波源的振动为简谐振动，即

式中是两个波源的振动角频率，a10和a20分别是它们的振幅，1和2分别是它们的初相位。根据相干条件，(21)应是恒定的。波到达点p时的振幅若分别为a1和a2 , 则到达点p的两个振动可写为

式中是波长。点p的合振动为
y = y1 +y2= a cos ( t+)                              (7-74)
式中a是合振动的振幅
                      (7-75)
合振动的初相位由下式决定
                       (7-76)
两列相干波在空间任意一点p所引起的两个振动的相位差

是不随时间变化的；由它决定的点p的合振动的振幅a也是不随时间变化的。由式(7-75)可知，当
                 (7-77)
时，合振动的振幅具有最大值，即a = a1+a2，这表示点p的振动是加强的，称为干涉加强，或干涉相长。当
               (7-78)
时，合振动的振幅具有最小值，即a =a1a2，这表示点p的振动是减弱的，称为干涉减弱，如果减弱到使振动完全消失，则称为干涉相消。
如果两个相干波源具有相同的初相位，即，上述干涉加强和干涉减弱的条件可以得到简化。
这时两列相干波在点P引起的两个振动的相位差只决定于两个波源到点P的路程差(称为波程差) = r1r2。当
                            (7-79)
即波程差等于半波长的偶数倍时，点P为干涉加强；当
                          (7-80)
即波程差等于半波长的奇数倍时，点P为干涉减弱。
图7-27
在两列相干波交叠区域内任意一点上，合振动是加强还是减弱，都可以用式(7-77)和式(7-78)，或者用式(7-79)和式(7-80)来判断。在相位差或波程差介于以上两种情况之间的点上，合振动的振幅介于上述振幅最大值和最小值之间。
图7-27是两个相位相同的相干波源s1和s2发出的波在空间相遇并发生干涉的示意图。图中实线表示波峰，虚线表示波谷。在两波的波峰与波峰相交处或波谷与波谷相交处，合振动的振幅为最大；在波峰与波谷相交处，合振动的振幅为最小。
           用水面波可以进行波的干涉现象的演示。
二、驻波
我们可以在一根紧张的弦线上观察到驻波。如图7-28所示，将弦线的一端系于电动音叉的一臂上，弦线的另一端系一砝码，砝码通过定滑轮p对弦线提供一定的张力，刀口b的位置可以调节。当音叉振动时，在弦线上激发了自左向右传播的波，此波传播到固定点b时被反射，因而在弦线上又出现了一列自右向左传播的反射波。这两列波是相干波，必定发生干涉，于是在弦线上就形成了一种波形不随时间变化的波，这就是驻波。当驻波出现时，弦线上有些点始终静止不动，这些点称为波节；有些点的振幅始终最大，这些点称为波腹。

弦上的驻波，基波与三次谐波
图7-29表示两列同频率、同振幅的简谐波分别沿x轴正方向(以锁线表示)和沿x轴负方向(以虚线表示)传播，在不同时刻的波形以及它们的合成波(以实线表示)，即驻波。由图可见，波节(用“·”表示)是始终不动的，整个合成波被波节分成若干段，每一段的中央是波腹(用“＋”表示)。每一段上各点都以相同的相位振动，而振幅不同，波腹的振幅最大；相邻两段上各点的振动相位相反。由图中还可以看到，形成驻波以后，没有振动状态或相位的逐点传播，只有段与段之间的相位突变，与行波完全不同。
图29
我们可以求出合成波的形式和波腹、波节的位置
图29
取坐标系O-xy，如图6-29所示。这样，沿x轴正方向传播的波可以表示为

沿x轴负方向传播的同频率 、同振幅的波，可以表示为

根据叠加原理，合成的波为

(7-81)
若把上式看作驻波方程，则括号内的项就是振幅。振幅应取绝对值，所以上式括号内的项取绝对值就是振幅。
由式(7-81)可以求得波腹和波节的位置。波腹是振幅最大的位置，应满足下面的关系
       
所以，波腹位于
                             (6-82)
波节是静止不动的位置，振幅为零，应满足下面的关系

所以，波节位于
                           (6-83)
由式(7-82)和式(7-83)可见，相邻波腹或相邻波节的距离都是半波长。
让我们看一下驻波的能量。当驻波形成时，介质各点必定同时达到最大位移，又同时通过平衡位置。就让我们分析这两个状态的情形：当介质质点达到最大位移时，各质点的速度为零，即动能为零，而介质各处却出现了不同程度的形变，越靠近波节处形变量越大。所以在此状态下，驻波的能量以弹力势能的形式集中于波节附近。当介质质点通过平衡位置时，各处的形变都随之消失，弹力势能为零，而各质点的速度都达到了自身的最大值，以波腹处为最大。所以在这种状态下，驻波的能量以动能的形式集中于波腹附近。由这两种状态的情形可见一般。于是我们可以得出这样的结论：在驻波中，波腹附近的动能与波节附近的势能之间不断进行着互相转换和转移，却没有能量的定向传播。
在图7-28中，反射点b是固定不动的，此处成为驻波的波节，这说明反射波与入射波在点b的相位是相反的。也就是说，入射波在此处转变为反射波产生了的相位跃变，相当于再传播半个波长后再反射，所以在固定点b所产生的相位跃变，通常称为半波损失。假如反射点b是自由的，此点将成为驻波的波腹，则反射波与入射波在此处是同相位的，因而不存在半波损失。
那么反射点在什么情况下形成波节，在什么情况下形成波腹呢？原来这是由一个叫做波阻抗的量来决定的。介质的波阻抗z定义为介质的密度与该介质的波速u的乘积，即
z =  u                                  .(7-84)
可见，波阻抗是反映介质性质的物理量。如果波被波阻抗较小的介质反射回来，反射点形成波腹；如果波被波阻抗较大的介质反射回来，反射点形成波节。
例题1、6-34  P和Q是两个以相同相位、相同频率和相同振幅在振动并处于同一介质中的相干波源，其频率为、波长为，P和Q相距3/ 2。R为P、Q连线延长线上的任意一点，试求：
图6-10
(1)自P发出的波在R点引起的振动与自Q发出的波在R点引起的振动的相位差；
(2)  R点的合振动的振幅。
解
(1)建立如图6-10所示的坐标系，P、Q和R的坐标分别为x1、x2和x，P和Q的振动分别为
和
P点和Q点在R点引起的振动分别为
和
两者在R点的相位差为

两者在R点的相位差也可以写为

可见，P点和Q点在R点引起的振动相位是相反的，相位差为 。
(2)  R点的合振动的振幅为

可见，R点是静止不动的。实际上，由于在的上述表达式中不含x，所以在x轴上、Q点右侧的各点都是静止不动的。

§7-8多普勒效应
基本要求：了解声波一般性质和声强的量度，理解多普勒效应成因，了解多普勒效应的应用
一、多普勒效应
当波源和观察者都相对于介质静止时，观察者所观测到的波的频率与波源的振动频率一致。当波源和观察者中之一，或两者以不同速度同时相对于介质运动时，观察者所观测到的波的频率将高于或低于波源的振动频率，这种现象称为多普勒效应。多普勒效应在我们日常生活中经常可以遇到。例如，当火车由远处开来时，我们所听到的气笛声高而尖，当火车远去时气笛声又变得低沉了。下面我们就来分析波源和观察者相对于介质运动时，发生在两者连线上的多普勒效应。
观察者所观测到的频率，取决于观察者在单位时间内所观测到的完整波的数目，或者说取决于单位时间内通过观察者的完整波的数目，即

式中u是波在该介质中的传播速率，是波长。
现在假设波源相对于介质静止，观察者以速率vo向着波源运动。这时观察者在单位时间内所观测到的完整波的数目要比他静止时多。在单位时间内他除了观测到由于波以速率u传播而通过他的u/个波以外，还观测到由于他自身以速率vo运动而通过他的vo /个波。所以，观察者在单位时间内所观测到的完整波的数目为
                             (7-85)
显然，当观察者以速率vo离开静止的波源而运动时，在单位时间内他所观测到的完整波的数目要比他静止时少vo /。因此，他所观测到的完整波的数目为
                                    (7-86)
总之，当波源相对于介质静止、观察者在介质中以速率vo运动时，观察者所接收到的波的频率可表示为
                                     (7-87)
式中正号对应于观察者向着波源运动，负号对应于观察者离开波源运动。
现在假设观察者相对于介质静止，而波源以速率vs向着观察者运动。这时在波源的运动方向上，向着观察者一侧波长缩短了，而背离观察者一侧波长伸长了，如图7-31所示。图中o表示观察者，s表示波源。在向着观察者一侧，波长比波源静止时缩短了vs /；在背离观察者一侧，波长比波源静止时伸长了vs /。所以到达观察者处的波长不再是 = u /, 而是 = (u /)(vs /)。这样，观察者所观测到的波的频率为
                             (7-88)
显然，当波源以速率vs离开观察者而运动时，观察者所观测到的波的频率应为
                           (7-89)
总之，当观察者相对于介质静止，而波源在介质中以速率vs运动时，观察者所观测到的波的频率可以表示为
                               (7-90)
式中负号对应于波源向着观察者运动，正号对应于波源离开观察者运动。
把以上假设的两种情况综合起来，即观察者以速率vo、波源以速率vs同时相对于介质运动，观察者所观测到的频率可以表示为
                               (7-91)
式中的符号是这样选择的：分子取正号、分母取负号对应于波源和观察者沿其连线相向运动；分子取负号、分母取正号对应于波源和观察者沿其连线相背运动。值得注意的是，无论观察者运动还是波源运动，虽然都能引起观察者所观测到的波的频率的改变，但频率改变的原因却不同：在观察者运动的情况下，频率的改变是由于观察者观测到波数增加或减少；在波源运动的情况下，频率的改变是由于波长的缩短或伸长。
以上关于弹性波多普勒效应的频率改变公式，都是在波源和观察者的运动发生在沿两者连线的方向(即纵向)上推得的。如果运动方向不沿两者的连线，则在上述公式中的波源和观察者的速度是沿两者连线方向的速度分量，这是因为弹性波不存在横向多普勒效应。
光波也存在多普勒效应 当光源和观察者以速度v沿两者连线互相趋近时，观测频率与光源频率的关系，可以根据相对性原理和光速不变原理推得
                                          (7-92)
式中c是光在真空中的传播速度。在上式中，若光源和观察者以相对速度v彼此远离，则v为负值。光波还存在横向多普勒效应，即当光源和观察者的相对速度v 垂直于它们的连线时，观测频率可以表示为
                                   (7-93)
多普勒效应现已在科学研究、空间技术、医疗诊断等各方面都有着广泛的应用:分子、原子或离子由于热运动而使它们发射或吸收的光谱线频率范围变宽，这称为谱线多普勒增宽。谱线多普勒增宽的测定已经成为分析恒星大气、等离子体和受控热核聚变的物理状态的重要手段。 根据多普勒效应制成的雷达系统可以十分准确而有效地跟踪运动目标(如车辆、舰船、导弹和人造卫星等)。利用超声波的多普勒效应可以对人体心脏的跳动以及其他内脏的活动进行检查，对血液流动情况进行测定等。
光的多普勒效应在天体物理学中有许多重要应用。例如用这种效应可以确定发光天体是向着、还是背离地球而运动，运动速率有多大。通过对多普勒效应所引起的天体光波波长偏移的测定，发现所有被进行这种测定的星系的光波波长都向长波方向偏移，这就是光谱线的多普勒红移，从而确定所有星系都在背离地球运动。这一结果成为宇宙演变的所谓“宇宙大爆炸”理论的基础。“宇宙大爆炸”理论认为，现在的宇宙是从大约150亿年以前发生的一次剧烈的爆发活动演变而来的，此爆发活动就称为“宇宙大爆炸”。“大爆炸”以其巨大的力量使宇宙中的物质彼此远离，它们之间的空间在不断增大，因而原来占据的空间在膨胀，也就是整个宇宙在膨胀，并且现在还在继续膨胀着。
*二、冲击波
上面讨论多普勒效应时，总是假设波源相对于介质的运动速率小于波在该介质中的传播速率，而当波源的运动速率达到波的传播速率时，多普勒效应失去物理意义。如果波源相对于介质的运动速率vs超过波在该介质中的传播速率u，情况又将如何呢？显然，在这种情况下波源总是跑在波的前面，在各相继瞬间产生的波面的包络为一圆锥面，称为马赫锥，如图6-32所示。因为马赫锥面是波的前缘，在圆锥外部，无论距离波源多近都没有波扰动。这个以波速传播的圆锥波面称为冲击波，简称击波。马赫锥的半顶角，称为马赫角，应由下式决定
                                      (7-94)
式中m = vs /u称为马赫数，是空气动力学中的一很有用的量。例如，只要测出高速飞行物的马赫数，就可以相当准确地计算出该物体的飞行速度。
“冲击波”虽然以波来称呼，而实际上不同于一般意义的波，它只是一个以波速向外扩展的、聚集了一定能量的圆锥面。
例题1、（6-37 ）火车汽笛的频率为，当火车以速率V通过车站上的静止观察者身边时，观察者所接收到的笛声频率的变化为多大？已知声速为u。

解 火车远去时，观察者所接收到的笛声频率为

火车迎面驶来时，观察者所接收到的笛声频率为

观察者所接收到的笛声频率的变化为
 

 

*§6-9声波、超声波和次声波
频率在20 hz到20000 hz的机械波可以引起人的声音感觉，故称声波。低于声波频率下限的机械波属于次声波，而高于声波频率上限的机械波属于超声波。下面主要讨论关于声波的传播、性质和量度等，最后对超声波和次声波作简单介绍。
一、声波
1. 声波在空气中的传播
声波可以在流体(如空气、水等)中传播，也可以在固体中传播，不过在固体中传播的声波既可以是纵波，也可以是横波，而在流体中传播的声波却只能是纵波。下面让我们讨论声波在空气中的传播。
假设空气未受声波扰动时，气体的密度是均匀的，各处的压强是相等的。如果我们想象地沿着声波将要经过的路径上把空气分成许多薄层，使每一层都具有相等的质量，那么每一气层必定具有相同的体积（厚度）和压强，如图7-33(a)所示。当声波以图7-33(b)所示的平面简谐波的形式传来时，有的气层压缩了，有的气层膨胀了，于是就形成了一连串疏密相间的气层状态并沿波线传播，如图7-33(c)所示。 对于
这样的声波，我们可以用下式表示
                                   (7-95)
式中y表示气层的位移。波所经过的空间各处的压强，也将随着在大气压强上、下变化。当波传到人耳时，耳鼓膜附近的空气压强的变化，作用于鼓膜引起听觉。
既然如此，必定可以把由式(7-95)表示的波动，转换为用压强的变化来描述，也就是把位移波转换成压强波。根据流体的体变模量的定义式(7-53)，可得

式中p是相对于未受波扰动时正常的大气压强p0的压强变化，现把这一压强变化记为p，并称为声压，于是就得到
                                        (7-96)
仍然让我们看图7-33，如果所画气层的厚度为x，截面积为a，那么在未受声波扰动时每层气层的体积为v=ax。当声波传来时，某处气层发生了体变，这种体变是由于气层的厚度的变化引起的。若气层厚度的改变量为y，则该气层的体积改变量为v=ay。于是式(7-96)变为

如果所取气层的厚度x无限缩小，上式可写为
                                        (7-97)
将式(7-95)代入式(7-97)，得
                      (7-98)
式(7-98)表明，简谐声波在传播过程中，所引起的气体各处压强的变化即压强波，也是简谐波。根据流体中的波速公式(7-52)，压强波也可以表示为
                              (7-99)
式中为气体的平均密度。因为p是相对于未受声波扰动时正常大气压强p0的压强变化，所以在上式中aku2就是压强的最大变化量，可以称为压强变化的振幅，记为
p = a k u2                                  (7-100)
压强波就可以表示为
                                 (7-101)
由式(7-95)和式(7-101)的比较表明，声波既可以表示为位移波，也可以表示为压强波，而两者之间存在/2的相位差。所以，当气体质元离开平衡位置的位移为最大时，则该气体质元处的压强变化为零，而当气体质元的位移为零时，该气体质元处的压强变化为最大。
根据气体的热力学性质可以得到声波在气体中的传播特性
当气体压缩时，若不把热量传递出去，气体的温度将上升，而当气体膨胀时，若外界不供给热量，气体的温度要下降。当声波通过气体时，压缩的气层要比膨胀的气层温度略高些，因而就有热量从压缩区域向膨胀区域传递。显然，单位时间内通过单位面积传递的热量，应取决于气体介质的热导率和压缩区域到相邻膨胀区域的距离，即半波长。对于声波的频率范围，即使是最好的导热体也不会有显著的热流。因此，声波的传播过程是绝热的，而不是等温的。根据理想气体绝热过程的特征，可以求得气体的体变模量
 B =  p
式中是气体的定压摩尔热容与定体摩尔热容之比，一般双原子分子气体此量为1.40(关于理想气体的绝热过程将在后面讨论）。于是声波的波速为
                                   (7-102)
在标准状态 ( p = 1.013105 Nm2，T = 273 K )下空气的平均密度= 1.29 kgm3，代入式(7-102)求得空气中的声速为

此值与测量值的误差很小。将理想气体物态方程

代入式(7-102)，得
                                      (7-103)
式中R是普适气体常量, T是气体的热力学温度，是气体的摩尔质量。由上式可见，对于一定的气体，声速与其热力学温度的平方根成正比，而与压强无关。

2. 声强和声强级
声强就是声波的能流密度，即单位时间内通过垂直于波线的单位面积的声波平均能流。在§6-6中给出的波强度表示式，即式(7-73)

对声波也适用。所以，声波的声强与振幅的平方成正比，与频率的平方成正比。

人的听觉存在一定的声强范围，低于这个范围下限的声波不能引起听觉，而高于这个范围上限的声波使人感到不舒服，甚至引起疼痛感。听觉声强范围的下限称为听觉阈，听觉声强范围的上限称为痛觉阈。听觉阈和痛觉阈都与声波的频率有关, 如图7-34所示。图中上、下两条曲线分别表示痛觉阈和听觉阈随频率的变化, 这两条曲线之间的区域就是听觉区域。
由于人的听觉声强范围很大，并且人耳所感觉到的声音响度近似与声强i的对数成正比，所以通常采用对数标度来量度声强，称为声强级。若以db (分贝)为单位，声强级l可以表示为
                                   (7-104)
式中i0是基准声强，取为1012wm2，相当于频率在1000 hz附近可听到的最弱声音。于是，震耳的炮声，声强为1 wm2，声强级为120 db；微风吹动树叶发出的沙沙声，声强为1011wm2，声强级为10 db 。