五法速解参数取值范围题

 不等式恒成立问题中求参数的取值范围问题，可以将函数、不等式、导数、三角函数、数列等内容有机地结合起来，渗透换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，具有很好的融合性，体现了在知识的交汇处命题的指导思想，所以历来备受高考命题专家的青睐，是高考中常考常新的热点之一.本文总结了解决此类问题的五种常用方法，供同学们在复习时参考. 
　　分离参数法是解决含参数问题的基本思想之一.对于含参数的不等式问题，在能够判断出参数的系数正负的情况下，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式，这样只要研究变量表达式的性质，就可以顺利解决问题. 
　　例1 已知函数f（x）=ex+e-x，其中e是自然对数的底数.若关于x的不等式m f（x）≤e-x+m-1在（0，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围. 
　　难度系数 0.40 
　　分析 移项后分离参数，将原问题转化为求函数的最值问题来解决. 
　　分析 原问题可转化为a（x2+2）-x2-2x>0对任意的a∈（0，+∞）都成立.将上述不等式的左边看成关于a的一次函数，然后利用一次函数的单调性，得到关于x的不等式进行求解. 
　　解 由题设可知ax2-x+a>x2+x-a对任意的a∈（0，+∞）都成立，即a（x2+2）-x2-2x>0对任意的a∈（0，+∞）都成立.设g（a）=（x2+2）a-x2-2x，a∈（0，+∞），则对任意的x∈R，g（a）为单调递增函数.所以，对任意的a∈（0，+∞），g（a）> 0恒成立的充要条件是g（0）≥0，即 -x2-2x≥0，解得-2≤x≤0. 
　　故实数x的取值范围是[-2，0]. 
　　小结 由ax2-x+a>x2+x-a对任意的a∈（0，+∞）都成立，若转化为（a-1）x2-2x+2a>0的恒成立问题，且视x为主元，则需对a进行讨论，解答情况较为复杂.在解决不等式的恒成立问题时，有时需要根据已知条件灵活构造相应的函数，然后根据函数图像的特征确定相应的条件，通过构造等式或不等式来求解变元或参数的取值范围. 
　　对于较复杂的函数，我们只通过分离参数或数形结合等方法不能确定函数的变化情况.在这类问题中，我们就要借助导数，分析函数的单调性，通过对单调性的分析确立函数值的变化情况，找到参数满足的不等式，从而求得参数的取值范围. 
　　例5 设函数f（x）=ln（1+x），g（x）=x f ′（x），x>0，其中f ′（x）是f（x）的导函数.若f（x）≥ag（x）恒成立，求实数a的取值范围. 
　　难度系数 0.40 
　　②当a >1时，对x∈（0，a -1），有h ′（x）< 0，所以h （x）在（0，a -1）上单调递减，则有h（a -1）< h（0）=0，即当a >1时，存在x>0，使得h（x）< 0，此时f（x）≥ag（x）不恒成立. 
　　综合①②，可知实数a的取值范围是 （-∞，1]. 
　　小结 利用导数分析法求解恒成立问题的主要思想，是根据函数和导数的关系讨论函数的单调性.所以，一般的解题思路是先通过对函数求导，判断导函数的符号，从而确定函数在所给区间上的单调性，找到在指定区间上函数值的变化趋势，通过函数值的变化趋势，根据区间的端点值、函数的极值，确定参数所满足的不等式或不等式组. 
　　罗礼明，中学高级教师，株洲市中学数学专业委员会理事，数学备课组组长.曾获"市优秀教师"等荣誉称号，在《数理天地》和《中学数学教学》等报刊上发表文章80余篇.