用插空法解“不相邻”排列问题

 插空法是解决"不相邻"排列问题的专项工具，正如"相邻问题用捆绑，非邻问题用插空".一般使用插空法时，学生应先将无限制条件的元素排列好，再将不相邻的元素插入到已经排好的元素之间或者两端.在应用插空法时，我们要注意所插空元素的特点、细节和要求，采取配套的方法和策略，才能一举攻克"不相邻"排列问题. 
　　一、所插空的元素可以相邻 
　　例1 12名同学合影，站成前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则共有多少种不同的调整方法？ 
　　解 （解法1）调整的2人分为相邻和不相邻两种情况，则不同的调整方法有C28・（A25+A15A22）=840种. 
　　（解法2）采用逐个插空法.先在前排5个空位中插入其中1人，有5种插法，余下的1人再插入5个人所形成的6个空位中，有6种插法，所以共有C28・5×6=840种. 
　　例2 有7人排成一排照相，其中有甲、乙、丙3人不能相邻的排法共有多少种？ 
　　解 除了甲、乙、丙以外的4人先排好，有A44种排法.4人排好后形成5个空位，再将甲、乙、丙3人插入5个空位中.当3人互不相邻时，有A35种排法；当其中有2人相邻时，有C23A25A22种排法，所以共有A44（A35+C23A25A22）=4 320种排法. 
　　二、所插空的元素需要分组 
　　例3 某停车场有连成1排的9个停车位，现有5辆不同的车需要停放，要求2辆车相邻，还有2辆车也相邻，另有1辆车单独停放的停法共有多少种？ 
　　解 9个停车位，5辆不同的车停放，还剩下4个停车位，这4个停车位形成5个空位.根据题意，可先考虑5辆不同的车分成3组，然后"分配"到3个空位，这是一个不同元素的部分均匀非定向分配问题.从5个空位中选3个空位有C35种方法，将部分均匀的3个组"分配"到这3个空位，有・A33种方法.由于"捆绑"的车之间可以交换顺序，有A22・A22种方法，所以共有C35・・A33A22A22=3 600种方法. 
　　三、所插空的元素没有顺序 
　　例4 某人在飞碟射击项目中射击8枪，命中4枪.若命中的4枪中恰好有两个2枪连续命中（不能出现4枪连续命中），有多少种不同的情况？ 
　　解 把两个连续命中目标的2枪"捆绑"在一起，形成两个"大元素".由于这两个"大元素"不相邻，所以使用插空法.先将剩余的没有命中目标的4枪排好，因为元素相同，所以只有1种排法.接下来，把两个"大元素"插入已经排好的4枪形成的5个空档中.由于"大元素"没有区别，所以没有次序之分，有C25种插法，即共有C25=10种不同的情况. 
　　四、所插空的元素需要分类 
　　当遇到要求一部分元素不相邻，另有一部分元素也不相邻，从而形成"几个非相邻"并存的情况，即一次插空演变为二次插空、多次插空的时候，需要考虑将所插空的元素进行分类讨论.现在这种题目在考试中比较时尚，解题时需要对其条分缕析. 
　　例5 有3本不同的数学书，2本不同的物理书，3本不同的化学书，全部竖起排成一排，若要求数学书互不相邻，同时物理书也互不相邻，则有多少种排法？ 
　　解 第一类，先排3本化学书，有A33种排法，然后插入3本不同的数学书，有A34种插法，最后插入2本不同的物理书，有A27种插法，所以共有A33A34A27=6 048种排法. 
　　第二类，先排3本化学书，有A33种排法，然后把"数学书、物理书、数学书"看成整体，它和另1本数学书进行插空，有A23A12A24种插法，最后把剩下的1本物理书插空， 有A16种插法， 所以共有A33A23A12A24A16=5 184种排法. 
　　第三类，先排3本化学书，有A33种排法，然后把"数学书、物理书、数学书、物理书、数学书"看成整体进行插空，有A33A22A14种插法，所以共有A33A33A22A14=288种排法. 
　　综合以上四种情况，最终结果为96+96+32+16=240种排法. 
　　五、特殊要求与不相邻处理的先与后 
　　例7 有红、蓝、黄三种颜色的球各7个，每种颜色的7个球上标有数字1，2，3，4，5，6，7，从中任取3个标号不同的球，这3个球颜色互不相同且所标数字互不相邻的取法种数有多少？ 
　　解 题中有两个限制条件：①3个球颜色互不相同；②3个球的标号不同且互不相邻.不相邻问题是我们熟悉的条件，我们可以从不相邻问题入手打开思路.第一步：先从1，2，3，4，5，6，7这7个数中找出不相邻的3个不同数字，把7个数字分成两类，即被选中和未被选中，把未被选中的4个按从小到大的顺序排成一列，只有1种排法，从已经排好的数字形成的5个空位（包括两端）中选取3个空位，插入被选中的3个数字，有C35种插法；第二步，给选出的3个数字找颜色，有A33种方法，所以共有C35A33=60种选法. 
　　注 本题若从限制条件"3个球颜色互不相同"入手解决，需先分步再分类，较为麻烦且易出错，但从限制条件"3个球所标数字互不相邻"入手解题就简单容易得多.所以，在解决多个限制条件的问题时，应注意运用限制条件和不相邻问题插空策略的先后顺序.